1、资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 第一章函数与极限 第一节.映射与函数 一 集合 1集合的概念 1)集合（集）；元素（元）；有限集，无限集；aA，a-A; 2)在表示数集的字母的右上角“*”来表示该集合中排除 0；“+”表示该数集内排除 0 和负数的集合 N:全体非负整数即自然数的集合 N+：全体正整数 Z:全体整数 Q:全体有理数 R:全体实数 R*排除 0 的实数集 R+:全体正实数 子集，真子集，空集 2集合的运算 1)并，交，差 并集，全集（基本集），余集（补集）Ac; 2)运算法则交换律
2、:AB=BA,AB=BA;结合律: (AB)C=A(BC),A(BC)=A(B C); 分配律: (AB) C=(AB)(BC),(AB) C=(AC) (BC); 对偶律:(AB)c=Ac Bc,(A B)c=AcBc. 3)直积（笛卡尔乘积）：AB=(x,y)!xA,yB 3.区间和领域 1)开区间，端点，闭区间，半开区间，有限区间（b-a 称为这些区间的长度），无限区间，区间常用 I 表示 2)邻域：以点 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作 U(a) 设 是任一正数，则开区间（x-）就是点 a 的一个邻域，称为点 a 的 邻域，记作 U(a, ) ， a 称为这个邻域的中心；
3、 去心邻域 (a, );于去 左邻域，去 右邻域； 两个闭区间的直积=:x0y 平面的一个矩形区域，这个区域 在 x 轴与 y 轴的投影分别为闭区间 二.函数 1.映射概念 定义：设 X是两个非空集合，如果存在一个对应法则 f,使得对 X 中每个元素 x，按法则 f，在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应,则称 f 为从 X 到 Y 的映射，记作 f:XY; 象，原象 - 1 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289
4、，大学思维导图共享群：936107849， 第二节.数列的极限 1. 数列极限的定义：1）设为一数列，如果存在常数 a，对于任意给定的正数（无论它有多 么小），总存在正整数 N，使得当时，不等式都成立，那么就从常数 a 是数列 的极限，或者称收敛于 a，记作或 2） 2.几何意义：当时，所有的点都落在开区间内，而且只有有限个（至多只有 N 个）在这区间以外。 3.收敛数列的性质 1)定理二（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界 2)（收敛数列的保号性） 推论： 3）定理四;(收敛函数与其子数列间的关系）如果数列收敛与 a 那么它的任一子数列也收敛，且 极限也是 a 第三节 函数极限
5、 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况： 一、当自变量 x 的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势， 即 x时，f(x)的极限 二、当自变量 x 无限地接近于 x0时，f(x)的变化趋势 即 x时，f(x)的极限 1.定义 定义 1 如果存在常数，对任意给的正数 （不论它多么小）总存在着正，数 X，使得对于适合不等式 |x| X 的一切 x，所对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)-A|,那常数 A 就叫做函数 f(x)当 x时的 极限，记作=A,或 f(x)A(当 x) =A0,使当|x| X 时，恒有|f(x)-A| 2.另两种情形 1)x情形：=A ,恒有
6、|f(x)-A| 2)x：=A 0，使得 x -X 时，恒有|f(x)-A| 定理：=A=A 且=A - 2 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 3.几何解释 二、自变量趋向有限值时函数的极限 1.定义 定义 2如果存在常数 A，对于任意给定的正数 （不论它多么小），总存在正数 ，使得对于适合不 等式 0|一切，对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x)-A| ,那么常
