1、头条：数学源泉 1 相似三角形模型大全相似三角形模型大全 一、一、相似三角形判定的基本模型认识相似三角形判定的基本模型认识 （一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型） （平行）（不平行） （二）8 字型、反 8 字型 （蝴蝶型） （平行）（不平行） （三）母子型 头条：数学源泉 2 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型： 头条：数学源泉 3 二、二、相似三角形判定的变化模型相似三角形判定的变化模型 旋转型：由 A 字型旋转得到。8 字型拓展 共享性 一线三等角的变形 一线三直角的变形 头条：数学源泉 4 第
2、二部分第二部分相似三角形典型例题讲解相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形母子型相似三角形 例 1：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E 求证：OEOAOC 2 例 2：已知：如图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上,ABCDEB 求证： （1）DADEDB 2 ； （2）DACDCE AC D E B 头条：数学源泉 5 例 3：已知：如图，等腰ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F 求证：EGEFBE 2 相关练习：相关练习： 1、如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，EF
3、 为 AD 的垂直平分线求证：FCFBFD 2 2、已知：AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线 交于一点 N。 求证：(1)AMENMD;(2)ND 2 =NCNB 头条：数学源泉 6 3、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。 求证：EBDF=AEDB 4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证： GBM90 G M F E H D C B A 5 （本题满分 14 分，第（1
4、）小题满分 4 分，第（2） 、 （3）小题满分各 5 分） 已知：如图，在 RtABC中，C=90，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PDAB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合） ，E是射线DC上一点，且EPD=A设A、 P两点的距离为x，BEP的面积为y AC B P DE （第 25 题图） 头条：数学源泉 7 （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积 双垂型双垂型 1、如图，在ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高 求证： （1）ABDACE； （2）ADEABC
5、；(3)BC=2ED 2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别是 27 和 3， DE=62，求：点 B 到直线 AC 的距离。 D E A B C 头条：数学源泉 8 E D A BC 共享型相似三角形共享型相似三角形 1、ABC 是等边三角形,D、B、C、E 在一条直线上,DAE= 120 ，已知 BD=1，CE=3，,求等边三角形的边 长. A BC D E 2、已知：如图，在 RtABC 中，AB=AC，DAE=45 头条：数学源泉 9 求证： （1）ABEACD；（2）CDBEBC 2 2 E D C A B 一线三等角型相似三
6、角形一线三等角型相似三角形 例 1：如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60 （1）求证：BDECFD （2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 例 2： （1）在ABC中，5 ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、 点B重合） ，且保持ABCAPQ. 若点P在线段CB上（如图） ，且6BP，求线段CQ的长； C A DB E F 头条：数学源泉 10 若xBP ，yCQ ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）正方形ABCD的边长为5（如下图） ，点P、Q分别在直线 CB、DC 上（点P不与点C、点B重 合） ，且保持9
7、0APQ.当1CQ时，求出线段BP的长. 例 3：已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2 （1）如图 8，P为AD上的一点，满足BPCA 求证；ABPDPC 求AP的长 （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合） ，且满足BPEA，PE交直线BC于 点E，同时交直线DC于点Q，那么 A BC 备用图 A BC D A BC D A BC P Q A BC 备用图 A BC D C D A B P 头条：数学源泉 11 当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的 定义域； 当CE1 时，写出AP的长 C B AD C B
8、 AD 例 4：如图，在梯形ABCD中，ADBC，6ABCDBC，3AD 点M为边BC的中点，以 M为顶点作EMFB ，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF （1）求证：MEFBEM； （2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EFCD，求BE的长 头条：数学源泉 12 相关练习：相关练习： 1、如图，在ABC 中，8 ACAB，10BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且 CADE (1) 求证：ABDDCE； (2) 如果xBD ，yAE ，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明ADE 是什么三角
9、形，并说明理由 A BC D E 头条：数学源泉 13 2、如图，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结 DE， 并作DEFB ，射线 EF 交线段 AC 于 F （1）求证：DBEECF；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长； （3）联结 DF，如果DEF 与DBE 相似，求 FC 的长 3、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点 （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD； （2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P
10、 与点 B、C 不重合） ，且满足EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F， 同时交直线 AD 于点 M，那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的 定义域； 当 BEPDMF SS 4 9 时，求 BP 的长 ? F ? B ? A ? C ? D ? E E D CB A P （第 25 题图） E D CB A （备用图） 头条：数学源泉 14 4、如图，已知边长为3的等边 ABC ，点F在边BC上， 1CF ，点E是射线BA上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边 EFG ，直线 ,EG FG 交直线AC于点 ,M N ， （
11、1）写出图中与 BEF 相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设 ,BEx MNy ，求 y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （4）若 1AE ，试求 GMN 的面积 一线三直角型相似三角形一线三直角型相似三角形 例例 1、 已知矩形 ABCD 中， CD=2， AD=3， 点 P 是 AD 上的一个动点， 且和点 A,D 不重合， 过点 P 作CPPE ， 交边 AB 于点 E,设yAExPD ,，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。 备用图 头条：数学源泉 15 例例 2、在ABC中，OBCACC, 3, 4,90 o 是 AB 上的一
12、点，且 5 2 AB AO ，点 P 是 AC 上的一个 动点，OPPQ 交线段 BC 于点 Q， （不与点 B,C 重合） ，设yCQxAP ,， 试求y关于 x 的函数关系， 并写出定义域。 【练习练习 1】 在直角ABC中， 4 3 tan, 5,90BABC o ， 点 D 是 BC 的中点， 点 E 是 AB 边上的动点，DEDF 交射线 AC 于点 F （1） 、求 AC 和 BC 的长 （2） 、当BCEF /时，求 BE 的长。 （3） 、连结 EF,当DEF和ABC相似时，求 BE 的长。 头条：数学源泉 16 【练习练习 2】 在直角三角形 ABC 中，DBCABC,90
13、o 是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点， （与 A,C 不重合） ，DFDEDF,与射线 BC 相交于点 F. (1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DFDE (2)、当m DB AD ，求 DF DE 的值 （3） 、当 2 1 , 6 DB AD BCAC，设yBFxAE ,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域 头条：数学源泉 17 【 练习练习 3】如图，在ABC中，90C，6AC ， 3 tan 4 B ，D是BC边的中点，E为AB边上 的一个动点，作90DEF，EF交射线BC于点F设BEx，BED的面积为y （1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积. 头条：数学源泉 18 Q P DC B A Q P DC B A 【 练习练习 4】 、 （2009 年黄浦一模 25） 如图,在梯形ABCD中，CDAB, 3 4 tan, 4, 2CADAB，PDABADC,900是腰BC上 一个动点(不含点B、C),作APPQ 交CD于点Q.(图 1) (1)求BC的长与梯形ABCD的面积； (2)当DQPQ 时,求BP的长；(图 2) (3)设yCQxBP ,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域. 头条：数学源泉 19 （图 1）（图 2）
