1、第 1页（共 22页） 2021 年湖南省益阳市中考数学试卷年湖南省益阳市中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有分。每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （4 分）2021 的相反数等于（） A2021B2021C ? ? D? ? ? 2 （4 分）已知 a0，下列运算正确的是（） A3a2a1B3a2a6aCa3a2aD （2a）36a3 3 （4 分）将 ?t ? 化为最简二次根式，其结果是（） A ?t ? B ? ? C? ? ? D?
2、? ? 4 （4 分）解方程组 ?al i b ? ?a? ?i b ?时，若将可得（ ） A2y1B2y1C4y1D4y1 5 （4 分）正比例函数 y2x 与反比例函数 yb ? a的图象或性质的共有特征之一是（ ） A函数值 y 随 x 的增大而增大 B图象在第一、三象限都有分布 C图象与坐标轴有交点 D图象经过点（2，1） 6 （4 分）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（） AB CD 7 （4 分）如图，ABCD，ACE 为等边三角形，DCE40，则EAB 等于（） 第 2页（共 22页） A40B30C20D15 8 （4 分）如图，在ABC 中，ACBC，分别以
3、点 A，B 为圆心，以大于? ?AB 的长为半径 画弧，两弧交于 D，E，经过 D，E 作直线分别交 AB，AC 于点 M，N，连接 BN，下列结 论正确的是（） AANNCBANBNCMNb ? ?BC DBN 平分ABC 9 （4 分）小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，公司承诺：正常上班的工资为 200 元 /天，不能正常上班（如下雨）的工资为 80 元/天，如果某月（30 天）正常上班的天数占 80%，则当月小刘的日平均工资为（） A140 元B160 元C176 元D182 元 10 （4 分）如图，已知 ABCD 的面积为 4，点 P 在 AB 边上从左向右运动（不含端点） ，
4、设APD 的面积为 x，BPC 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（） 第 3页（共 22页） AB CD 二二、填空题填空题（本题共本题共 8 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分.请将答案填在答题卡中对应题号的横请将答案填在答题卡中对应题号的横 线上）线上） 11 （4 分）若实数 a 的立方等于 27，则 a 12 （4 分）一元二次方程 x23x0 的解是 13 （4 分）已知 x 满足不等式组 a? ? a ? ? ? ?，写出一个符合条件的 x 的值 14 （4 分）小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳 动工具，则他选
5、到锄头的概率是 15 （4 分）已知 y 是 x 的二次函数，如表给出了 y 与 x 的几对对应值： x2101234 y11a323611 由此判断，表中 a 16 （4 分）如图，AB 与 CD 相交于点 O，OE 是AOC 的平分线，且 OC 恰好平分EOB， 则AOD度 17 （4 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，从ABAD，ACBD，ABC 第 4页（共 22页） ADC 中选择一个作为条件， 补充后使四边形 ABCD 成为菱形， 则其选择是（限 填序号） 18 （4 分）如图，RtABC 中，BAC90，tanABCb ? ?，将ABC 绕 A 点顺时针方 向旋转角（
6、090）得到ABC，连接 BB，CC，则CAC与BAB 的面积之比等于 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）先化简，再求值：?l ? ? ? ? ? ?，其中 a2 20 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB6，DBC30，求 AC 的长 21 （8 分）如图，已知点 A 是一次函数 y2x4 的图象与 x 轴的交点，将点 A 向上平移 2 个单位后所得点 B 在某反比例函数图象上 （1）求点 A 的坐标； （2）确定该反比例函数的表达式 第 5页
7、（共 22页） 22 （10 分）为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园为了解群众的运 动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项） ，绘制成待 完善的统计图表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目） （1）本次被调查的居民人数是多少？ （2）补全条形统计图； （3）若该休闲公园辐射周边居民约 1 万人，爱好运动者占 80%，请由此估计周边爱好运 动的居民中偏好器械锻炼的人数 23 （10 分） “2021 湖南红色文化旅游节重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式 于 4 月 29 日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在 研学之余
