1、第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断 式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用本节将对一元 二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa (1) 当 2 40bac时，方程有两个不相等的实数根： 2 4 2 bbac x a ； (2) 当 2 40bac时，方程有两个相等
2、的实数根： 1,2 2 b x a ； (3) 当 2 40bac时，方程没有实数根 由于可以用 2 4bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况 因此， 把 2 4bac叫做一元二次方 程 2 0 (0)axbxca的根的判别式根的判别式： 2 4bac . 【例【例 1 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 2 2310 xx (2) 2 4912yy(3) 2 5(3)60 xx 解：解：(1) 2 ( 3)42 110 ， 原方程有两个不相等的实数根 (2) 原方程可化为： 2 41290yy 2 ( 12)4490 ， 原方程有两个相等的实数根 (3) 原方程可化为：
3、 2 56150 xx 2 ( 6)45 152640 ， 原方程没有实数根 说明：说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 【例【例 2 2】已知关于x的一元二次方程 2 320 xxk，根据下列条件，分别求出k的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3) 方程有实数根；(4) 方程无实数根 解：解： 2 ( 2)43412kk . . (1) 1 4120 3 kk；(2) 1 4120 3 kk； (3) 1 4 120 3 kk；(4) 1 4 120 3 kk 【例【例 3 3】已知实数x、y满足 22 210 xyxyxy
4、，试求x、y的值 解：解：把方程看作是关于x的方程，整理得： 22 (2)10 xyxyy . 由于x是实数，所以此方程有实数根，因此： 222 (2)4(1)300yyyyy ， 代入原方程得： 2 2101xxx 综上知：1,0 xy . 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 2 0 (0)axbxca的两个根为： 22 12 44 , 22 bbacbbac xx aa . 所以： 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa ， 22222 12 22 44()(4)4 22(2 )4 bbacbbacbbacacc xx aaaa
5、a . 定理定理： 如果一元二次方程如果一元二次方程 2 0 (0)axbxca的两个根为的两个根为 12 ,x x， 那么那么： 1212 , bc xxx x aa . 说明说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达 定理上述定理成立的前提是0 【例【例 4 4】若 12 ,x x是方程 2 220090 xx的两个根，试求下列各式的值： (1) 22 12 xx； (2) 12 11 xx ；(3) 12 (5)(5)xx；(4) 12 |xx 解：解：由题意，由根与系数的关系得： 1212 2,2009xxx x . (1) 2222 12
6、1212 ()2( 2)2( 2009)4022xxxxx x . (2) 12 1212 1122 20092009 xx xxx x . (3) 121212 (5)(5)5()2520095( 2)251974xxx xxx . (4) 222 12121212 |()()4( 2)4( 2009)2 2040 xxxxxxx x. 说明：说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222 121212 ()2xxxxx x， 12 1212 11xx xxx x ， 22 121212 ()()4xxxxx x， 2 121212 |()4xxxxx x， 22 12121
7、212 ()x xx xx xxx， 333 12121212 ()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整体代换思想 【例【例 5 5】已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数 解解：法一法一 设这两个数分别是x，y，则 4 12 xy xy 1 1 2 6 x y 或 2 2 6 2 x y . . 因此，这两个数是2 和 6 法二法二 由韦达定理知，这两个数是方程x 24 x120 的两个根 解方程得：x12，x26所以，这两个数是2 和 6 【例【例 6 6】已知关于x的方程 22 1 (1)10 4 xkxk ，根据下列条件，分别求出k的值 (1) 方程两实根的积为 5；(2)
8、 方程的两实根 12 ,x x满足 12 |xx 解：解： 22 13 (1)4(1)230 42 kkkk . (1) 2 12 1 154 4 x xkk .所以，当4k 时，方程两实根的积为 5 (2) 由 12 |xx得知： 当 1 0 x 时， 12 xx 3 0 2 k ； 当 1 0 x 时， 1212 0101xxxxkk ，不合题意，舍去 综上可知， 3 2 k 时方程的两实根 12 ,x x满足 12 |xx 说明说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即 所求的字母应满足0 【例【例 7 7】已知 12 ,x x是一元二次方程
9、 2 4410kxkxk 的两个实数根 (1) 是否存在实数k，使 1212 3 (2)(2) 2 xxxx 成立？若存在，求出k的值； 若不存在，请您说明理由 (2) 求使 12 21 2 xx xx 的值为整数的实数k的整数值 解： 一元二次方程 2 4410kxkxk 有两个实数根. 2 40 0 ( 4 )44 (1)160 k k kk kk . (1) 假设存在实数k，使 1212 3 (2)(2) 2 xxxx 成立 222 121212121212 (2)(2)2()52()9xxxxxxx xxxx x 939 425 k k k ，但0k 不存在实数k，使 1212 3 (2)(2) 2 xxxx 成立 (2) 222 121212 211212 ()44 2244 11 xxxxxxk xxx xx xkk . 要使其值是整数，只需1k 能被 4 整除，故11, 2, 4k ， 注意到0k ，要使 12 21 2 xx xx 的值为整数的实数k的整数值为2, 3, 5
