1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 高二数学高二数学 第第卷（选择题共卷（选择题共 60 分）分） 一、选择题一、选择题 1. 设集合 2 |430Ax xx，|230Bxx，则AB （） A. 3 3, 2 B. 3 3, 2 C. 3 1, 2 D. 3 ,3 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先解不等式得到集合,A B，然后再求出AB即可 【详解】由题意得 2 43013Ax xxxx， 3 2 Bx x 33 3,3 22 ABxx 故选：D 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合， 属于基础题 2. 已知向量1,
2、3, 2amb ，且abb ，则m（） A. 8B. 6C. 6D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 首先计算a b 的坐标，再根据abb 即可得到m的值. 【详解】由题知：4,2 abm+， 因为abb ，所以4 32(2)0 mabb+，解得8m 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 3. 已知两条直线 1: 1210laxy , 2: -50lxay平行,则a () A -1B. 2 C. 0 或-2D. -1 或 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线平行的
3、等价条件建立方程关系进行求解即可 【详解】解：当0a 时，两直线分别为 210 xy ，和50 x ，此时两直线不平行， 当0a 时，若两直线平行，则 121 15 a a ， 由 12 1 a a 得 2 20aa ，得1a 或2a ， 当1a 时， 21 5a 成立， 当2a 时， 21 5a 成立， 综上1a 或 2， 故选 D 【点睛】本题主要考查直线平行的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键 4.ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c己知2a ，6b ， 4 A ，则B （） A. 6 B. 3 C. 6 或 5 6 D. 3 或 2 3 【答案】D 【解析】 【分析
4、】 利用正弦定理直接求解即可 【详解】解：因为2a ，6b ， 4 A ， 所以由正弦定理得， sinsin ab AB ， 得 2 6sin6 sin3 42 sin 222 bA B a ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 因为 4 A ，ba，所以 3 (,) 44 B ， 所以B 3 或 2 3 , 故选：D 【点睛】此题考查正弦定理的应用，属于基础题 5. 若函数 ( )f x是定义在R上的偶函数， 在 ,0上是减函数， 且 (2)0f， 则使得( )0f x 的x的取值范围是（） A.,2B.2,2C.(,2)(2,)D.(2,) 【答案】B 【解析
5、】 【分析】 由偶函数的性质可知函数 ( )f x 在0,)上递增，再由(2)0f，( )0f x ，可得 ( )(2)f xf，则()(2)f xf，从而可求得结果 【详解】解：因为函数 ( )f x是定义在R上的偶函数，在 ,0上是减函数， 所以 ( )f x在0,)上递增， 因为(2)0f，( )0f x ，所以( )(2)f xf， 因为函数 ( )f x是定义在R上的偶函数，所以()(2)f xf ， 所以2x ，解得22x ， 故选：B 【点睛】此题考查偶函数性质的应用，考查函数的单调性的应用，属于基础题 6. 设 n S是等差数列 n a的前n项和，若 135 3aaa，则 5
6、S=（） A. 5B. 7 C. 9D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可求出 3 a，再利用等差数列求和公式及等差数列的性质即可求出 5 S. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【详解】因为 1353 33aaaa ，所以 3 1a ，所以 153 53 5()5 2 55 22 aaa Sa . 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和公式，属于基础题. 7. 根据下列算法语句, 当输入 x 为 60 时, 输出 y 的值为 （ ） A. 25B. 30C. 31D. 61 【答案】C 【解析】 试题分析：输入
7、60 x ， 判断50?x ，否，250.6 (6050)31y ， 输出31y 故选 C 考点：算法语句 8. 函数 2 1 3 ( )log (6)f xxx 的单调递增区间是（） A. 1 , 2 B. 1 ,2 2 C. 1 , 2 D. 1 3, 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，然后换元，利用复合函数“同增异减”进行求解即可 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【详解】由题意知 ( )f x的定义域为 3,2 令 2 6txx ， 则函数t在 1 3, 2 上递增在 1 ,2 2 上递减 又 1 3 logy 在其定义域上递减 故由
8、复合函数的单调性知原函数的递增区间是 1 ,2 2 故选：B 【点睛】此题考查求复合函数的单调区间，利用“同增异减”的法则求解，属于基础题 9. ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则AB BC 的值为（） A. 19B. 14 C. -18D. -19 【答案】D 【解析】 【分析】 运用余弦定理，求得cosB，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值 【详解】解：由于7AB ，5BC ，6CA， 则 25493619 cos 25735 B ， 则| | cos()AB BCABBCB 19 75()19 35 故选：D 【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，
9、考查余弦定理及运用，属于基础 题和易错题 10. 在ABC中，a，b是A，B所对的边，已知 a cosBbcos A ，则ABC的形状 是（） A. 直角三角形B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【解析】 【分析】 由正弦定理得sin sin A cosBBcos A，化简得in0()sAB,即得解. 【详解】由正弦定理得sin sin A cosBBcos A， 所以sin sin0A cosBcos AB， 所以in0()sAB, 因为,(0, )A B, 所以0,ABAB. 所以三
10、角形是等腰三角形. 故选：B 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些 知识的理解掌握水平. 11. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色 部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 1 4 B. 8 C. 1 2 D. 4 【答案】B 【解析】 设正方形边长为a，则圆的半径为 2 a ，正方形的面积为 2 a，圆的面积为 2 4 a .由图形的对称 性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得， 此点取自黑色部分的概率是 2
11、2 1 24 8 a a ，选 B. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面 积、体积或时间） ，其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量，最后计 算( )P A. 12. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 若 22017 OAa OBaOC 且A，B，C三点共线 （该 直线不过原点O） ，则 2018 S的值为（） A. 1007B. 2018C. 1009 D. 2007 【答案】C 【解析】 【分析】 由三点共线可得向量BA 与BC 共线，再结合共线定理及平面
12、向量基本定理可得 22017 1aa，根据等差数列求和公式及等差数列的下标性质即可求出 2018 S. 【详解】因为A，B，C三点共线，所以向量BA 与BC 共线， 所以有且只有一个实数，使得BA BC ，所以()OAOB OCOB ， 所以(1)OA OBOC ，又 22017 OAa OBaOC ， 由平面向量基本定理可知 2 1a ， 2017 a，所以 22017 1aa， 所以 1201822017 2018 2018()2018() 1009 22 = aaaa S . 故选：C 【点睛】本题主要考查了共线定理、平面向量基本定理、等差数列的性质及等差数列的求和 公式，属于中档题.