8、对该宝塔的高度进行了测量如图所示，在山坡上的 A 点测得塔底 B 的仰角 BAC13，塔顶 D 的仰角DAC38，斜坡 AB50 米，求宝塔 BD 的高（精确到 1 米） （参考数据：sin130.22，cos130.97，tan130.23，sin380.62，cos38 0.79，tan380.78） 第 6页（共 22页） 24 （10 分）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）益（阳）常（德）高 铁，其中长益段将于 2021 年底建成开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长 缩短了 40 千米，运行时间为 16 分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要 60 分钟，平均 速度是
9、开通后的高铁的? ? （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？ （2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的 长度比为 7：9，计划 40 天完成；施工 5 天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确 保整个工程提早 3 天以上（含 3 天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 25 （12 分）如图，在等腰锐角三角形 ABC 中，ABAC，过点 B 作 BDAC 于 D，延长 BD 交ABC 的外接圆于点 E，过点 A 作 AFCE 于 F，AE，BC 的延长线交于点 G （1）判断 EA 是否平分DEF，并说明理由； （2）求证：BDCF
10、； BD2DE2+AEEG 26 （12 分）已知函数 yb ? a?a ? ? a?a? 的图象如图所示，点 A（x1，y1）在第一象限内的函 数图象上 （1）若点 B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足 x2x1 当 y2y14 时，求 x1，x2的值； 第 7页（共 22页） 若|x2|x1|，设 wy1y2，求 w 的最小值； （2）过 A 点作 y 轴的垂线 AP，垂足为 P，点 P 关于 x 轴的对称点为 P，过 A 点作 x 轴的垂线 AQ，垂足为 Q，Q 关于直线 AP的对称点为 Q，直线 AQ是否与 y 轴交于 某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由 第 8页
11、（共 22页） 2021 年湖南省益阳市中考数学试卷年湖南省益阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有分。每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的） 1 （4 分）2021 的相反数等于（） A2021B2021C ? ? D? ? ? 【解答】解：2021 的相反数是 2021， 故选：A 2 （4 分）已知 a0，下列运算正确的是（） A3a2a1B3a2a6aCa3a2aD （2a）36a3 【解答】解：A3a2
12、aa，故此选项不合题意； B3a2a6a2，故此选项不合题意； Ca3a2a，故此选项符合题意； D （2a）38a3，故此选项不合题意； 故选：C 3 （4 分）将 ?t ? 化为最简二次根式，其结果是（） A ?t ? B ? ? C? ? ? D? ? ? 【解答】解： ?t ? b ?t? ? b ? ? ? ， 故选：D 4 （4 分）解方程组 ?al i b ? ?a? ?i b ?时，若将可得（ ） A2y1B2y1C4y1D4y1 【解答】解： ?al i b ? ?a? ?i b ?， ，得 4y1， 故选：D 5 （4 分）正比例函数 y2x 与反比例函数 yb ? a的图
13、象或性质的共有特征之一是（ ） A函数值 y 随 x 的增大而增大 B图象在第一、三象限都有分布 第 9页（共 22页） C图象与坐标轴有交点 D图象经过点（2，1） 【解答】解：对于正比例函数 y2x，20，函数值 y 随 x 的增大而增大， 对于反比例函数 yb ? a，20，双曲线在每一象限内函数值 y 随 x 的增大而减小， A 选项不符合题意； 对于正比例函数 y2x，20，直线 y2x 在第一、三象限， 对于反比例函数 yb ? a，20，双曲线的两个分支在第一、三象限， B 选项符合题意； 对于正比例函数 y2x，它的图象经过原点， 对于反比例函数 yb ? a，它的图象与坐标轴
14、没有交点， C 选项不符合题意； 当 x2，y2241 正比例函数 y2x 的图象不经过点（2，1） 当 x2 时，yb ? ? b ?， 反比例函数 yb ? a的图象经过（2，1） ， D 选项不符合题意 综上，正确选项为：B 故选：B 6 （4 分）以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是（） AB CD 【解答】解：A不是中心对称图形，符合题意； 第 10页（共 22页） B是中心对称图形，不符合题意； C是中心对称图形，不符合题意； D是中心对称图形，不符合题意 故选：A 7 （4 分）如图，ABCD，ACE 为等边三角形，DCE40，则EAB 等于（） A40B30C20