7、数 A 就叫函数 f(x)当 x 时的极限，记作 =A 或 f(x)A(x) 注：定义习惯上称为极限的-定义其三个要素： 10。正数，20。正数，30。不等式 定义中 0 所以 x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在 x0处的状态 并无关系，这是因为我们所关心的是 f(x) 在 x0附近 的变化趋势，即 x x0时 f(x) 变化有无终极目标， 而不是 f(x) 在 x0这一孤立点的情况。约定 x x0但 xx 0 反映了 x 充分靠近 x0的程度，它依赖于， 对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯 一的。由不等式|f(x) A| 来选定， 一般地，越小，越小 左极限 记作=A 或 f(
8、)=A 左极限 记作=A 或 f()=A 三、函数极限的性质 1.唯一性 定理 若函数极限存在，则极限唯一 2.局部有界性 定理:若，则 f(x)在的某去心领域有界 3.局部保号性 定理 若, - 3 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 推论：若 , ,则 A 四、小结 函数极限的统一定义 ; =A;=A; 过程 xxx 时刻N 从此以后 n N|x| NNx f（x）
9、|f(x)-A| 过程 xxx 时刻 从此以后 0|0 f（x） |f(x)-A| 第四节. 无穷小与无穷大 一、无穷小 定义。若 x时，函数 f(x)0,则称函数 f(x)为 x时的无穷小。 注：无穷小很小的数；能作为 无穷小的数只有 0 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) - 4 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 二、 无穷大 定义 2. 若任给 M的 x
10、，总有 |f(x),则称函数 f(x)当时为无穷大，记作= （无穷大无界，无界无穷大） 三、无穷小与无穷大的关系 定理 2. 在自变量的同一变化过程中 若 f(x)为无穷大，则为无穷小；若 f(x)为无穷小，且 f(x）0,则为无穷大。 第五节 极限运算法则 一、无穷小运算法则 定理 1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 注: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 定理 2.有界函数与无穷小的乘积时无穷小 推论 1.常数与无穷小的乘积时无穷小 推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小 二极限的四则运算法则 定理 3.若则有 - 5 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么
11、群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， (B 注：加减乘除可推广到有限个 推论 1.若 推论 2.(C 为常数) 推论 3. 推论 4.若,则有 1） 2) 3)当0 且 B 内容小结 1 极限的运算法则 注意使用条件 2.求极限函数的方法 1）分式函数极限求法 ix时，用代入法（分母不为 0） ii.x时，对 0/型，约去公因子 iii.时，分子分母同除最高次幂 2）符合函数极限求法设中间变量 第六节极限存在准则两个重要极限 一、极限存在准
12、则：夹逼准则、单调有界准则 二、 两个重要极限 一夹逼准则 I 若满足: - 6 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 1） 2),则=a 准则.若 f(x),g(x),h(x)满足： 1）当,g(x) 2)则， 注：夹逼准则不仅可以证明极限存在，而且可以求出极限！ 二、单调有界准则 定义：如果数列满足条件 单调数列 准则.单调数列必有极限 注：收敛 准则 1）内单调有界
13、2）内单调有界 3）内单调有界 3）内单调有界 注：单调有界准则只能证明极限存在，而不能求出极限！ 四重要极限二 =e 1. 极限存在准则（用于证明极限存在） (1) 夹逼准则（可求出极限） (2) 单调有界准则（求不出极限） 第七节 无穷小的比较 一、无穷小的比较 定义。设是同一过程的两个无穷小，且） - 7 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 1）如果=0，就说 是的
14、同阶无穷小，记作 =o（； 2）如果 3）如果 定理 1. 等价无穷小：当 x时 ; ;(1+x;-1) 二、等价无穷小替换 定理（等价无穷小替换定理） 设存在且 意义：求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较 简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同 时代换。 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷 小代换，而不会改变原式的极限 注：用等价无穷小代换的原则是：只能对函数的因子式作等价无穷小代换，对于代数和中的各无穷 小不能分别代换. 小结 1.无穷小的比较:
15、反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小;等价无穷小. 2.等价无穷小的替换: 求极限的又一种方法,注意适用条件. 第八节. 函数的连续性与间断点 一、 函数的连续性 二、 函数的间断点及其分类 一、 函数的连续性 1.定义。设函数 y=f(x)在的某领域内有定义， - 8 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 1）自
16、变量增量： 2) 3)f(x)在点 4)f(x)在（a,b）内连续：f(x)在你（a,b）内每一点连续 5)几何意义：连续函数的图形是一条连续不断的曲线 基本初等函数在其定义域内是连续的. 2.判定单侧连续 定理 1.f(x)在连续 注：f(x)在上连续： 1） f(x)在(a,b)内连续； 2） f( 二、 函数的间断点及其分类 1.定义。设 f(x)在点 1）函数 f(x)在无定义； 2）函数 f(x)在虽有定义，但不存在 3）函数 f(x)在 虽有定义，且存在，但 这样的点成为间断点 2.间断点分类 第一类间断点： 第二类间断点： 中至少一个不存在，如： 若其中有一个为称为无穷间断点；若
17、其中有一个为振荡，称为振荡间断点 内容小结 - 9 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 1. f(x)在点连续的等价表述 2. 2. f(x)在点间断的类型 第一类间断点左右极限都存在 第二间断点左右极限至少有一个不存在 九连续函数运算与初等函数的连续性 一连续函数的和，差，积，商的连续性 定理一：设函数 f(x)和 g(x)在点连续，则它们的和（差）， 积及商（） 都在
18、点处连续。 二反函数和复合函数的连续性 定理二：如果反函数 y=f(x)在区间上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数 也在对于区间上单调增加（或单调减少）且连续。 定理四：设函数由函数 u=g(x)和函数 y=f(u)复合而成，若 ，则 定理四：设函数是由 u=g(x)与函数y=f(x)复合而成，若函数 u=g(x)在 处连续，且，二函数 y=f(x)在连续，则复合函数在连续 三初等函数的连续性 1. 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 2. 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 十闭区间上连续函数的性质 一有界性与最大值最小值定理 定理一：（有界性与最大值最小值的定理）在闭区间上
19、连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的 最大值最小值 二定理与介值定理 定理二：（零点定理）设函数 f(x)在闭区间上连续，且 f(a)与 f(b)异号， 即 （） 那么在开区间（a,b)内至少有一点，使得 定理三：（介值定理）设函数 f(x)在闭区间上连续，且在这区间去不同的函数值 f(a)=A 及 f(b)=B， 那么，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区间（a,b）内至少有一点，使得 三一致连续性 定义：设函数 f(x)闭区，间上有定义，如果对任意给定的正数。总存在着正数使得对于区 间上的任意两点，当时，就有 那么称函数 f(x)在区间上是一致连续的。 定理四：（一致连续性定
20、理）如果函数 f(x)在闭区间上连续，那么它在该区间上一致连续 第二章导数与微分 一导数概念 - 10 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 二.导数定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 设函数 y=f(x)在点的某个领域内有定义，当自变量 x 在处取得增量（点仍在该领域 内）时，相应的函数取得增量；如果与之比当时 的极限存在，则称函数 y=f(x)在点处可导，并称这个极
21、限为函数 y=f(x)在点处的导数，记为 即 2. 单侧导数 1) 极限存在的充要条件条件：左右极限都存在且相等 2）单侧导数：左导数和右导数统称单侧导数 左导数： 函数在可导的充要条件是左导数和右导数到存在且相等。 三导数的几何意义 函数在 y=f(x)在点处的导数在几何上表示曲线 y=f(x)在点处的切线的斜率，即 四函数的可导性与连续性的关系 可导比连续；不连续必不可导；连续不一定可导 第二节. 函数的求导法则 一函数的和，差，积，商的求导法则 定理一：如果函数 u=u(x)及 v=v(x)都在点 x 出具有导数，那么它们的和，差，积，商（除分母为零的 点外）都在点 x 处具有导数，且（
