1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 安徽省示范高中培优联盟安徽省示范高中培优联盟 20202020 年春季联赛年春季联赛( (高二高二) ) 数学数学( (文科文科) ) 第第卷卷( (选择题选择题 共共 6060 分分) ) 一一、选择题选择题( (本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的) ) 1.已知全集UxN *|x7，集合 M1，3，5，7，集合N3，4，5，6，7，则( U M)N （） A. 1，2，4，6B
2、. 3，5，7C. 4，6D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合补集、交集运算的定义计算 【详解】1,2,3,4,5,6,7U ， 2,4,6 UM ， UM NI4,6 故选：C. 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题关键 2.设复数z 1 2 i i (其中i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于 （） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根据复数代数形式的除法运算求出复数z，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义 判断可得； 【详解】解：因为 1i2i 1i13i 2i2i2i5
3、 z ，所以 13i 55 z 故z在复平面内对应的点的坐标为 1 3 , 5 5 位于第一象限 故选：A 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算及复数的几何意义，属于基础题 3.在集合1，2，3，4，5中任取两个不同的数x，y，则事件xy5 的概率等于（） A. 0.3B. 0.4C. 3 7 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】 不妨令x y ，列出, x y的不同取值，再列出满足 5xy 额事件数，根据古典概型的概率 公式计算可得； 【详解】 解： 不妨令x y ， 则, x y的不同取值有1,2，1,3，1,4，1
4、,5，2,3，2,4， 2,5，3,4，3,5，4,5共 10 种，其中满足 5xy 的有1,2，1,3，1,4，2,3 共 4 种， ，所以事件 5xy 的概率为. 4 0 4 10 故选：B 【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率问题，属于基础题. 4.“a0，不等式 1 x e x a恒成立，则a的取值范围为_ 【答案】,1 【解析】 【分析】 由题意得，e 1 x a x e10 x ax ， 令 e1 x f xax ， exfxa， 对a分1a和 1a 两种情况导函数的正负，得出原函数的单调性和最值，可得a的范围. 【详解】0 x 时， e1 x a x e10 x ax ，令 e
5、1 x f xax ，则 exfxa， 当1a时， 0fx ，所以 00fxf，符合题意； 当1a 时，由 0fx 得lnxa（ln0a ） ，所以0,lnxa时， 0fx ，所以 00f xf，这与e10 x ax 矛盾 所以a的取值范围为,1 故答案为：,1. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，关键在于构造函数，讨论其导函数的正负，得出所 构造的函数的单调性，再运用恒成立的思想，得以求参数的范围，属于难度题. 三三、解答题解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 7070 分分解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 ) ) 17
6、.已知正项数列an的前n项和为Sn，满足a11，anan14Sn-1 （1）求数列an的通项公式； （2）bn 12 1 nn aa ，求数列bn的前n项和Tn 【答案】 （1）21 n an； （2） 3 23 n n T n . 【解析】 【分析】 （1）由 1 41 nnn a aS ，得 121 41 nnn aaS ，两式相减得 121 4 nnnn aaaa ，再由 n a为正项数列，得 1 0 n a ，可得 2 4 nn aa ，从而数列 n a的奇数项和偶数项分别成等 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 差数列，再由等差数列的通项的求法，可得答案
7、 （2）由于21 n an，可得 111 2 2123 n b nn 运用裂项相消法可求和. 【详解】（1） 1 41 nnn a aS ， 121 41 nnn aaS ， 两式相减得 121 4 nnnn aaaa ， n a为正项数列， 1 0 n a ， 2 4 nn aa ，数列 n a的奇数项和偶数项分别成等差 数列 在 1 41 nnn a aS 中令1n 得， 121 41a aa， 1 1a ，解得 2 3a ，故数列 n a为等 差数列，且公差为2， 1 2121 n aann，即数列 n a的通项公式为21 n an （2） 由（1）知 12 11111 21232 21
8、23 n nn b aannnn ，则 12 1 111 11111 2 352 572 2123 nn Tbbb nn 1 11 2 323n 3 23 n n 所以 3 23 n n T n . 【点睛】本题考查数列的前n项与通项的关系，以及运用裂项相消法求数列的和的方法，属 于中档题 18.已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， sinsin tan coscos BC A BC （1）求角A； （2）若a 3，求b 2+bc 的取值范围 【答案】 （1） 3 A ； （2）0,32 3 【解析】 【分析】 （1）由切化弦思想结合两角差的正弦公式得出sinsinABCA，求出A
