1、1 泰安肥城市2020-2021学年高二上学期期中考试 数 学 试 题 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的。 1若直线l
2、的倾斜角 0 45，则其斜率k A 1 2 B 2 2 C1D3 2如图，已知平行六面体ABCDABC D ，点E是 CC 的中点，下列结论中错误 的是 A=ABAD AC BABAABA CABADAAAC D 1 2 ABBCCCAE 3圆 22 235xy的圆心和半径分别是 A2,3 , 5B2, 3 , 5C2,3 ,5D2, 3 ,5 4已知直线l：32yx，则直线l经过哪几个象限 A B C D A B C D E 2 A一、二、三象限B一、二、四象限 C二、三、四象限D一、三、四象限 5若两异面直线 1 l与 2 l的方向向量分别是 12 1,0, 1 ,0, 1,1nn,则直线
3、 1 l与 2 l的 夹角为 A 0 30B 0 60C 0 120D 0 150 6已知2,5 ,4,1AB,若点,P x y在线段AB上，则2xy的最小值为 A1B3C7D8 7如图，梯形ABCD中，/ABCD，2ABCD，点O为空间内任意一点， ,OAOBOC abc，向量ODxyz abc， 则, ,x y z分别是 A1, 1,2B 1 1 ,1 2 2 C 11 ,1 22 D 11 , 1 22 8圆 22 60 xyx和圆 22 460 xyxy交于,A B两点，则两圆公共弦的 弦长AB为 A 9 10 5 B 9 10 10 C 7 10 5 D 7 10 10 二二、选择题
4、选择题：本题共本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分。在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分。分。 9下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是 A两条不重合直线 12 ,l l的方向向量分别是2,3, 1 ,2, 3,1 ab，则 12 /ll； B直线l的方向向量1, 1,2a，平面的法向量是6,4, 1u，则l； C两个不同的平面, 的法向量分别是2,2, 1 ,3,4,2 u
5、v，则； D直线l的方向向量0,3,0a，平面的法向量是0, 5,0u，则/l. AB C D O 3 10直线20 xy分别与x轴，y轴交于,A B两点，点P在圆 2 2 22xy上， 则PAB面积的可能取值是 A2B2C4D6 11在正方体 1111 ABCDABC D中,点,E F G分别为棱 11111 ,AD D D AB的中点. 则下列结 论正确的是 A 1 ACEGB/GCED C 11 B FBGC 平面DEF和 1 BB所成角为 4 12古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点,A B的距离之比为定值 1 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系
6、xoy中， 已知4,2 ,2,2AB, 点P满足2 PA PB , 设点P的轨迹为圆C, 下列结论正确的是 A圆C的方程是 22 4216xy. B过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为 3 . C过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为 2，该直线斜率为 15 5 . D在直线2y 上存在异于,A B的两点,D E, 使得2 PD PE . 三三、填空题：本题共、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分。 13. 平面的一个法向量是2, 2,1 n， 点1,3,0A 在平面内， 则点2,1,4P 到平面的距离为. 14. 已知两条平行直线 12 :34
7、60:34=0lxylxyC与间的距离为3，则C的值 为 15. 如图，已知,PAABC平面 6,PAABBC 0 120 ,ABC则线段PC长为 P A B C 4 16已知点M是直线:22l yx 上的动点，过点M作圆 22 :114Cxy的 切线,MA MB，切点为,A B，则当四边形MACB的面积最小时，直线AB的方程 为. 四四、解答题、解答题：本题共：本题共 6 6 小题，小题，共共 7070 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （1010 分）分） 求经过直线 12 34502380lxylxy : ， : 的交点M,且满足
8、下列条件的直线的方程. （1）经过点1,3P； （2）与直线2+50 xy平行. 18 （12 分）分） 已知空间中的三点2,0,2 ,1,1,2 ,3,0,4PMN,设,PMPN ab. （1）若ka+b与2k ab互相垂直，求k的值； （2）求点N到直线PM的距离. 19 （1212 分）分） 条件：图（1）中tan2B . 条件：图（1）中32ADABAC . 条件：图（2）在三棱锥ABCD的底面BCD中，,1 BCD CDBD S. 从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并加以解答. 如图 （1） 所示， 在ABC中, 0 45ACB，3BC ， 过点A作ADBC， 垂足D在
9、线段BC 上， 沿AD将ABD折起， 使 0 90BDC(如图 （2） )， 点M为棱AC的中点 已知_, 在棱CD上取一点N，使得3CNDN，求锐二面角MBNC的余弦值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 图（1） BD A C C DN 图（2） M A B 5 20 （12 分）分） 已知在平面直角坐标系xoy中，点0,3A，直线:24l yx. 圆C的半径为1， 圆心C在直线l上. （1）若直线34120 xy与圆C相切，求圆C的标准方程； （2）已知动点,M x y，满足2MAMO，说明M的轨迹是什么? 若点M同时 在圆C上，求圆心C的横坐标a的取值范围. 21 （12