15、D15 【解答】解：ABCD， DCA+CAB180，即DCE+ECA+EAC+EAB180， ACE 为等边三角形， ECAEAC60， EAB18040606020 故选：C 8 （4 分）如图，在ABC 中，ACBC，分别以点 A，B 为圆心，以大于? ?AB 的长为半径 画弧，两弧交于 D，E，经过 D，E 作直线分别交 AB，AC 于点 M，N，连接 BN，下列结 论正确的是（） AANNCBANBNCMNb ? ?BC DBN 平分ABC 【解答】解：由作法得 DE 垂直平分 AB， NANB 故选：B 第 11页（共 22页） 9 （4 分）小刘利用空闲时间到外地某建筑公司打工，
16、公司承诺：正常上班的工资为 200 元 /天，不能正常上班（如下雨）的工资为 80 元/天，如果某月（30 天）正常上班的天数占 80%，则当月小刘的日平均工资为（） A140 元B160 元C176 元D182 元 【解答】解：2003080%+8030（180%）30 （4800+480）30 176（元） ， 故选：C 10 （4 分）如图，已知 ABCD 的面积为 4，点 P 在 AB 边上从左向右运动（不含端点） ， 设APD 的面积为 x，BPC 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（） AB CD 【解答】解： ABCD 的面积为 4， 当 x0 时，y2；x2 时，
17、y0； BPC 的底边 AP 边上的高不变， y 是 x 的一次函数， 故只有选项 B 符合题意 故选：B 第 12页（共 22页） 二二、填空题填空题（本题共本题共 8 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分.请将答案填在答题卡中对应题号的横请将答案填在答题卡中对应题号的横 线上）线上） 11 （4 分）若实数 a 的立方等于 27，则 a3 【解答】解：a327， ab ? ?t b3， 故答案为：3 12 （4 分）一元二次方程 x23x0 的解是x10，x23 【解答】解：x23x0， x（x3）0， x10，x23 故答案为：x10，x23 13 （4 分）已知 x
18、满足不等式组 a? ? a ? ? ? ?，写出一个符合条件的 x 的值 0 【解答】解：解不等式 x20，得：x2， 又 x1， 不等式组的解集为1x2， 符合不等式组的 x 的值为 0 或 1 或 2 等， 故答案为：0（答案不唯一） 14 （4 分）小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用一种劳 动工具，则他选到锄头的概率是 ? ? 【解答】解：小李在双休日到田间参加除草劳动，他随机从锄头、铁锹、镰刀中选用 一种劳动工具， 他选到锄头的概率是：? ? 故答案为：? ? 15 （4 分）已知 y 是 x 的二次函数，如表给出了 y 与 x 的几对对应值： x21012
19、34 y11a323611 由此判断，表中 a6 【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3） ， 第 13页（共 22页） 对称轴为 xb ?l? ? b1， x1 时的函数值等于 x3 时的函数值， 当 x3 时，y6， 当 x1 时，a6 故答案为：6 16 （4 分）如图，AB 与 CD 相交于点 O，OE 是AOC 的平分线，且 OC 恰好平分EOB， 则AOD60度 【解答】解：OE 是AOC 的平分线，OC 恰好平分EOB， AOECOE，COEBOC， AOECOEBOC， AOE+COE+BOC180， BOC60， AODBOC60， 故答案为：60 17
20、（4 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，从ABAD，ACBD，ABC ADC 中选择一个作为条件，补充后使四边形 ABCD 成为菱形，则其选择是 （限填序号） 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABAD， 平行四边形 ABCD 是菱形； 第 14页（共 22页） 四边形 ABCD 是平行四边形，ACBD， 平行四边形 ABCD 是矩形； 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCADC， 因此ABCADC 时，四边形 ABCD 还是平行四边形； 故答案为： 18 （4 分）如图，RtABC 中，BAC90，tanABCb ? ?，将ABC 绕 A 点顺时针方 向旋转角（09
21、0）得到ABC，连接 BB，CC，则CAC与BAB 的面积之比等于9：4 【解答】解：由旋转的性质可知，BACBAC， BABCAC， ABAB，ACAC， ? ? b ?h ?h， ACCABB， ?h ?h b（? ?） 2， CAB90， tanABCb ? ? b ? ?， ?h ?h b（? ?） 2b? ? 故答案为：9：4 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 8 个小题，共个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （8 分）先化简，再求值：?l ? ? ? ? ? ?，其中 a2 【解答】解：原式b ?l? ?
