1、1 姓名 _座位号 _ （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 绝密启用前 安徽省示范高中培优联盟安徽省示范高中培优联盟 2020 年秋季联赛（高二）年秋季联赛（高二） 数学（文科） 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷（非选择题）两部分，第 I 卷第卷第 1 至第至第 3 页，第页，第卷第卷第 4 至第至第 6 页页.全全 卷满分卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟. 考生注意事项：考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形 码中姓名、座位号与本人姓名、座位
2、号是否一致. 2.答第卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号. 3.答第卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上 书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先 用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题 区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效 . 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交. 第第卷（选择题卷（选择题共共 60 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，其中（小题，其中（8） 、 （1
3、0） 、 （12）为选考题）为选考题.每小题每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） （1）已知全集为R，集合 2 0Ax xx， 2 20Bx xx，则（） （A）AB R （B）BA （C）AB R （D）AB R （2）已知角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合， 2,2M为其终边上一点，则tan2 （） （A） 2 2 （B） 1 3 （C） 2 2 3 （D）2 2 2 （3）设 2 1,0 1,0 xx fx xx ， 2 5a ， 0 b， 2 1 lnc e ，则（
4、） （A） f af bf c（B） f bf af c （C） f cf af b（D） f cf bf a （4）在ABC所在平面中，点 O 满足0OAOBOC ，则BO （） （A） 21 33 BAAC （B） 21 33 BAAC （C） 12 33 BAAC （D） 42 33 BAAC （5）已知函数 2 5,1 ,1 xaxx f x a x x ，当 12 xx时， 1212 0f xf xxx 恒成立，则实数 a 的取值范围是（） （A）3,0（B）, 2 （C）3, 2（D）,0 （6）有四个命题： （1）对于任意的、，都有sinsincoscossin； （2）存在这样
5、的、，使得sinsincoscossin； （3）不存在无穷多个、，使得sinsincoscossin； （4）不存在这样的、，使得sinsincoscossin. 其中假命题 的个数是（） （A）1（B）2（C）3（D）4 （7） 在ABC中， 内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c， 且3a ， 3sinsin3cossinCBBA， 则 c 的最大值为（） （A）2（B）1（C） 3 2 （D）3 （8） 【选考必修 2】已知点1, 1关于直线 1 l：yx的对称点为 A，设直线 2 l经过点 A，则当点2, 1B到 直线 2 l的距离最大时，直线 2 l的方程为（） 3
6、（A）2350 xy（B）3250 xy （C）3250 xy（D）2350 xy 【选考必修 3】如图所示的程序框图模型，则输出的结果是（） （A）11（B）10（C）9（D）8 （9）已知数列 n a是等比数列，数列 n b是等差数列，若 1611 3 3aaa， 1611 3 4 bbb ，则 39 48 tan 1 bb aa 的值是（） （A）3（B） 2 2 （C） 2 2 （D）1 （10） 【选考必修 2】实数mn且 2 sincos10mm ， 2 sincos10nn ，则连接 2 ,m m， 2 , n n两点的直线与圆 C： 22 1xy的位置关系是（） （A）相离（B
7、）相切 （C）相交（D）不能确定 【选考必修 3】2021 年开始，部分省市将试行“312 ”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语 3 门必 选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选考科目.为了帮助学 生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成 5 分制，绘制成雷达图.甲同学的 成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确 的是（） （A）甲的物理成绩领先年级平均分最多 4 （B）甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是化学、物理、生物 （C）甲有 3 个科目的成绩高于年级平均分 （D）对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结
