1、-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可- -内页可以根据需求调整合适字体及大小- 高 等 代 数 综 合 题 ( 共1 1 页 ) 2 1919 1. 求d=的末尾的零的个数 . 1220 2. 求d = 11 11 11111 的展开式的正项总数 . 11111 11111 1 12 n +1 1 1 n+1 n+2 3. 计算d = n+2n +1 1 n+3 的值（n2），其中是 x n =1的任一 123 1 根. 4. 设 a, b,p1,p2, , p n均为实数，且 ab. 令 fxp1xp2xpnx . p1aaa bp2aa bfaafb 证明： bbp3a. ba bb
2、bpn 1x1x21xn 111 1x1x 2 1x n 5. 计算d = 222 . 1x1x 2 1x n nnn 6. 用矩阵给出平面上 n 个点 Pixi, yi, i1, 2, , n 共线的充要条件 . 7. 证明：中国象棋盘上的马，从任一位置出发，只能经过偶数步才能跳回原处. 8. （李政道问题）一堆苹果要分给5只猴子，第一只猴子来了把苹果分成5 堆，还多一个，扔了，自己拿走一堆；第二只猴子来了，又把苹果分成5 堆，又多一个，扔了，自己拿走一堆. 以后每只猴子来了都如此操作. 问原来 至少有多少苹果，最后至少有多少个苹果 111 1220 111 111 3 s nn m 9.
3、设A是一个秩为 r 的 m n矩阵. 任取A的r 个线性无关的行向量，再取A的 r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定不为零如果是，证明之. 10. 设A, B是两个 m n矩阵，且齐次线性方程组AX0与BX0同解. 问A, B 的列向量组是否等价，行向量组是否等价 11. 设AaijR n n . 证明 （1）若aii aij , i j i 1, 2, n，则 det A0； （2） 若 a iiaij , i ji 1,2, n ，则 det A 0. 12. 设Aaij n n R，其每列恰有两个非零元素，且所有对角线元素都大于1， 所有非对角线元素都0, 1 . 问A是否可
4、逆 13. 设数域F上的 n阶方阵 1 Aaij满足 aii1, aij ,i, j n1 1, 2, n, ij.证明 A可逆. 14. 设 n AaR n n 满足 a0, a0,i, j1,2, n, ij,a0,i1, ij iiijij j 1 2, n.证明： rank An 1. 15. 证明：对任意方阵A，必存在正整数 m ，使rankA m rankA m 1 . 16. 设F是一个数域， AF n m , B F n s , C F m t , D F s t , 满足 rankBs, ACBD0.证明： C rankt D 的充要条件是 rank Ct . 17. 设A为
5、一个 n阶方阵 .证明：对任何满足 rank Akn 的k，存在 n阶方阵 B，使 rankArank Brank ABk . 18. 设F是一个数域， AF , B F. 证明 Sylverster公式： rank Arank Bnrank AB . 19. 设A, B, C是使ABC有意义的三个矩阵 . 证明： rank ABrank BCrank Brank ABC . 4 1 n 20. 设 x为n 1矩阵，y为1n矩阵， a为实数 . 证明： det E axy =1 ayx，其 的矩阵. 22. 设实二次型 fx2 x 2 x 2 xn 2 x x an1 2 an 2 x x a
6、nn 2x x 经正交变换XPY化成 123122313 fy22y2，求,. 23 23. 设实二次型 f2x x2x x2x x . 求f在 x2x 2 x 2 1时的最大值与最小 122313123 值. 24. 如果 fX T AX 是一个实二次型，, 2,n是A的特征值，且 12n，则 xRn，有 X T XX T AXX T X 及 1inf X T AX T，n sup X T AX T. X0 n X X X0X X XR XRn nn 25. 设fax2bx x，其中 a, b为实数. 问a, b满足什么条件时， f正 iin i 1 i 1i 1 定. 26. 设A是一个
7、n 阶实可逆方阵 . 证明：存在正定矩阵S和正交矩阵Q，使 AQS. 27. 设Aaij为一个 n 阶正定矩阵 . 证明： （1）i j, aijaiiajj, i, j1, 2, n； （2）A的绝对值最大的元素必在其主对角线上. 1 中E为单位矩阵 . 0 x1x2xn 21. 求二次型fx1, x2, xn x1 x2 a11 a21 a12 a22 a1n a2n 5 28. 设n2， fixi = 1, 2, n均为次数不超过n2的多项式， aii =1, 2, n为任意数 . 证明： f1a1 f1a2 f2a1 f2a2 fna1 fna2 = 0， f1anf2anfnan 并
8、举例说明 fixi = 1, 2, , n 均为次数不超过n2的多项式的条件不可 缺少. 29. 设a, b为自然数，p为不小于3的素数， 2 cos 2 isin为p次单位根 . pp 证明： ababa 2b a p 1b a p b p . 510215320425 f 432 30. 设 0 xxf1xx f2xx f3xx f4 x被xxxx1整除. 证明： fix 被x1整除，i0, 1, 4. 31. 设 fx 为整系数多项式，且f 0 , f 1 都是奇数 . 证明： f x 无整数根 . 32. 设 fx 是有理数域Q上的一个 m m 0 次多项式， n是大于 m的正整数 .