10、分）分） 如图所示多面体中，AD 平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，EAD为的中点，F为 线段BP上一点， 0 =120 ,3,5,2.CDPADAPCD （1）若FBP为的中点，证明：EF平面PDC； （2）若 1 3 BFBP,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值. 22 （12 分）分） 已知点,A B关于原点O对称，点A在直线0 xy上，2AB ，圆M过点,A B且与直线 10 x 相切，设圆心M的横坐标为a. （1） 求圆M的半径； F D C B A P E 6 （2） 已知点(0,1)P,当2a 时,作直线l与圆M相交于不同的两点,M N,已知直线 l不经过点P,且直线,P
11、M PN斜率之和为1,求证：直线l恒过定点. 7 高二数学参考答案及评分标准 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4 40 0 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的。 题号12345678 答案CBADBACA 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0
12、 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分。分。 题号9101112 答案ACBCDADABD 三三、填空题：本题共、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分。 13. 10 3 14.921 或15.1216.210 xy 四四、解答题、解答题：本题共：本题共 6 6 小题，小题，共共 7070 分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.17.（1 10 0 分）分） 解：由 3450 2380 xy xy ， ， 解得 1 2 x y ， ， 故点1,2M .设所求直线为l.4 分 （1）当
13、直线l经过点1,3P时，可得直线l的方程为 12 3211 xy ， 化简得250 xy.7 分 （2）若直线l平行直线2+50 xy，则直线l的斜率为2, 所以直线l的方程为221yx ，即20 xy.10 分 18.18.（1 12 2 分）分） 解：由题意可求得1,1,0PM a,1,0,2PN b.2 分 （1）可得1, ,2 ,22, , 4 .kkkkkka + bab4 分 因为2kka + bab,所以有 2 1280kkk,7 分 8 整理得 2 2100kk,解得 5 2. 2 kk 或 所以k的值为 5 2. 2 kk 或8 分 （2）设直线PM的单位方向向量为u, 则
14、222 1,1,0,0 222 a u = a .9 分 由于1,0,2PN b，所以 2 2 b u，5 2 b.11分 所以点N到直线PM的距离 2 223 2 5. 22 d 2 bb u12 分 1919. .（1212 分）分） 解：方案一：选 在图(1)所示的ABC中，设ADCDx，在Rt ABD中， tan2 3 ADx B BDx ,解得2x ，1BD .2 分 以点D为原点，建立如图所示 的空间直角坐标系Dxyz,则 (0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),DBC (0,0,2),(0,1,1)AM ( 1,1,1)BM .4 分 由3CNDN,可得 1 (0,0)
15、2 N， 1 ( 1,0) 2 BN .6 分 取平面BNM的一个法向量( , , )x y zn, 由 0, 0 BN BM n n ,得 1 0, 2 0 xy xyz ，令1x ，则(1,2, 1)n.9 分 取平面BNC的一个法向量(0,0,1)m,10 分 D A B C M x y z N 9 222 (0,0,1) (1,2, 1)6 cos |6 12( 1) , | m n m n m n , 11 分 锐二面角MBNC的余弦值为 6 6 .12 分 方案二：选 在图(1)所示的ABC中，由32ADABAC 得 2,2.ADABACADDCBD 即 因为3,2BCDCBD,所
16、以2,1.CDBD2 分 以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),DBC (0,0,2),(0,1,1)AM ( 1,1,1)BM . 4 分 由3CNDN, 可得 1 (0,0) 2 N， 1 ( 1,0) 2 BN . 6 分 取平面BNM的一个法向量( , , )x y zn, 由 0, 0 BN BM n n ,得 1 0, 2 0 xy xyz ，令1x ，则(1,2, 1)n.9 分 取平面BNC的一个法向量(0,0,1)m,10 分 222 (0,0,1) (1,2, 1)6 cos |6 12( 1) , | m
17、n m n m n , 11 分 锐二面角MBNC的余弦值为 6 6 .12 分 方案三：选 图（2）在三棱锥ABCD的底面BCD中,设(03)BDxx ，则 3CDx , 所以 1 (3)1 2 BCD Sxx ,解得12xx或. D A B C M x y z N 10 又因为CDBD,所以2,1.CDBD2 分 以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz, 则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)DBCAM， ( 1,1,1)BM .4 分 由3CNDN, 可得 1 (0,0) 2 N， 1 ( 1,0) 2 BN . 6 分 取平面BNM