8、果 （11）已知ABC的面积为 m，内切圆半径也为 m，若ABC的三边长分别为 a，b，c，则 2ab abc 的最小值为（） （A）2（B）3 （C）4（D）22 2 （12） 【选考必修 2】如图，在棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，2PDAB，PD 平面 ABCD.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（） （A）2（B）21 （C）2（D）21 【选考必修 3】2020 年 6 月 9 日，安徽省教育厅宣布，为应对 7 月高考、中考期间高温天气，给学生创造 舒适考场环境，全部地市将在中考、高考考场安装空调.某商场销售某种品牌的空调器，每周初购进一定数 量的空调器，商场每销售一
9、台空调器可获利 500 元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费 100 元； 若供不应求， 则可从其他商店调剂供应， 此时调剂的每台空调器仅获利润 200 元.该商场记录了去年夏天 （共 10 周）空调器需求量 n（单位：台） ，整理得表： 周需求量 n1819202122 频数12331 以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率， 若商场周初购进 20 台空调器， X 表示当周的利润 （单位：元）.则当周的平均利润为（） （A）10000 元（B）9400 元 （C）8800 元（D）9860 元 5 （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 绝密启用前 安徽省示范高中培
10、优联盟安徽省示范高中培优联盟 2020 年秋季联赛（高二）年秋季联赛（高二） 数学（文科）数学（文科） 第第卷（非选择题卷（非选择题共共 90 分）分） 考生注意事项： 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答，在试题卷上答题无效 . 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 4 小题小题，其中其中（16）为选考题为选考题.每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.把答案填在答题卡的相应位置把答案填在答题卡的相应位置.） （13）方程 2 lg2lg0 xx解为_. （14）已知平面向量11a b ，3,4b ，则a 在b 方向上的投影为_. （15）若对于0, 2 x ，不等式 22 1
11、 4 sincos m xx 有解，则正实数 m 的取值范围为_. （16） 【选考必修 2】半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体. 如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体如图所示，余下的多面体就成 为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为 1，则这个半正多面体的体积为_. 【选考必修 3】明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配 以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”. 上图是来氏太极图，其大圆半径为 4，大圆内部的同心小圆半径
12、为 1，两圆之间的图案是对称的.若在大圆内 随机取一点，则落在黑色区域的概率为_. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） （17） （本题为选考题，必修 2、必修 3 任选一题，本题满分 10 分） 【选考必修 2】在平行四边形ABCD中，3AB ，2BC ，过 A 点作CD的垂线交CD的延长线于点 E， 3AE .连结EB交AD于点 F，如图 1，将ADE沿AD折起，使得点 E 到达点 P 的位置.如图 2. 6 （）证明：ADBP； （）若 G 为PB的中点，
13、H 为CD的中点，且平面ADP 平面ABCD，求三棱锥GBCH的体积. 【选考必修 3】习近平总书记在 2020 年新年贺词中强调，2020 年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建 成小康社会，实现第一个百年奋斗目标，2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年.安徽省某贫困地区截至 2018 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，现从这些尚未 实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（图中 所示纵坐标均为相应小矩形的高） （）补全频率分布直方图，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的中位