9、 证 明： n 2 不是 fx 的实根 . 33. 设 a1,a2,an是 nn2 个互不相同的整数 . 证明： fxxa1xan1不能表示成两个次数大于0的整系数多项式之积 . 34. 求以23 为根的有理系数的不可约多项式. 35. 设 fx 是有理数域Q上的一个 n n 2 次不可约多项式 . 若 fx 有一根的 倒数也是 fx 的根，证明： fx 每一根的倒数也是fx 的根. 36. 设 x , x , x 为x36x2axa0的三个根 . 求使 123 3 x11 33 x22+x33 0的所有 a，并对每个这样的 a，求相应的 x1,x2,x3. 6 37. 求证：实系数三次方程x
10、 3 ax 2 bxc0的三个根的实部均为负数的充要 条件是a0, c0, abc0. 38. 设 fx , g x 是数域F上两个不全为零的多项式 . 记 Mfx s xg x t x |s x , t xF x. 证明：M中次数最低的首一多项式是fx 与 g x 的最大公因式 fx , g x. 39. 设 P yAy 2 ByC，且 P yy0 有互异的根a, b. 证明： （1）a, b是P P yy0的根，并求它的另外两个根所满足的方程； （2）应用以上结果求方程 2 2 2 y3y23 y3y22y0的所有根 . 40. 证明：若对整系数多项式fx ，存在整数k，使 k | f 1
11、 , k | f2 , k | fk ，则 fx 无整数根 . 41. 试确定所有的有理数a, b, c，使a, b, c是x3ax2bxc0的根. 42. 设 fx 为一多项式， ab. 将 fx 除以 2 xaxb，求其余项 . 43. 设有理系数多项式fx 存在无理根 ab c （a, b, c为有理数，b, c0）. 证明 ab c 也是 fx 的根. 44. 证明：一个非零复数是某一有理系数非零多项式的根的充要条件是存在一 个有理系数多项式fx ，使 1 =f. 45. 设k是正整数 . 求一切实系数多项式fx =a +a xa xn，使 k ffxfx. 01n 46. 设有 n个
12、常数b1,b2, , b n， n个互异常数a1,a2,an及由 7 1xx n 1 P x 1aa n 1 b 111 1aa n 1 b0 222 1aa n 1 b nnn 确定的多项式 P x . 对任一多项式x ，定义另一多项式 Q x ，它为上面 恒等式中将 P x ,b1,b2, bn代之以Q x ,b1,b2,bn所得 恒等式确定 .证明： xa1xa2xan除P x所得余式为 Q x . 47. 设A, B, AB C, D为四个 n 阶方阵，且ACCA. 证明： CD ADCB . 48. 设A, * B为两个 n阶方阵. 证明：AB B * A * . 49. 设F是一个
13、数域 . 证明：F n 的任一子空间 V1必至少是一个 n元齐次线性方程 组的解空间 . 50. 50. 设C n 间， n 是 n n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空 00 10 F01 0an 0an 1 0an 2. 1a1 （1） 假设A. 若AFFA，证明： Aan1Fan 11Fa21Fa11E . （2）求 C 的子空间 C(F ) XC nn |FXXF 的维数. 51. 设 fx 为 x的复系数多项式，且 n阶复方阵A的特征值都不是f x 的零点 . 证明 fA 可逆，且 fA 的逆可表为A的多项式 . n n n 1n 00 a11 a21 a12 a22
14、 a1n a2n an1an 2ann 2 8 52. 设A1,A2, Ak是k个n阶实对称方阵，1kn，且 A1A2 AkE （E为单位矩阵） .证明下述二条件等价： （1） A1 , A 2,Ak 都是幂等矩阵； （2） rankA1rank A2rank Ak n . 53. 证明数域F上的 n阶方阵A满足A2A的充要条件是 rankArank EAn（其中E为单位矩阵） . 54. 设D 1E1 2E2 ，其中 1,2,k为互异的数， kEk Eii1,2, k 为适当阶的单位矩阵 . 证明：凡与 D相乘可交换的矩阵必 C1 C2 为且仅为X 的形状，其中 Ci为与 Ei同阶的矩阵，
