1、解三角形难题 试题来源剑:高考数学问、答群 517869143感谢：野猪、南充陈林 1、在锐角ABC中，角CBA、的对边分别为cba、，若Cbasin2，则CBAtantantan的 最小值为 解析：2 sinsin2sinsinsin(B)2sinsinabCABCCBC coscos sincoscossin2sinsintantan2tantan BC BCBCBCBCBC 两边同时除以 又因为tantan(B C)A ，则 tantan tantantantantantanC=tanBtanC tantan1 BC ABCAB BC 所以 2tantan tantantantanBta
2、nC tantan1 BC ABC BC 令tantan10tBC ，则 2(t 1)2 tantantan1248ABCtt tt 当且仅当1tantan2tAB即时取等号. 2、在锐角ABC中，若CBAsinsin2sin，则CBAtantantan的最小值为同上 3、在锐角ABC中，若ABb2, 2，则c的取值范围是 解析：由正弦定理得： sinsinsincos2cossin2 22 sinsinsinsinsin2 ABbcbCAAAA c BCBBA 即 2 sincos2cossin2cos22cos sincoscos AAAAAA c AAA ，令costA，因锐角ABC，且
3、2BA，则 0 2 02 264 03 2 A AA A ，即 23 cos, 22 tA ， 所以 2 cos22cos14 =4cos2,3 coscos3 AA cA AA 4、在锐角ABC中，2, 22 ABC Sbcba，则 2 c的取值范围是 解析：因为： 2222 cos2cos1 22 bcacbcc AA bcbcb 而 14 sin2 2sin ABC SbcAbc A 将式两边乘以bc可得： 2 2cos1cAbc，将式代入其中可得： 2 4 2cos1 sin cA A 所以 2 4 2cos1 sin cA A 又 222222 2cos2 cosabbcacbbcc
4、acBbcaB 所以sinsin2sincosBsinsin()2sincossinsin(A)BCABABABBB 即BAB或BAB（舍） 又锐角ABC，所以 00 22 00 22232 00 222 AA A BA A CA 2 1 cos 4 2cos11 2 8=8 sin sinsin 1 cos 2 A A c A AA A ，而 sin3 ,2 1 2 cos 2 A A ， 即 2 16 4,3 3 c 5、设ABC中，cba、分别为角CBA、所对的边，ABC 的面积)273( 4 1 222 acbS ABC ， 则Acos 解析：易知 222 1372 sin 24 bc
5、a bcA ,所以 2222 37237 sin 222 bcabca A bccbbc 又 2222 cos 2222 bcabca A bccbbc ，所以 5 sin2cos5 22 bc AA cb 而sin2cos5sin()5AAA，所以sin2cos5AA（其中 12 cos,sin 55 ） 所以 22 coscos()coscossinsin5 55 AAAA 6、在锐角ABC中，ACBACB 222 sin2sinsinsin2sin7sin3，则) 4 sin( A 解析： 222222 3sin7sin2sinsinsin2sin3722sinBCABCAbcabcA
6、即 222 1372 sin 24 bca bcA （同上题）则 210 sin()sincos 4210 AAA 7、在ABC中，若3 tan tan tan tan C A B A ，则sin A的最大值为 解析：由 sintantancoscosC 3tan()tan3 tantansinsinsinsin BCAAB AA BCBCBC 22 tansin3sinsinsin3sinsinCsinA3cosAABCABabcA 又 222 2cosAabcbc可得： 22 12 cos 555 bcbc A bccb ，当且仅当bc时取等号。 此时 21 sin 5 A 8 在ABC中
7、，分别为角CBA、所对的边，若 2,2 sinsin ba C b B c ，则 ABC S 解析： sinsin 22sin sinsinsinsin cbCB aA BCBC ，而 sinsin 2 sinsin 2sin2 CB BC A ，则 sin2 sinsin A BC 即ABC为等边三角形，所以 2 33 42 ABC Sb 9 在ABC中 ，cba、分 别 为 角CBA、所 对 的 边 ， 且 满 足A A sin 3 3 2 cos2 2 ， CBCBsincos4)sin(，则 c b 解析： 2 333 2cossincossin1sin3cos3sin 23332 A
8、 AAAAAA 所以 2 3 A ，可得： 222 222 cos 2 bca Abcabc bc sin()4cossinsincosC cosBsinC4cossinsincosC5cossinBCBCBBCBBC 所以 222 222 222 222222 5 sin5cos 2 5233 sincosC 2 acb BBb acb ac abc abcCc abc ab 将代入中可得： 222222222 22335bcabcbcbccbbc 令 b t c ，则 2 25016ttt 10 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 cos3cosBC bc ，则角A的最大值
9、为 解析： cos3cosBC bc 可变形为cos3 cossincosB3sinBcosCtan3tancBbCCCB ， 可知B为锐角，C为钝角，A为锐角. 又 2 tantan2tan223 tantan() 1 tanCtan13tan132 3 3tan tan CBB ACB BB B B 所以A的最大值为 3 11 在ABC 中，cba、分别为角CBA、所对的边， 且abc、 、成等比数列， 则 11 sin tantanB A A 的取值范围是 解析： （法一） 222222 11coscosB sinsincoscos tantanBsinsinB22 Aacbaa cab
10、c AAAB AAbbcbacb 又abc、 、成等比数列，则 2 bc bac ab 又由余弦定理可得： 535+3 2cos12cos1 2,3), 22 acacc BB cacaa 所以 2 22 2 535+3515+1 , 2222 ccccc bbacab （法二） 222222 11coscosB sinsincoscos tantanBsinsinB22 Aacbaa cabc AAAB AAbbcbacb 2 1 1 1 1 1 a a bc b c bac ac cb abc cb bb cba ca bc bb ，令 c t b ， 则 2 2 1 1 5151 10 , 1 10 22 1 t tt t t tt t t