9、B和 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - CA的取值范围，可得出ABCA或 ABCA （不成立） ，结合三角形 的内角和定理可得出角A的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换思想得出 2 bbc 2 3sin 23 3 B ，由角B的取值范 围，结合正弦函数的基本性质可求得 2 bbc的取值范围. 【详解】 （1）由 sinsin tan coscos BC A BC 得 sinsinsin coscoscos ABC ABC ， 即sincossincosABACcossinABcossinAC， 也即sincosABcossinAB=cossinACsinco
10、sAC，所以sin AB sin CA ， 所以ABCA或 +ABCA （不成立） ，所以2BCA，则 3 A （2）由正弦定理得2 sinsinsin bca BCA ，所以2sinbB，2sincC因为 3 A ， 所以 2 3 CB ， 所以 2 bbc 2 2 4 sinsinsin 3 BBB 2 33 4sincossin 22 BBB 3sin23 1cos2BB 2 3sin 23 3 B 因为 2 0 3 B ，所以2 33 B ，所以 3 sin 21 23 B ，所以 02 3sin 2+332 3 3 B ， 故 2 bbc的取值范围为0,3 2 3 【点睛】本题考查三
11、角形中角的计算，同时也考查了三角形中与边长相关的代数式的取值范 围的计算，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，APC90，BPD120，PBPD 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （1）求证：平面APC平面BPD； （2）若AB2AP2，求三棱锥C-PBD的体积 【答案】 （1）详见解析； （2） 1 2 【解析】 【分析】 （1）记AC与BD交点为O，利用BDOP，BDAC证得线面垂直，从而可证得面面 垂直； （2）设POm，利用Rt BOC求得m，从而得,AC BD PC的长度，过P作PHA
12、C， 垂足为H，由（1）可证PH就是四棱锥的高，求出这个高及底面面积, 用换底法可得体积 【详解】 （1）证明：记AC与BD交点为O，PBPD，O为BD的中点，BDOP， 又ABCD为菱形，BDAC AC和OP是平面APC内两条相交直线，BD 平面APC 又BD 平面BPD，平面APC 平面BPD （2）设POm，90APC，2ACm，又120BPD，所以60BPO，所 以 3BOm ，因为2BCAB，所以在Rt BOC中，由勾股定理得 222 ( 3 )2mm， 0m ，1m ， 3CP 过P作PHAC， 垂足为H， 由 （1） 知，BD 平面APC， 平面APC 平面ABCD 又 平面AP
13、C 平面ABCDAC，所以PH 平面ABCD 在RtPAC中，得 3 2 PA PC PH AC ，所以三棱锥CPBD 的体积 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - CPBD V P BCD V 1 3 BCD SPH 11131 1 2 3 32622 OC BD PH 【点睛】本题考查证明面面垂直，考查求棱锥的体积，解题方法是换底法换底后直接利用 棱锥体积公式求得体积 20.Fibonacci数列又称黄金分割数列，因为当n趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后 项的比值越来越接近黄金分割数 15 0 618 2 - . 已知Fibonacci数列的递推关系式为
14、12 12 1 3 nnn aa aaan ， （1）证明：Fibonacci数列中任意相邻三项不可能成等比数列； （2）Fibonacci数列an的偶数项依次构成一个新数列，记为bn，证明：bn1-H 2b n为等 比数列 【答案】 （1）详见解析； （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）利用反证法，假设存在 n a， 1n a ， 2n a 三项成等比数列，则 2 1+2nnn aa a ，进而由已知 关系证得 1 15 2 n n a a 是无理数，这与其递推公式中反应的为有理数矛盾，得证； （2）由题表示 2nn ba，进而由已知 n a的递推关系表示出 n b的递推公式，再构造等
15、比数列 1nn bmb ，进而由一一对应关系计算出对应参量，最后由等比数列定义得证. 【详解】 （1）证明： （反证法）假设存在 n a， 1n a ， 2n a 三项成等比数列，则 2 1+2nnn aa a ， 所以 2 1+1nnnn aaaa ，所以 2 11 10 nn nn aa aa ，解得 1 15 2 n n a a ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 由条件可知Fibonacci数列的所有项均大于 0，所以 1 15 2 n n a a ， 又Fibonacci数列的所有项均为整数（由递推公式） ，所以 1 n n a a 应该为有理数，
16、这与 1 15 2 n n a a （无理数）矛盾（其相邻两项中的前项与后项的比值越来越接近黄金分割 数，而不是恰好相等） ， 所以假设不成立，故原命题成立 （2）证明：由条件得 2nn ba， 21222nnn aaa ， 所以 22423222221222222221 2233 nnnnnnnnnnnnn baaaaaaaaaabb ， 即 21 3 nnn bbb ， 设 21121nnnnnnn bmbn bmbbmn bmnb ，则 35 3 2 1 35 2 m mn mn n 或 35 2 35 2 m n 所以 211 353535 222 nnnn bbbb 或 211 35