15、Ck i1, 2, , k . 并进一步证明：当且仅当两个实对称矩阵A, B可交换时，可 找到同一个正交矩阵Q，使 Q 1AQ 和Q1BQ同时为对角形 . 55. 设A是一个 n阶实可逆方阵 .证明：存在 n阶正交矩阵 P, Q，使 a1 a2 PAQ，其中每个 a 0，且 a2, a2, a2为ATA的全部 i12n an 特征值. 56. 设A是一个 n阶方阵 .证明：A可分解为ADM，其中D相似于对角形， M为幂零矩阵，即存在正整数m使M m 0，且DMMD. 9 57. 设A是一个秩为 r 的 m n矩阵. 证明：存在 m阶正定矩阵P和 n阶正交矩阵 D Q，使 AP 0 Q T ，其
16、中D为一个秩为 r 且对角线元素都大于零的对角 00 形矩阵. 58. 设V是数域F上的一个 n维线性空间 . 证明：V的任意一个线性变换必可表 为一个可逆线性变换与一个幂等变换的乘积. 59. 设A, B为两个 n阶正定矩阵 . 证明： ABAB . 60. 设是数域F上的 n维线性空间V的一个线性变换 . 证明：秩秩 2 的充 要条件是 VV 1 0 . 61. 设是数域F上的 n维线性空间V的一个线性变换， fx , g xF x ， h xfx g x . 证明：若fx , g x1,则 kerhker fker g. 62. 设是数域F上的线性空间V的一个线性变换， 1,2,k是的互
17、不相 同的特征值， 1,2,k是相对应的特征向量. 如果W是V的一个子 空间，且 12kW ，求证dim Wk. 63. 设f是从 n阶复方阵所成线性空间到复数域的一个线性映射，且对一切n 阶 复方阵A, B有 fABfBA .证明：存在复数 a，使对任何 n阶复方阵 Ggij n ，有 fGagjja tr G . j 1 123n n12n1 64. 求矩阵Bn1n1n2的特征值 . 2341 10 1 2 a 2 1a a1a a1 1121n n a a1a 2 1a a1 65. 已知ai i 1 0. 求A 2122n 的特征值 . a a1a a1a21 n1n2n 66. 设A
18、, B是两个 n n矩阵，CABBA，且C与A, B可交换. 证明：存在正 整数 m使C m 0. a2xa aa a 1121n a aa2xa a 67. 设 a , a , a 均为实数 . 证明： 2122n被xn 1 整除，并 12n a aa aa 2 x 求其它因子 . n1n2n 68. 设A, B分别为 m阶和 n阶方阵， fB=EB . 证明： fBA 可逆的充要 条件是A, B无相同的特征值 . 69. 设A, B分别为 m阶和 n阶方阵，且A, B无相同的特征值 . 证明：AXXB只 有唯一解X0. 70. 设A, B是两个 n n矩阵，且ABBA. 证明：若A, B均
19、可对角化，则必存在 可逆矩阵T，使T 1AT 与T 1BT 同时为对角形 . 71. 证明：任何方阵都可分解为两个对称矩阵的乘积. 72. 设S为无穷多个 n阶方阵所成的集合，且S中每个矩阵可对角化，任意两个 矩阵可交换 .证明：必存在可逆矩阵P，使AS，PAP为对角形 . 73. 设A是一个秩为 r 的 n阶方阵. 证明： （1）AA的充要条件是存在秩为r 的nr 矩阵B 及 r n 矩阵C，使 ABC, CBEr； （2）当A2 A时，证明： 2EA2nr,AE2 r . 74. 设A是一个秩为 r 的 n阶方阵，且A 2 A，A0, E. 证明： s: 1snr，存在矩阵B，使ABBA0