14、数和平均数（同一组数据用该区间的 中点值作代表） （精确到元） ； （） （i）2019 年 7 月，为估计该地区能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地区当时最贫困的一个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如下表： 月份/2019（时间代码 x）123456 人均月纯收入（元）275365415450470485 由散点图及相关性分析发现： 家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线性相关关系， 请求出回归 直线方程； （ii）由于 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭 2020 年第一季度（1，2，3 月份）每月的人均月纯收入均为
15、预估值的 1 3 ，从 4 月份开始，每月的人均月纯收入均为预估值的 4 5 ，由此 估计该家庭 2020 年能否达到小康标准，并说明理由. 7 参考数据和公式： 6 1 9310 ii i x y ；线性回归方程 ybxa 中， 6 1 6 2 2 1 6 6 ii i i i x yx y b xx ，aybx . （18） （本小题满分 12 分） 已知集合 1 327 9 x Ax ，函数 2 lg 54f xxx 的定义域为 B. （）求AB，BA R ； （）已知集合433Cx mxm，若AC ，求实数 m 的取值范围. （19） （本小题满分 12 分） 已知函数 sin2fxx
16、， cos 2 6 g xx ，直线x（R）与函数 fx， g x的图象分别 交于 M、N 两点. （）当 4 时，求MN的值； （）求MN在0, 2 时的值域. （20） （本小题满分 12 分） 已知公比1q 的等比数列 n a的前 n 项和为 n S，且 3 14S ， 123 2aaa， * nN.设 2 log nn ba （ * nN）. （）求 n a， n b； （）设 1 22 31 111 n nn T bbb bb b ，若 21 1 n n n nb T na 对 * nN都成立，求正整数的最小值. （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 2 3sin2cos 2
17、 x f xx ， 其中0， 若 1f m ， 1f n ， 且mn的最小值为 4 . （）求 fx的解析式； （）在ABC中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 1fA ， 3 2 a ，0AB BC ， 8 求bc的取值范围 （22） （本小题满分 12 分） 宋史外国传六天竺国 ：“福慧圆满，寿命延长.”杨朔滇池边上的报春花 ：“只有今天，古人追求不到 的圆满东西，我们可以追求到了.”若函数 yT x对定义域内的每一个值 1 x，在其定义域内都存在唯一的 2 x，使 12 1T x T x成立，则称该函数为“圆满函数”. （）判断函数 sinfxx是否为“圆满函数”，并说
18、明理由； （）若函数 1 3xg x 在定义域,m n（0m ）上是“圆满函数”，求 2 mn的取值范围. 9 安徽省示范高中培优联盟安徽省示范高中培优联盟 2020 年秋季联赛（高二）年秋季联赛（高二） 数学（文科）参考答案及评分标准数学（文科）参考答案及评分标准 题号123456789101112 答案CDAACCABDBBD 13【答案】1 或 10014【答案】 11 5 15【答案】0,116【必修 2】 【答案】 23 2 12 【必修 3】 【答案】 15 32 1【答案】C 【 解 析 】 依 题 意 ， 2 001Ax xxxx， 2 2021Bx xxxx ， 故 R AC
19、 B ，故选 C. 2【答案】D 【解析】 2,2M为角终边上一点， 2 2 226 cos 36 22 ， 2 2 61 cos22cos121 33 . 2 2 sin2 3 ，tan22 2故选 D. 3【答案】A 【解析】由于 20 551a ，1b ，2c ，又 fx在R上单调递增，所以 f af bf c， 故选 A. 4【答案】A 【解析】由0OAOBOC 可知 O 三角形ABC的重心，则 2121 3233 BOBABCBAAC .故 选：A. 5【答案】C 【解析】若 fx是R上的增函数，则应满足 2 1, 2 0, 11 5, 1 a a a a 解得32a .故选 C.
20、6【答案】C 10 【解析】由sinsincoscossinsincoscossin，得cossin0， 2 n （nZ）或m（mZ） ， 因此，存在无穷多个、，使得sinsincoscossin. 对于任意的、，都有sinsincoscossin 故错，对.故选：C. 7【答案】A 【解析】解：因为 3sinsin3cossinCBBA， 所以 3sin3cossin3cos3cBBaBB， 所以sin3cos2sin 6 cBBB ，因为 B 为ABC的内角，所以当 3 B 时，c 取最大值 2.故 选：A 8【选考必修 2】 【答案】B 【解析】易知1,1A .设点2, 1B到直线 2
21、l的距离为 d，当dAB时取得最大值，此时直线 2 l垂直于 直线AB，又 13 2 AB k ，所以直线 2 l的方程为 3 11 2 yx ，即3250 xy.故选 B. 【选考必修 3】 【答案】B 【解析】由程序框图知，1i 时，1S ；2i 时，1 213S ；3i 时，3217S ； 4i 时，72115S ；5i 时，152131S ；6i 时，31 2163S ； 7i 时，6321127S ；8i 时，12721255S ；9i 时，25521511S ； 10i 时，511 211023S ；程序运行结束，输出的结果是10i .故选 B. 9【答案】D 【解析】在等差数列
