1、20212021 年普通高等学校招生全国统一考试（全年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）国甲卷） 文科数学 一、选择题 1.设集合1,3,5,7,9M ， |27Nxx，则MN（） A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,9 答案： B 解析： 依题意可知 |3.5Nx x，所以5,7,9MN. 2.为了解某地农村经济情况， 对该地农户家庭年收入进行抽样调查， 将农户家庭年收入的调 查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是（） A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的
2、农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 答案： C 解析： A.低于4.5万元的比率估计为0.02 1 0.04 10.066% ，正确. B.不低于10.5万元的比率估计为(0.040.02 3) 10.110% ，正确. C.平均值为(3 0.024 0.045 0.16 0.147 0.28 0.29 0.1 10 0.1 11 0.04 12 0.02 13 0.02 14 0.02) 17.68 万元，不正确. D.4.5万到8.5万的比率为0.1 1 0.14 1 0.2 1
3、 0.2 10.64 ，正确. 3.已知 2 (1)32izi，则z （） A. 3 1 2 i B. 3 1 2 i C. 3 2 i D. 3 2 i 答案： B 解析： 2 3232233 1 (1)222 iii zi ii . 4.下列函数中是增函数的是（） A.( )f xx B. 2 ( )( ) 3 x f x C. 2 ( )f xx D. 3 ( )f xx 答案： D 解析： ( )f xx ， 2 ( )( ) 3 x f x ，在R上单调递减， 2 ( )f xx在(,0)上单调递减，故 A， B，C 错误； 3 ( )f xx在R上单调递增，故 D 正确. 5.点(
4、3,0)到双曲线 22 1 169 xy 的一条渐近线的距离为（） A. 9 5 B. 8 5 C. 6 5 D. 4 5 答案： A 解析： 双曲线 22 1 169 xy 的渐近线为 3 4 yx ， 则点(3,0)到双曲线 22 1 169 xy 的一条渐近线的 距离为 22 3 309 5 34 . 6.青少年视力是社会普遍关注的问题， 视力情况可借助视力表测量， 通常用五分记录法和小 数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5lgLV.已 知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为 （10101.259） （） A.1.5 B.1.
5、2 C.0.8 D.0.6 答案： C 解析： 代入5lgLV，知lg4.950.1V ，故 0.1 10 1 100.8 10 V . 7.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G，该正方体截去三棱锥 A EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（） A. B. C. D. 答案： D 解析： 由题可得直观图，如下图.故选 D. 8.在ABC中，已知120B ，19AC ，2AB ，则BC （） A.1 B.2 C.5 D.3 答案： D 解析： 由余弦定理可得 2222 2cos2150ACABBCAB BCABCBCBC，解得 3BC . 9.记 n
6、 S为等比数列 n a的前n项和.若 2 4S ， 4 6S ，则 6 S （） A.7 B.8 C.9 D.10 答案： A 解析： 由等比数列的性质可知：24264 ,S SS SS 成等比数列，即 6 4,2,6S 成等比数列，所以 6 61S ，即 6 7S ，故选 A. 10.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8 答案： C 解析： 求出所有的排列数，先将3个1排成一排，有4个空位，当每个空位排一个0，即从4个空 位中选2个，有6种排法，此时2个0不相邻；当两个0相邻时，即从4个空位中选出一个 来排两个0，有4种选法
7、，从而总的排法数有10个，再根据古典概型概率公式可得概率 6 0.6 10 ，故选 C. 11.若(0,) 2 ， cos tan2 2sin ，则tan（） A. 15 15 B. 5 5 C. 5 3 D. 15 3 答案： A 解析： cos tan2 2sin . 222 2tan2sincoscos tan2 1tancossin2sin 22 2sin(2sin)cossin 2222 4sin2sincossin12sin 1 sin 4 . 又(0,) 2 .如图， 115 tan 1515 . 12.设( )f x是定义域为R的奇函数， 且(1)()fxfx.若 11 ()
8、33 f ， 则 5 ( ) 3 f（） A. 5 3 B. 1 3 C. 1 3 D. 5 3 答案： C 解析： ( )f x是定义在R上的奇函数， (1)()( )fxfxf x (1)( )fxf x ， (2)(1)( )fxfxf x ( )f x周期为2的周期函数. 5511 ( )(2)() 3333 fff. 二、填空题 13.若向量, a b 满足| 3a ，| 5ab ，1a b ，则|b . 答案： 3 2 解析： | 5ab ， 22 225aabb ， 22 |2|25aabb ， 2 92 |25b ， 2 |18b ，| 3 2b . 14.已知一个圆锥的底面半
9、径为6，其体积为30，则该圆锥的侧面积为 . 答案： 39 解析： 圆 锥 底 面 半 径6r ， 体 积 2 1 30 3 Vr h， 则 圆 锥 的 高 5 2 h ， 则 母 线 长 22 13 2 lhr，则圆锥的侧面积 1 239 2 Srl. 15.已知函数( )2cos()f xx的部分图像如图所示，则( ) 2 f . 答案： 3 解析： 由图可知 31332 2 41234 TT ，由 131313 ()22cos()22 12666 f ， 所以( )2cos(2)3 226 f . 16.已知 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 164 xy C的两个焦点，P，Q为C上关