18、的一个法向量( , , )x y zn, 由 0, 0 BN BM n n ,得 1 0, 2 0 xy xyz ， 令1x ，则(1,2, 1)n.9 分 取平面BNC的一个法向量(0,0,1)m,10 分 222 (0,0,1) (1,2, 1)6 cos |6 12( 1) , | m n m n m n , 11 分 锐二面角MBNC的余弦值为 6 6 .12 分 2020. .（1212 分）分） 解： （1）因为圆心C在直线l上, 所以圆心C可设为,24aa. 由题意可得 22 34 24121128 1 5 34 aaa ,即11285a.2 分 由11285a , 解得 23
19、3 11 aa或.4 分 圆心C的坐标为 23 2 3,2, 11 11 或. 所以圆C的标准方程为 22 22232 3211. 1111 xyxy 或6 分 （2）由2MAMO,得 2 222 32xyxy, D A B C M x y z N 11 化简得: 22 230 xyy,即 2 2 14xy. 所以动点M的轨迹是以0, 1D为圆心,半径是2的圆.8 分 若点M同时在圆C上, 则圆C与圆D有公共点, 则2 12 1CD ,即 2 2 1233aa.10 分 整理得 2 2 51280, 5120 aa aa , 解得 12 0 5 a. 所以圆心C的横坐标a的取值范围为 12 0
20、, 5 .12 分 2121. .（1212 分）分） （解法一）证明： （1）取PC的中点为O，连,FO DO, 因为,F O分别为,BP PC的中点，所以/FO BC且 1 2 FOBC.1 分 又ABCD为平行四边形,/EDBC且 1 2 EDBC, 所以/FOED且FOED, 即四边形EFOD是平行四边形. 即/EFOD.3 分 又EF 平面PDC,DO 平面PDC, 所以/EF平面PDC. 5 分 （2）以DC所在直线为x轴， 过D点且与平面ABCD垂直的直 线为y轴，DA所在直线为z轴建 立如图所示空间直角坐标系，则 0,0,0D，2,0,0C,2,0,3B， 2,2 3,0P ，
21、0,0,3A， 0,0,3 ,4, 2 3,0CBPC .7 分 设( , , )F x y z， 14 2 (2, ,3)(,3, 1) 33 3 BFxy zBP , 2 2 ( ,3,2), 3 3 F则 2 2 ( ,3, 1) 3 3 AF . 8 分 O F x D C P y B E A z 12 设平面PBC的法向量为 1 ( , , )x y zn 则 1 1 0, 0 CB PC n n ,即 30, 42 30 z xy ，取1y 得 1 3 (,1,0) 2 n. 10 分 1 1 1 232 3 36 21 323 cos, 3544357 11 93432 AF A
22、F AF n n n ， AF与平面PBC所成角的正弦值为 6 21 35 . 12 分 （解法二）证明： （1） 以DC所在直线为x轴，过D点且与平面ABCD垂直的直线为y轴， DA所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，则0,0,0D，2,0,0C,2,0,3B， 2,2 3,0P ，0,0,3A.2 分 因为EAD为的中点，FBP为的中点，所以 33 0,0,0, 3, 22 EF . 直线EF的方向向量 0, 3,0EF .3 分 取平面PDC的一个法向量(0,0,1)n，4 分 因为0EF n ，即EF n. 所以EF平面PDC.5 分 （2） 0,0,3 ,4, 2 3,0 ,C
23、BPC 设( , , )F x y z， 14 2 (2, ,3)(,3, 1) 33 3 BFxy zBP , F x D C P y B E A z 13 2 2 ( ,3,2), 3 3 F则 2 2 ( ,3, 1) 3 3 AF . 8 分 设平面PBC的法向量为 1 ( , , )x y zn 则 1 1 0 0 CB PC n n ,即 30 42 30 z xy ，取1y 得 1 3 (,1,0) 2 n. 10 分 1 1 1 232 3 36 21 323 cos, 3544357 11 93432 AF AF AF n n n AF与平面PBC所成角的正弦值为 6 21
24、35 . 12 分 2 22.2.（1 12 2 分）分） 解：（1）因为圆M过点,A B,所以圆心M在AB的垂直平分线上， 由已知点A在直线0 xy上，且点关于原点O对称， 所以点M在直线yx上，则点M的坐标为, a a. 1 分 因为圆M与直线10 x 相切，所以圆M的半径为1a, 连接MA,由已知得1AO , 又MOAO,故可得 2 2 121aa, 3 分 整理得： 2 20aa，解得02aa或, 故圆M的半径为13.rr或5 分 （2）因为2a ,所以0a ,圆M的方程为 22 1xy. 设点 1122 ,M x yN xy, 当直线l的斜率存在时,设直线:1l ykxm m , 联
25、立方程组 22 1 ykxm xy ,消去y得 222 1210.kxkmxm 则 2 22 1212 22 21 410,. 11 kmm kmxxx x kk 7 分 因为 1221 12 1212 1111 PMPN yxyxyy kk xxx x 14 12211212 1212 1121kxmxkxmxkx xmxx x xx x 12 2 12 11 22 222. 11 mxxmkmkm kkk x xmm 9 分 又因为直线,PM PN斜率之和为1,所以 2 21 1 km k m , 得21mk . 代入ykxm,得2121ykxkk x , 所以直线l恒过定点2, 1 .10 分 当直线l的斜率不存在时, 2121 ,xx yy 11 121 112 . PMPN yy kk xxx 因为直线,PM PN斜率之和为1,所以 1 1 2 1,2x x , 但 11 11,0,xx 且故不合题意,舍去. 综上, 直线l恒过定点2, 1 .12 分 15 更更正正 附加题的答题卡图：原图少个字母 A 改为：