22、n b中，由 1611 3 4 bbb ，得 6 4 b ， 396 2 2 bbb ， 在等比数列 n a中，由 1611 3 3aaa，得 3 6 3 3a ， 6 3a ， 2 48 1132a a ， 则 39 48 2 tantantan1 124 bb aa .故选：D. 11 10【选考必修 2】 【答案】B 【解析】由题意知，m，n 是方程 2 sincos10 xx 的根 cos sin mn ， 1 sin mn mn，过 2 ,m m， 2 , n n两点的直线方程为： 2 22 ynxn mnmn ，0mn xymn 圆心0,0到直线的距离为： 2 1 1 mn d m
23、n ，故直线和圆相切，故选：B 【选考必修 3】 【答案】B 【解析】由雷达图可知，甲的物理成绩领先年级平均分约为 1.5，化学成绩领先年级平均分约为 1，生物成 绩约等于年级平均分，历史成绩低于年级平均分，地理成绩领先年级平均分约为 1，政治成绩低于年级平均 分，故 A、C、D 正确；而甲的成绩从高到低的前 3 个科目依次是地理、化学、生物（物理） ，故 B 选项错 误.故选：B. 11【答案】B 【解析】因为ABC的面积为 m，内切圆半径也为 m，所以 1 2 abcmm，所以2abc， 所以 2 13 abcababcab abcabcabc ， 当且仅当abc，即1c 时，等号成立，所
24、以 2ab abc 的最小值为 3.故选 B. 12【选考必修 2】 【答案】D 【解析】由PD 平面ABCD，PDAB，又ABAD，PDADD，所以AB 平面PAD，所 以PAAB， 设此球半径为 R， 最大的球应与四棱锥各个面都相切， 设球心为 S， 连接SD，SA、SB、SC、 SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为 R. 四棱锥的体积 2 112 222 333 P ABCDABCD VSPD ， 四棱锥的表面积 22 11 2222222242 2 22 PADPABABCD SSSS ， 因为 1 3 P ABCD VSR ，所以 32 21 21 42 221 P ABCD
25、 V R S .故选：D 【选考必修 3】 【答案】D 12 【解析】由188800f，199400f，2010000f，2110200f，2210400f， 88000.1P X，94000.2P X ，100000.3P X ，102000.3P X ， 104000.1P X ， 故100001000010200104000.30.30.10.7P XP XP XP X. 1 1 88002 94003 100003 10200 1 104009860 10 X （元）.故选：D 13【答案】1 或 100 14【答案】 11 5 【解析】设a 与b 的夹角为，所以，a 在b 方向上的投
26、影为 22 1 23 411 cos 5 34 a b a b . 故答案为： 11 5 . 15【答案】0,1 【解析】 22 sincos1xx，0m ， 22 22 2222 1cossin sincos1 sincossincos mxmx xxm xxxx 22 22 cossin 1212 sincos xmx mmm xx ，当 22 22 cossin sincos xmx xx 时，等号成立， 若不等式 22 1 4 sincos m xx 有解，则124120,1mmmm 故答案为：0,1 16【选考必修 2】 【答案】 23 2 12 【解析】由愿意可知，原正四面体的核长
27、为 3，则这个半正多面体的体积为 33 2223 2 341 121212 . 故答案为： 23 2 12 . 【选考必修 3】 【答案】 15 32 13 【解析】设大圆面积为 1 S，小圆面积 2 S，则 2 1 416S， 2 2 1S.则黑色区域的面积为 12 115 22 SS ，所以落在照色区域的概容为 12 1 1 15 2 32 SS P S .故管案为： 15 32 17【选考必修 2】 【解析】 （）证明：如图 1，在RtBAE中，3AB ，3AE ，所以60AEB. 所以2 3BE ADE也是直角三角形， 22 1DEADAE 3 3 AEDE ABAE 90AEDEAB
28、 ，AEBAED，EADABE 90DABABEDABEAD ，BEAD， 如图题 2，PFAD，BFAD，PFBFF， 从而AD平面BFP，又BP 平面BFP，所以ADBP. （）解法一：平面ADP 平面ABCD，且平面ADP平面ABCDAD， PF 平面ADP，PFAD，PF平面ABCD.取BF的中点为 O，连结GO，则GOPF， GO平面ABCD，即GO为三棱锥GBCH的高. 113 sin30 224 GOPFPA. 13 22 CHDC， 1133 3 3 2224 BCH SCH AE 113 333 334416 BCHG BCH VSGO 三棱锥 . 解法二：平面ADP 平面A
29、BCD，且平面ADP平面ABCDAD， PF 平面ADP，PFAD，PF平面ABCD. G 为PB的中点，三棱锥GBCH的高等于 1 2 PF. H 为CD的中点，BCH的面积是四边形ABCD的面积的 1 4 ， 三棱锥GBCH的体积是四棱锥PABCD的体积的 1 8 . 1133 3 3 3322 P ABCDABCD VSPF ， 14 三棱锥GBCH的体积为 133 8216 . 【选考必修 3】 【解析】 （）由频率之和为 1 可得：家庭人均年纯收入在6,7的频率为 0.18，所以频率分 布直方图如下： 中位数为： 0.50.040.100.322 555133 0.3015 元， （