22、推广到有限个） 二反函数的求导法则 定理二：如果函数 x=f(y)在区间内单调，可导且，则它的反函数在区间 内也可导，且 （即反函数的导数等于直接函数的导数） 三复合函数的求导法则 定理三：如果 u=g(x)在点 x 可导，而 y=f(u)在点 u=g(x)可导，则复合函数在点 x 可导， 且其导数为： 四基本求导法则公式 1.常数和基本初等函数的导数公式 1） 2） 3） 4） 5） 6） - 11 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交
23、流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 7）8）9） 10）11）12） 13）14） 15）16） 2.函数的和，差，积，商的求导法则 1）2） 3） 4） 3. 复合函数的求导法则 4. 设 x=f(y)在区间内单调可导且，则它的反函数在区间内也可导，且 三高阶导数 1.（n-1）阶的导数的导数叫 n 阶导数 2.高阶导数：二阶及阶以上的导数称为高阶导数 3.莱布尼茨公式 第三节.隐函数及由参数方程确定的函数的导数相关变化率 一隐函数的导数 1. 隐函数；隐函数的显化 2. 求导法则：方程两边对 x 求导（有 y 的地方记得有） ； 把的表达式写出（结果可能有
24、x,y） 二对数求导法则 1.适用范围：表达式有商，积，乘方，开方；幂指函数 2.方程两边取对数；运用对数的运算法则 三参数 方程所确定的函数的导数 1.定义求举例 2.公式 三相关变化率 设 x=f(t)及 y=y(t)都是可导函数，二变量 x 与 Y 间存在某种关系，从而变化率与也存在一定 关系，这两根个相互依赖的变化率称为相关变化率。 第五节.函数的微分 一微分的定义 1.定义：设函数 y=f(x)在某区间内有定义，及在这区间内，如果增量 可表示为其中 A 是不依赖于的常数，那么称函数 y=f(x)在点 是可微的，而叫做函数 y=f(x)在点相应于自变量增量的微分，记作 dy，即： 2.
25、1） - 12 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 2） 3） 4） 5）主部： 线性主部： 函数的微分：函数 y=f(x)在任意的 x 的微分 自变量的微分：自变量 x 的增量 微商：函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此导数亦称微商 二微分的几何意义 三基本初等函数的微分公式与微分运算法则 1. 基本初等函数的微分公式 导数公式微分公式 2. 函数的和差积
26、商的微分法则 函数的和差积商的求导法则函数的和差积商的微分法则 - 13 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料 资料下载来源：大学学霸笔记共享群：949358567，大学数学交流群：702457289，大学思维导图共享群：936107849， 3.复合函数的微分法则 微分形式不变性 四微分在近似计算中的运用 1.1） 2） 3） 2.假定|x|时很小的数值 1） 2） 3）4） 第三章.微分中值定理与导数的运用 第一节.微分中值定理 一罗尔定理 1. 费马引理：设函数 f(x)在点的某领域内有定义，并且
27、在处可导，如果对任意的， 有（或），那么， 2.罗尔定理：如果函数 f(x)满足1）在闭区间上连续 2）在开区间内可导 3）在区间端点处的函数值相等，即 f(a)=f(b) 那么在（a,b)内至少存在一点（）使得 二拉格朗日中值定理 如果函数 f(x)满足1）在闭区间上连续 2）在开区间内可导 那么在（a,b)内至少存在一点（）使得 定理：如果函数 f(x)在区间上的导数恒为零，那么 f(x)在区间上是一个常数。 三柯西中值定理 如果函数 f(x)及 F(x)满足1）在闭区间上连续 2）在开区间内可导 3）对任一 那么在（a,b)内至少有一点，使得不等式 第二节. 洛必达法则 定理一：设 1）当时，函数 f(x)及 F(x)都趋于零； 2）在点 a 的某去心领域内，及都存在且 3）存在（或为无穷大）。那么 定理二：设 1）设 1）当时，函数 f(x)及 F(x)都趋于零； 2）当时及都存在且 3）存在（或为无穷大）。那么 - 14 - 更多 1 万个 QQ 群的入口在抖音/微博“全球第一群主”（什么群都有），大学物理资料群：718011655，大学化学 资料