13、二、填空题二、填空题 13. 实数a，b满足：1，a，3 成等差数列，1，a，b成等比数列，则b _ 【答案】4 【解析】 【分析】 由 1，a，3 成等差数列，可得24a ，求得2a ，再由 1，a，b成等比数列，可得 2 ba ， 从而可求得结果 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【详解】解：因为 1，a，3 成等差数列，所以2134a ，解得2a ， 所以 1，a，b成等比数列，所以 2 14ba ，即4b ， 故答案为：4 【点睛】此题考查等差中项和等比中项的应用，属于基础题 14. 在ABC中, 若 1 3,cos 2 aA ,则ABC的外接圆的半径为
14、_. 【答案】 3 【解析】 【分析】 由题意求出 sinA，利用正弦定理直接求出ABC 的外接圆的半径 【详解】因为在ABC 中，若 a3，cosA 1 2 ，所以 sinA 3 2 ， 由正弦定理2 sin a R A ，可得： 2sin a R A 3 3 2 2 3 故答案为 3 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能 力 15. 已知向量(4,3)a ，(sin,cos)b ，且a b ，那么tan2_ 【答案】 24 7 【解析】 【分析】 根据a b 可得 0a b ，然后根据向量的数量积的坐标运算可求出tan，再利用正切的二 倍角公式即可
15、求出tan2. 【详解】因为a b ，所以 0a b ， 所以4sin3cos0，所以 3 tan 4 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 所以 22 3 2 2tan244 tan2 1tan7 3 1 4 故答案为： 24 7 . 【点睛】本题主要考查了向量的垂直的坐标表示及正切的二倍角公式的简单应用，属于基础 题. 16. 已知直线:0l axbyc，若, ,a b c成等差数列，则当点 (2,1)P 到直线l的距离最大时， 直线l的斜率是_. 【答案】 1 3 【解析】 【分析】 由已知得直线l过定点，根据点到直线距离定义求解. 【详解】根据题意得2ba
16、c即2cba， 直线l的方程为20axbyba， 可化为21b ya x ， 所以直线l过点1, 2Q， 若点 (2,1)P 到直线l的距离最大，则直线lPQ， 所以 1 lPQ kk ，解得 1 3 l k . 【点睛】本题考查等差数列，直线方程的应用，两直线垂直的斜率关系. 三、解答题三、解答题 17. 记 n S为等差数列 n a的前n项和，已知 1 7a ， 3 15S （1）求 n a的通项公式； （2）求 n S，并求 n S的最小值 【答案】 （1）an=2n9， （2）Sn=n28n，最小值为16 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 分析
17、： （1）根据等差数列前 n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果， （2） 根据等差数列前 n 项和公式得 n S的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整 数求函数最值. 详解： （1）设an的公差为 d，由题意得 3a1+3d=15 由 a1=7 得 d=2 所以an的通项公式为 an=2n9 （2）由（1）得 Sn=n28n=（n4）216 所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为16 点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整 数集这一限制条件. 18. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足3 cos
18、sin0aCcA （1）求角C的大小； （2）已知4b ，ABC的面积为6 3，求边长c的值 【答案】 （1） 3 C ； （2） 2 7c 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理将 3 cossin0aCcA 中的边统一成角，化简可求出角C的大小； （2）由ABC的面积为6 3和4b ，可求出6a ，再利用余弦定理可求出c的值 【详解】 （1）在ABC中，由正弦定理得： 3sincossinsin0ACCA 因为0A，所以sin0A 从而 3cossinCC ，又cos0C 所以tan 3C ，所以 3 C （2）在ABC中， 1 4sin6 3 23 ABC Sa ，得6a 由余弦定理得：
19、222 642 6 4cos28 3 c 所以 2 7c 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题 19. 已知函数 2 3 cossin3cos 34 f xxxx ，xR （）求 fx的最小正周期； （）求 fx在闭区间, 4 4 上的最大值和最小值 【答案】 （）T； （）最大值为 1 4 ，最小值为 1 2 【解析】 【分析】 （）由两角和与差的正弦公式，二倍角公式化函数式为一个角的一个三角函数形式，然后 结合正弦函数性质得周期； （）求出2 3 x 的范围，利用正弦函数性质可得最值