17、3535 222 nnnn bbbb 所以 22 211 35 2 nnnn bHbbHb ，所以 2 1 nn bHb 为等比数列，公比为 3 2 5 【点睛】本题考查数列中的新定义问题的证明，涉及反证法的考查，还考查了构造等比数列， 属于难题. 21.已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，且经过点M(1， 3 2 ) （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线l不过点P(0，1)，与椭圆C交于A、B两点，记直线PA、PB的斜率分别为k1、 k2，且满足k1k21，求证：直线l过定点，并求出该定点坐标 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网
18、- 17 - 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）证明详见解析；该定点坐标为 2, 1 【解析】 【分析】 （1）由离心率为 3 2 即 3 2 c a ，又 222 cab，得2ab，再由椭圆经过点M(1， 3 2 )， 可求出椭圆C的标准方程. （2）设 11 ,A x y， 22 ,B xy设直线PA的方程为 1 1yk x,由直线PA的方程与椭圆方 程联立解得A点坐标，同理解得B点坐标,从而求出直线l的斜率，得出l方程，求出直线l 所过的定点. 【详解】解： （1） 设椭圆焦距为2c，则 3 2 c a ，又 222 cab，得2ab， 所以C的方程化为 22 22 1
19、4 xy bb ，将 3 1, 2 M 代入有 22 13 1 44bb 解得1b ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2） 设 11 ,A x y， 22 ,B xy设直线PA的方程为 1 1yk x 由 1 1yk x与椭圆方程 2 2 1 4 x y联立，得 2 2 1 11 4 x k x 化简得： 22 11 1480kxk x 解得 1 1 2 1 8 14 k x k ， 2 1 1 2 1 14 14 k y k ， 同理，解得 2 2 2 2 8 14 k x k ， 2 2 2 2 2 14 14 k y k 所以直线l的斜率为 22 21 22 2121
20、12 2 21 211211 1 22 21 1414 141411 88 14141 21 1414 kk yykkkk k kk xxk kkk k kk ， 所以直线l的方程为 11 2 1 1 21 yyxx k ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 即 2 11 222 11 1 8141 1414 21 kk yx kk k （*） 取0k ，得直线 1yx， 取1k ，得直线 17 99 yx，联立两直线解得交点2, 1， 经检验，2, 1符合方程（*） ，所以直线l过定点2, 1 【点睛】本题考查根据离心率和椭圆上的点求椭圆方程，由直线方程与椭圆
21、方程联立求出交 点坐标，进而求出直线斜率，求出直线所过定点，属于中档题. 22.已知函数( ) x f xeax （1）讨论函数 ( )f x的单调性； （2）证明：当a3 时，函数g( )( )lnxf xxx有且只有两个零点 【答案】 （1）分类讨论，详见解析； （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）由( ) x fxea，分0a 和0a 两种情况进行讨论得出函数的单调性. （2）函数g( )( )lnxf xxx有且只有两个零点,即方程( )0g x 有且只有两个实数根，即 ln30 x e x x 有且只有两个实数根，设( )ln3 x e xx x ，求出导数，求出函数( )x的
22、单 调区间，结合零点存在原理得出结论,使得问题得证. 【详解】解： （1） ( )f x的定义域为R， ( ) x fxea 0a 时，( )0fx ，则 ( )f x在R是单调递增； 0a 时，由( )0fx 得lnxa，当lnxa时，( )0fx ， ( )f x单调递减； 当lnxa时，( )0fx ， ( )f x单调递增 综上，0a 时 ( )f x在R是单调递增； 0a 时， ( )f x在 ,lna单调递减，在ln , a 单调递增 （2） ( )0g x ln30 x e x x ，令( )ln3 x e xx x ， 则 2 1 ( ) x exx x x ，令( )1 x
23、p xexx， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 - 显然01x时，( )0p x ， 1x 时，( )10 x p xxe ，所以( )p x在1 ，上单调递增. (1)10p , 2 (2)20pe 易知存在唯一 1 21x，使 1 ( )0p x，且 1 0,xx时，( )0p x ，即( )0 x，( )x单 调递减； 1, xx时，( )0p x ，即( )0 x，( )x单调递增， 所以( )x至多有两个零点又 1 ( ) 2 2ln230e ， (1)30e ， 33 (3)ln3350 33 ee ， 故( )x在区间 1 ,1 2 和1,3各有一个零点所以函数( )g x有且只有两个零点 【点睛】本题考查导数中含参数的单调性的分类讨论，利用导数证明函数的零点个数，利用 导数证明函数的零点个数时要讨论出函数的单调性结合零点存在原理来证明，属于中档题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 20 -