30、或：设中位数为 x，则 0.045 0.266 x x ，解得：5.133x ） 平均数2.50.043.50.104.50.325.50.306.50.187.50.065160 x 元 （）解：由题意得： 1 23456 3.5 6 x ， 2753654154504704852460 410 66 y 6 2 1 1 49 16253691 i i x 2 2 66 3.573.5x 所以： 6 1 6 2 2 1 6 93106 3.5 41093108610700 40 91 73.591 73.517.5 6 ii i i i x yxy b xx 15 41040 3.5270a
31、ybx 所以回归直线方程为：40270yx 解：设 y 为 2020 年该家庭人均月纯收入，则13x ，14，15 时， 1 40270 3 yx，即 2020 年前三月 总收入为： 1 790830870830 3 元；当16x ，17，24 时， 4 4027032216 5 yxx， 即 2020 年从 4 月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760，984，构成以 32 为公差的等差数列， 所以 4 月份至 12 月份的总收入为 9 728984 7704 2 所以 2020 年该家庭总收入为：830770485348000， 所以该家庭 2020 年能达到小康标准 18【解析】
32、（）解不等式 1 327 9 x ，即 23 333 x ，解得23x ，得2,3A . 对于函数 2 lg 54f xxx ，解得14x，则1,4B 2,4AB ， ,14, R C B ，则2,1 R C BA ； （）当C 时，433mm，得到 7 2 m ，符合题意； 或C 时， 433 332 mm m 或 433 43 mm m ，解得 75 23 m 或7m 综上所述，实数用的取值范围是 5 ,7, 3 19【解析】 （）直线x（R）与函数 fx， g x的图象分别交于 M、N 两点. 当 4 有， 23 sin 2cos 21 cos 44632 MN . （）sin2cos
33、23 sin 2 66 MN 0, 2 ， 5 2, 666 MN的值域为0, 3 . 20【解析】 （）数列 n a的公比为 q，则由 123 2aaa，得： 2 11 2aqa q 16 2 20qq，因为1q ，所以2q . 又 3 14S ， 3 1 1 14 1 aq q ， 1 2a， 从而 * 2n n anN， * 2 log nn ban nN （） 1 1111 11 nn b bn nnn 1 22 31 1111 1 11 n nn n T bbb bb bnn 故不等式 21 1 n n n nb T na 等价于 2121 1 212 nn nnnn nn 对 *
34、nN都成立， 令 21 2n n f n ， 121 42 f nn f nn ，令 21 1 42 n n ，得 3 2 n ；令 21 1 42 n n ，得 3 2 n ， 所以当1n 时， 121 1 42 f nn f nn ；当2n 时， 121 1 42 f nn f nn 故 max 3 2 4 f nf，Z ， min 1 21【解析】 （） 2 3sin2cos2sin1 26 x f xxx 2sin1 1 6 f mm ，得sin1 6 m ， 由 2sin11 6 f nn ，得sin0 6 n ， mn的最小值为 4 ，则函数 yfx的最小正周期为4 4 ，则 2
35、2 ， 因此， 2sin 21 6 f xx ； （）coscos0AB BCABBCBABBCB ，cos0B， 所以，B 为钝角，A 为锐角， 2sin 21 1 6 f AA ，可得sin 21 6 A ， 17 0 2 A ， 5 2 666 A ，则2 62 A ，解得 3 A 由正弦定理得 3 2 1 sinsinsin3 2 bca BCA ，则sinbB，sincC， 由题意得 0 2 2 C B ，即 0 2 2 23 C C ，解得0 6 C ， 3sin 6 bcC ， 0 6 C ， 663 C ，则 13 sin 262 C ， 33 22 bc. 因此，bc的取值范
36、围是 3 3 , 22 22【解析】 （）函数 sinfxx不是“圆满函数”，理由如下： 若 sinfxx是“圆满函数”.取 1 6 x ，存在 2 xR，使得 12 1fxfx， 即 2 sinsin1 6 x ，整理得 2 sin2x ，但是 2 sin1x ，矛盾， 所以 sinfxx不是“圆满函数” 注：只要反例举得恰当，即可得分. （） 1 3xg x 在,m n上单调递增， 取 1 xm，则存在 2 ,xm n，使得 2 1g m g x， 2 1 g x g m . 如果 2 xn，取 1 xn，则存在 3 ,xm n，使得 3 1g n g x， 3 1 g x g n . 因为 g x在,m n上单调递增，所以 2 1 g ng x g m .所以 3 1 g xg m g n 又 3 ,xm n，所以 3 ,g xg mg n ，上式 3 g xg m与之矛盾， 18 所以假设不成立，所以 2 xn.即 1g m g n ，即 11 331 mn ，整理得20mn. 因为 1g m g ng m g m，所以 1 31 m g m ，1m . 又0m ，所以 m 的取值范围是0,1. 2 22 17 2 24 mnmmm .因为0,1m， 所以 2 mn的取值范围是 7 ,2 4 .