22、 ? ?l? 第 15页（共 22页） b ? ?， 当 x2 时，原式b ? ? b?2 20 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB6，DBC30，求 AC 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， CDAB6，ACBD，BCD90， 又DBC30， BD2CD2612， AC12 21 （8 分）如图，已知点 A 是一次函数 y2x4 的图象与 x 轴的交点，将点 A 向上平移 2 个单位后所得点 B 在某反比例函数图象上 （1）求点 A 的坐标； （2）确定该反比例函数的表达式 【解答】解： （1）点 A 是一次函数 y2x4 的图象与 x 轴的交点， 当 y0 时，2x
23、40，解得 x2， 点 A 的坐标为（2，0） ； （2）将点 A（2，0）向上平移 2 个单位后得点 B（2，2） 第 16页（共 22页） 设过点 B 的反比例函数解析式为 yb ? a， 则 2b ? ?，解得 k4， 该反比例函数的表达式为 yb ? a 22 （10 分）为了促进全民健身活动的开展，某镇准备兴建一座休闲公园为了解群众的运 动需求，对周边爱好运动的居民的运动偏好进行了随机调查（每人限填一项） ，绘制成待 完善的统计图表（综合类含舞蹈、太极拳等其他项目） （1）本次被调查的居民人数是多少？ （2）补全条形统计图； （3）若该休闲公园辐射周边居民约 1 万人，爱好运动者占
24、80%，请由此估计周边爱好运 动的居民中偏好器械锻炼的人数 【解答】解： （1）14035%400（人） ， 答：本次被调查的居民人数是 400 人； （2）偏好球类的人数：40025%100（人） ， 补全条形统计图如下： 第 17页（共 22页） （3）1000080%（135%30%25%）800（人） ， 答：估计周边爱好运动的居民中偏好器械锻炼的人数是 800 人 23 （10 分） “2021 湖南红色文化旅游节重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式 于 4 月 29 日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在 研学之余对该宝塔的高度进行了测量如图所示，
25、在山坡上的 A 点测得塔底 B 的仰角 BAC13，塔顶 D 的仰角DAC38，斜坡 AB50 米，求宝塔 BD 的高（精确到 1 米） （参考数据：sin130.22，cos130.97，tan130.23，sin380.62，cos38 0.79，tan380.78） 【解答】解：在 RtABC 中，sinBACb ? ?，cosBACb ? ?， BCABsinBACABsin13500.2211（米） ； ACABcosBACABcos13500.9748.5（米） ； 在 RtADC 中，tanDACb ?t ?， CDACtanDACACtan3848.50.7837.83（米）
26、； BDCDBC37.831126.8327（米） ， 答：宝塔 BD 的高约为 27 米 24 （10 分）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）益（阳）常（德）高 第 18页（共 22页） 铁，其中长益段将于 2021 年底建成开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长 缩短了 40 千米，运行时间为 16 分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要 60 分钟，平均 速度是开通后的高铁的? ? （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？ （2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的 长度比为 7：9，计划 40 天完成；施工 5 天后，工程指