20、 【详解】 （）由已知， ( )f x= 2 133 sin coscos 224 xxx = 13 sin2cos2 44 xx = 1 sin(2) 23 x ， 所以 ( )f x的最小正周期 2 2 T （） 44 x ， 5 2 636 tx ， 由sinyt的图像知， 1 -1sin(2) 32 x 11 ( ) 24 f x， 函数 ( )f x在闭区间, 4 4 上的最大值为 1 4 ，最小值为 1 2 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、二倍角公式，考查正弦函数的周期与最值，解决此 类问题的一般方法是利用三角函数恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式： ( )sin()f x
21、Axk，然后结合正弦函数性质求解 20. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距 12 海里，渔船乙以 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 10 海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的 方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 （1）求渔船甲的速度； （2）求sin的值 【答案】 （1）14 海里/小时； （2）. 【解析】 【详解】 （1）12,20,120ABACBAC , , V甲海里/小时 ； （2）在中， 由正弦定理得 . 点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题. 高考资源网（）您身
22、边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 21. 如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 面ABCD，E为PD的中点 （1）证明：/ /PB平面AEC; （2）设1AP ， 3AD ，三棱锥PABD的体积 3 4 V ，求 A 到平面 PBC 的距离 【答案】 （1）证明见解析（2）A到平面PBC的距离为 3 13 13 【解析】 【详解】试题分析： （1）连结 BD、AC 相交于 O，连结 OE，则 PBOE，由此能证明 PB 平面 ACE （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出 A 到平面 PBD
23、 的距离 试题解析：(1）设 BD 交 AC 于点 O，连结 EO 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点 又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB 又 EO平面 AEC，PB平面 AEC 所以 PB平面 AEC （2） 13 66 VPA AB ADAB 由，可得. 作交于 由题设易知，所以 故， 又 3 13 13 PA AB AH PB 所以到平面的距离为 法 2：等体积法 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 13 66 VPA AB ADAB 由，可得. 由题设易知,得 BC 假设到平面的距离为 d， 又因为 PB= 所以 又因为(或)， ，
24、所以 考点：线面平行的判定及点到面的距离 22. 已知向量2cos ,1ax r ，(cos , 3sin2)bxxm ，函数( )f xa b （1）求函数 fx在0, 上的单调增区间 （2）当0, 6 x 时， 44f x 恒成立，求实数m的取值范围 （3）当0, x时，讨论函数 fx的零点情况 【答案】 （1） 2 0, 63 ； （2）61 m； （3）分类讨论，答案见解析 【解析】 【分析】 （1）先化简 fx，然后采用整体替换法求解出 fx的单调递增区间，最后得到 fx在 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 0,上的单调递增区间； （2）求解出 fx在
25、0 6 , 上的最值，利用最值与4,4的关系求解出m的取值范围； （3）采用换元法令=2 6 ux ，根据sinyu的图象对m作分类讨论从而分析出 fx的零 点情况. 【详解】 （1） 2 2cos3sin2fxa bxxm 3sin2cos212sin 21 6 xxmxm 由222 262 kxk ，kZ 得, 36 kxkkZ 0,x 0 6 x 或 2 3 x fx在0,上的单调增区间是 2 0, 63 （2）由（1）知 fx在0 6 , 上单调递增 当 6 x 时， max3f xm； 当0 x 时， min2f xm 由题设可得 34 24 m m 解得61 m m的取值范围是61
26、 m （3）令 0f x 得：2sin 21 6 xm ， 得： 1 sin 2 62 m x 0,x 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 13 2, 666 x 令 13 =2, 666 ux ，则 1 sin 2 m u 由图知 当 1 1 2 m 或 1 1 2 m ， 即3m 或1m 时，0 个零点 当 1 1 2 m 或 1 1 2 m ， 即3m 或1m 时，1 个零点 当 11 1 22 m 或 11 1 22 m ， 即32m 或21m 时，2 个零点 当 11 22 m 即2m 时，3 个零点 综上：3m 或1m 时，0 个零点 3m 或1m 时，1 个零点 32m 或21m 时，2 个零点 2m 时，3 个零点 【点睛】本题考查平面向量与三角函数综合应用，其中涉及到向量的数量积、正弦型函数的 单调区间、根据三角函数值域求参数范围、三角函数的零点问题，主要考查的是学生的综合 运用能力，难度较难.