20、，且 s 1s ABAB s 1 AB. 11 75. 设数域F上的 n 维线性空间V的线性变换的最小多项式与特征多项式相同. 证明：存在V，使 , n 1 为V的一组基 . 76. 设f是数域F上的一个二次多项式，在F内有互异根 x1,x2，是F上的线 性空间V的线性变换，且 x1E,x2E（E为单位变换），f0 .证 明： x1,x2是的特征值，且 V可分解为的属于 x1,x2的特征子空间的直和 . 77. 设m( )是n阶方阵 A的最小多项式，( )是次数大于零的一个多项式 . 证 明：(A)可逆的充分必要条件是( ), m( )1. 78. 设A为n阶实对称正定矩阵，S为 n阶实反对称
21、矩阵 . 证明： det AS0. 79. 设A为秩为2的三阶实对称矩阵，满足A22A0. （1）求A的全部特征值； （2）当k为何值时，AkE（E为单位矩阵）为正定矩阵 80. 设A为n阶实对称矩阵 . 证明：A半正定的充要条件是0, BEA正 定，这里E为单位矩阵 . 81. 证明：实矩阵A的特征值全为实数的充要条件是存在正交矩阵Q，使 Q 1AQ 为三角阵 . 001 82. 设Ax1y有三个线性无关的特征向量 . 证明：xy0. 100 82. 设n阶方阵Aaij满足aij n 0,aij j 1 1 (i1, 2, n). （1）证明：1是A的一个特征值； （2）当n2时，求lim
22、m Am. 83. 设是n维线性空间V的线性变换，的核记为ker，的象记为Im. 证 明： （1）0kerker 2 ker m ，Im m Im 2 ImV； 12 （2）存在正整数k，使得 ker k ker k 1，并且对一切正整数 t有 ker k ker k t ； （3）对（ 2）中的正整数k有，Vker k Im k . 84. 假设V是复数域C上 n维线性空间(n0)，,是V的线性变换，如果 ，证明：的特征值都是 0，且,有公共特征向量 . （2） 85. 86. 设V是复数域C上的n维线性空间，fj:VC(j1, 2) 是非零的线性函数 , 且线性无关 .证明: 任意V都可表
23、为 12, 使得f1( )f1(2)， f2( )f2( 1) . 87. 设A, B均为n阶半正定实对称矩阵，且满足n1rank An. 证明: 存在实 可逆矩阵P使得P T AP和PTBP均为对角阵 . 88. 设B 01030 002010 . 000 2 证明：X B无解，这里X为三阶未知复方阵 . 89. 设A为 nn实矩阵（未必对称），对任一n维实向量 1,2,n， A T 0 （这里 T 表示的转置），且存在 n维实向量，使 A T 0，同时对任意 n维实向量 x 和y，当 xAyT0时有 xAyTyAxT0. 证明：对任意 n维实向量 v，都有 vA T 0 . 90. 设 A
24、Mn C （即 Cn n），定义线性变换 A :M n CMnC ， AXAXXA. 证明：当 A可对角化时， A也可对角化 . 这里 MnC 是 复数域C上 n阶方阵组成的线性空间 . 91.设:MnRR是非零线性映射，满足XYYX ， X, YMnR ， 这里 MnR 是实数域R上 n阶方阵组成的线性空间. 在M n R 上定义双线性型 , ： M nRMn RR为X, YXY . 13 n ii （1）证明,是非退化的，即若X, Y0，YM n R ，则X0； （2）设 基，即 A1, A2, An2是 MnR 的一组基， B1, B2, Bn2是相应的对偶 Ai , B jij 1,i
25、j, 0,ij. n2 证明AiBi i 1 是数量矩阵 . 92. 设F n 是数域F的 n维列空间，: F n F n 是一个线性变换，若对F上的任 意 n阶矩阵A，都有AA,F n ，证明：id F n，其中 F，id F n为F上的恒等变换 . 93. 设A是数域F上的 n阶非零矩阵 . 求证：A相似于 B0 ，其中B为可逆矩 0C 阵，C为幂零矩阵，即存在正整数数m 使得 Cm 0. 94. 设A，B分别是32和2 3实矩阵，且 AB 804 3 96 2 201 ，求BA. 95.Ai i I ,Bi i I 是数域F上两个矩阵集合，称它们在F上相似：如果存在F 上与iI无关的可逆矩阵P使得 P 1A P B ，iI. 证明：有理数域Q上 两个矩阵集合 Ai i I ,Bi i I ，如果它们在实数域R上相似，则它们在有理 数域Q上也相似 .