10、于坐标原点对称的两 点，且 12 | |PQFF，则四边形 12 PFQF的面积为. 答案： 解析： 答案： 8 解析： 如图，由 12 | |PQF F及椭圆对称性可知，四边形 12 PFQF为矩形. 设 1 |PFm， 2 |PFn， 则 222 12 8 |48 mn mnF F ， 2 2 得216mn .所以， 四边形 12 PFQF 面积为8mn . 三、解答题 17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产 品的质量，分別用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表： （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）
11、能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， 答案： 见解析 解析： （1）由表格数据得： 甲机床生产的产品中一级品的频率为 1503 = 2004 ； 乙机床生产的产品中一级品的频率为 1203 2005 ； （2）由题意 22 2 ()400 (150 80 120 50) ()()()()200 200 270 30 n adbc k ab cd ac bd 10.2566.635. 所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 18.记 n S为数列 n a的前n
12、项和， 已知0 n a ， 21 3aa， 且数列 n S是等差数列， 证明： n a是等差数列. 答案： 见解析 解析： n S为等差数列，设公差为d. 21 SSd，即 11 4aad. 11 adS， 1 (1) n SSndnd. 22 n Sn d， 22222 1 (1)(21) nnn aSSn dndnd (2)n ， 即 22 2 n adnd(2)n ，又 2 11 aSd同样满足通项公式，所以 n a是等差数列. 19 已知直三棱柱 ? ?1?1?1中， 侧面 ?1?1? 为正方形 ?2，?，? 分别为 ? 和 ?1的中点，? ?1?1 (1)求三棱锥 FEBC 的体积；
13、 (2)已知 ? 为棱?1?1上的点，证明：? ? 答案： 见解析； 解析； （1） 11 BFAB，则 222 9BFABAFBFAB. 又 2222 8AFFCACAC则ABBC. 2 2AC , 11111 2 2 1 22323 F EBCF ABC VV . （2）连 1 AE，取BC中点M连 1 B M，EM， 由EM为AC，BC的中点，则/ /EMAB， 又 11 / /ABAB， 11/ / ABEM，则 11 AB ME共面，故DE 面 11 AB ME. 又在侧面 11 BCC B中 1 FCBMBB ，则 1 BFMB 又 11 111111 11111 , BFAB M
14、BABBBFAB ME MB ABAB ME 面 面 ，则BFDE. 20.设函数 2 ( )3ln1f xa xaxx ，其中0a . （1）讨论( )f x的单调性； （2）若( )yf x的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围. 答案： 见解析 解析： （1） 22 2 323(23)(1) ( )2 a xaxaxax fxa xa xxx 0a ，0 x ，230ax，当 1 (0, )x a 时( )0fx函数单调递减， 当 1 ( ,)x a 时，( )0fx，函数单调递增. ( )f x在 1 (0, ) a 上递减，在 1 ( ,) a 上递增， （2）当0 x 时( )0f
15、 x ，结合函数单调性可知若( )f x与x无交点时 min ( )0f x 即 2 2 1111 ( )3ln10faa aaaa . 化简可得 1 ln1 a 即 11 ea ae .所以参数a的取值范围为 1 ( ,) e 21.抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1l x 交C于P，Q两点，且 OPOQ，已知点(2,0)M，且M与l相切. （1）求C，M的方程； （2）设 1 A， 2 A， 3 A是C上的三个点，直线 12 A A， 13 A A均与M相切，判断直线 23 A A与 M的位置关系，并说明理由. 答案： 见解析 解析： （1） 2 :C yx， 22 :(2
16、)1Mxy. （2）设 2 1( , )A aa， 2 2( , )A b b， 2 3( , )A c c. 1 2 2 1 :()()0 A A lyaxaxab yab ab ，所以 2 |2| 1 1() ab dr ab . 1 3 2 1 :()()0 A B lyaxaxac yac ac ，所以 2 |2| 1 1() ac dr ac . 所以b，c是方程 222 2 |2| 1(1)230 1() ax axaxa ax 的两根. 又 23 :()0 A A lxbc ybc，所以 2 2 2 242 2 3 |2| |2|1| 1 1 2 1 ()21 1 () 1 a
17、bca a d a bcaa a . 所以dr，即直线 23 A A与M相切. 22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的 极坐标方程为2 2cos. （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足2APAM ，写出P的 轨迹 1 C的参数方程，并判断C与 1 C是否有公共点. 答案： 见解析 解析： （1） 22222 2 2cos2 2(2)2xyxxy. （2）设( , )P x y， 00 (,)M xy，由 22222 2(1, )(1,0)(1,) 22222 APAMOMAPOAxy
18、xy . 又M在C上，所以 2222 232 (21)()2(23)4 222 xyxy. 则 1 C为(32,0)为圆心，半径为2的圆，所以 112 CCrr 所以，两圆为内含关系，所以，圆C与圆 1 C无公共点. 23.已知函数( ) |2|f xx，( ) |23|21|g xxx. （1）画出( )yf x和( )yg x的图象； （2）若()( )f xag x，求a的取值范围. 答案： 见解析； 解析： （1） 2,2 ( ) 2,2 xx f x x x ； 3 4, 2 31 ( )42, 22 1 4, 2 x g xxx x （2）当0a 时，恒不满足，此时(2)0(2)4faaga； 当0a 时，()( )f xag x恒成立，必有 11311 ()( )| 4 2222 fagaa. 当 11 2 a 时， 3 (, ) 2 x 时，( )0g x ，( )0f x ，所以( )( )f xg x. 3 1 , 2 2 x 时，( )42g xx，( )2f xxa，令( )( )( )34F xf xg xxa ， 所以 111 ( )( )0 22 F xFa. 1 ( ,) 2 x时，( )2f xxa，( )4g x . ( )( )( )6F xf xg xxa，所以 1 ( )( )0 2 F xF. 所以， 11 ,) 2 a.