27、挥部要求甲工程队提高工效，以确 保整个工程提早 3 天以上（含 3 天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【解答】解： （1）设长益段高铁全长为 x 千米，长益城际铁路全长为 y 千米， 根据题意， 得： i b a l ? i ? b a ? ? ? ? ， 解得： a b ? i b ?， 答：长益段高铁全长为 64 千米，长益城际铁路全长为 104 千米 （2）设甲队后期每天施工 a 千米， 甲原来每天的施工长度为 6440 t ? b0.7（千米） ， 乙每天的施工长度为 6440 ? ? b0.9（千米） ， 根据题意，得：0.75+0.9（403）+（4035）a64，
28、 解得：a0.85， 答：甲工程队后期每天至少施工 0.85 千米，可确保工程提早 3 天以上（含 3 天）完成 25 （12 分）如图，在等腰锐角三角形 ABC 中，ABAC，过点 B 作 BDAC 于 D，延长 BD 交ABC 的外接圆于点 E，过点 A 作 AFCE 于 F，AE，BC 的延长线交于点 G （1）判断 EA 是否平分DEF，并说明理由； （2）求证：BDCF； BD2DE2+AEEG 第 19页（共 22页） 【解答】解： （1）EA 平分DEF，理由如下： ABAC， ABCACB， 又ACBAEB， ABCAEB ABC+AEC180，AEF+AEC180， ABCA
29、EF， AEBAEF， EA 平分DEF， （2）由（1）知：EA 平分DEF， BDAC，AFCE， ADAF， 在 RtABD 和 RtACF 中， ?t b ? ? b ?， RtABDRtACF（HL） ， BDCF， 由ADEAFE 可知：DEFE， BD2DE2（BD+DE） （BDDE）BE（CFEF）BECE， BAE+BCE180，BCE+ECG180， BAEECG， AEBCEG， ? ? b ? ?， BECEAEEG， 第 20页（共 22页） BD2DE2AEEG， 即 BD2DE2+AEEG 26 （12 分）已知函数 yb ? a?a ? ? a?a? 的图象如
30、图所示，点 A（x1，y1）在第一象限内的函 数图象上 （1）若点 B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足 x2x1 当 y2y14 时，求 x1，x2的值； 若|x2|x1|，设 wy1y2，求 w 的最小值； （2）过 A 点作 y 轴的垂线 AP，垂足为 P，点 P 关于 x 轴的对称点为 P，过 A 点作 x 轴的垂线 AQ，垂足为 Q，Q 关于直线 AP的对称点为 Q，直线 AQ是否与 y 轴交于 某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由 【解答】解： （1）yb ? a?a ? ? a?a? ，由 x2x1且 y2y14 时， 由 y1x124， x12（负值舍） ，
31、 由 y2x24， x24， |x2|x1|且 x2x1x10， x20 且 x1x2， y1x12，y2x2x1， wy1y2x12x1（x1? ? ?） 2? ?， 当 x1b ? ?时，w 有最小值为? ? ?， 第 21页（共 22页） （2）如图，设直线 AQ交 y 轴于点 M（0，b） ，连接 QQ， AQx 轴， AQy 轴， APMPAQ， 点 Q 与 Q关于 AP对称， AQAQ，APQQ， PAQPAQ， APMPAQ， AMPM， 点 A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上 x10，y1x120， x1bi?， APy 轴， P 点的坐标为（0，y1） ，APx1bi?， 点 P 与 P关于 x 轴对称， 点 P的坐标为（0，y1） ， PM|y1b|，AMPM|y1+b|， 在 RtAPM 中，由勾股定理得： （ i?）2+|y1b|2|y1+b|2， 化简得：y14by10， 第 22页（共 22页） y10， bb ? ?， 直线 AQ与 y 轴交于一定点 M，坐标为（0，? ?）
