1、光子问答精选19隐零点的应用 光子问答精选19隐零点的应用 导数解决函数综合性问题最终都会归于函数单调性的判断，而函数的单调性与其 导函数的零点有着紧密的联系，可以说导函数零点的判断、数值上的精确求解或估计 是导数综合应用中最核心的问题导函数的零点，根据其数值计算上的差异，可以分 为两类：一是数值上能精确求解的，不妨称为“显零点” ；另一类是能够判断其存在但 无法直接表示的，不妨称为“隐零点” 对于隐零点问题，由于涉及到灵活的代数变形 技巧、抽象缜密的逻辑判断和巧妙的不等式应用，对学生综合能力的要求比较高，往 往成为考查的难点 例若对于x 0，xe2x kx lnx 1 0恒成立，求k的取值范
2、围 发题者：yan 2016-10-03 11:28 分析本题的函数形式较为复杂，既有lnx，又有e2x，还有x和常数干扰，尝试 进行代数变形，发现没有特别好的能够轻易处理的形式，只能分离常数后再处理但 是本题求导后的极值点无法求出，只能通过导函数的隐零点来代换 解（解题者：琪琪1509） 原题等价于 k 6 e2x 1 + lnx x 在(0,+)上恒成立令 g(x) = e2x 1 + lnx x (x 0), 则 g0(x) = 2x2e2x+ lnx x2 . 令 (x) = 2x2e2x+ lnx, 易知(x)在(0,+)内单调递增，又 (e5) 0. 所以(x)有唯一零点，设为x0
3、 则当x (0,x0)时， (x) 0， g(x)单调递增 1 光子问答精选19隐零点的应用 而由 (x0) = 2x2 0e 2x0 + lnx0= 0 可得 e2x0= lnx0 2x2 0 . 进一步可得 ln(2x0) + 2x0= ln(lnx0) + (lnx0). 易知函数h(x) = lnx + x单调递增，所以有 h(2x0) = h(lnx0), 即 2x0= lnx0. 所以 g(x) g(x0) = e2x0 1 + lnx0 x0 = lnx0 2x2 0 1 + lnx0 x0 = 1 x0 1 2x0 x0 = 2. 所以k 6 2 注本题在分析g0(x)的零点时
4、，在确定其零点存在的前提下虚设零点为x0，再借 助该隐零点分析g(x)的单调性，进而求解g(x)的最小值，这有助于将抽象的分析具体 化另外隐零点的另一个优势在于合理代换，即利用隐零点满足的等式去简化需要分 析的表达式对于这类隐零点问题，要做到大胆假设，巧妙设计，即“胆大心细” 练习 1已知函数f(x) = a(x 1)(ex a)， （常数a R，且a 6= 0） （1）证明：当a 0时，函数f(x)有且只有一个极值点； （2）若函数f(x)存在两个极值点x1,x2，证明： 0 f(x1) 4 e2 且0 f(x2) 4 e2 2 光子问答精选19隐零点的应用 发题者：Biminky 2016-09-11 13:10 2设函数f(x) = (x 1)ex kx2（其中k R） （1）当k = 1时，求函数f(x)的单调区间； （2）当k 1 2,1 时，求函数f(x)在0,k上的最大值M 发题者：weilew 2016-10-10 11:15 答案 1略；2 （1）略； （2）(k 1)ek k3 备注：若要查阅详细的解答过程，请在光子问答APP中搜索用户名，查看用户提 问的问题，找到对应时间所发的题即可 3
