1、第 1页（共 24页） 2021 年广东省广州市中考数学试卷年广东省广州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列四个选项中，为负整数的是（） A0B0.5C?D2 2 （3 分）如图，在数轴上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b0，若 AB6，则点 A 表示 的数为（） A3B0C3D6 3 （3 分）方程 ? ?e ? ? ?的解为（ ） Ax6Bx2Cx2Dx6 4 （3 分）下列运算正确的是（） A|（2）|2B3?e ?3 e C （a2b3）2a4b6D （a2）2a24 5
2、（3 分）下列命题中，为真命题的是（） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形 （3）对角线相等的平行四边形是菱形 （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形 A （1） （2）B （1） （4）C （2） （4）D （3） （4） 6 （3 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等 奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽 到 2 名女学生的概率为（） A? e B? ? C? e D? ? 7 （3 分）一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24
3、cm，若ACB 60，则劣弧 AB 的长是（） 第 2页（共 24页） A8cmB16cmC32cmD192cm 8 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） 、 （3，0） ，且与 y 轴交于点（0，5） ，则 当 x2 时，y 的值为（） A5B3C1D5 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，将ABC 绕点 A 逆时针旋 转得到ABC，使点 C落在 AB 边上，连结 BB，则 sinBBC的值为（） Ae ? B? ? C ? ? D? ? ? 10 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的点 A 在函数 y? ? ?（x0）的图
4、象上， 点 C 在函数 y? ? ?（x0）的图象上，若点 B 的横坐标为? ? ?，则点 A 的坐标为（ ） A （? ?，2） B （ ? ? ， ?）C （2，? ?） D （ ?， ? ? ） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）代数式 ? ? ?在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是 12 （3 分）方程 x24x0 的实数解是 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，A30，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD若 CD1，则 AD 的长为 第 3页（
5、共 24页） 14 （3 分）一元二次方程 x24x+m0 有两个相等的实数根，点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） 是反比例函数 y? ? ?上的两个点，若 x1x20，则 y1 y2（填“”或“”或“” ） 15 （3 分）如图，在ABC 中，ACBC，B38，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直 线 CD 的对称点为 B，当 BDAC 时，则BCD 的度数为 16 （3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且 BE3，以点 A 为 圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G，DF 与 AE 交于点 H并与A 交于点 K， 连结 HG、
6、CH给出下列四个结论其中正确的结论有（填写所有正确 结论的序号） （1）H 是 FK 的中点 （2）HGDHEC （3）SAHG：SDHC9：16 （4）DK? ? ? 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 第 4页（共 24页） 17 （4 分）解方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 18 （4 分）如图，点 E、F 在线段 BC 上，ABCD，AD，BECF，证明：AEDF 19 （6 分）已知 A（? ? ? ? ?） e? ? （1）化简 A； （2）若 m+n2 e ?0，求 A 的值 20 （6 分）某中学为了解初三学生参加志
7、愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生， 统计得到该 20 名学生参加志愿者活动的次数如下： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数123456 人数12a6b2 （1）表格中的 a，b； （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为，中位数为； （3）若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加 志愿者活动的次数为 4 次的人数 21 （8 分）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜 师傅” 、 “广东技工” 、 “南粤家政”三
8、项培训工程，今年计划新增加培训共 100 万人次 （1）若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次， “粤菜师傅”今年计划新增加培训 人次是“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次； （2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6 万人次创业就业，据报道，经过“粤 菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李 某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？ 22 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，点 E 是 AC 的中点，且 ACAD （1）尺规作图：作CAD 的
9、平分线 AF，交 CD 于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹， 不写作法） ； 第 5页（共 24页） （2）在（1）所作的图中，若BAD45，且CAD2BAC，证明：BEF 为等边 三角形 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y? ? ?x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、 B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）设PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）作PAO 的外接圆C，延长 PC 交C 于点 Q，当POQ 的面积最小时，求C 的半径 24 （12 分
10、）已知抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 （1）当 m0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着 m 的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点 坐标； （3）已知点 E（1，1） 、F（3，7） ，若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物 线顶点横坐标的取值范围 25 （12 分）如图，在菱形 ABCD 中，DAB60，AB2，点 E 为边 AB 上一个动点， 第 6页（共 24页） 延长 BA 到点 F，使 AFAE，且 CF、DE 相交于点 G （1）当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形； （2）当 CG2 时
11、，求 AE 的长； （3）当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度 第 7页（共 24页） 2021 年广东省广州市中考数学试卷年广东省广州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列四个选项中，为负整数的是（） A0B0.5C?D2 【解答】解：A、0 是整数，但 0 既不是负数也不是正数，故此选项不符合题意； B、0.5 是负分数，不是整数，故此选项不符合题意； C、?是负无理数，不是整数，故此选项不符合题意； D、2 是负整
12、数，故此选项符合题意 故选：D 2 （3 分）如图，在数轴上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b0，若 AB6，则点 A 表示 的数为（） A3B0C3D6 【解答】解：a+b0， ab，即 a 与 b 互为相反数 又AB6， ba6 2b6 b3 a3，即点 A 表示的数为3 故选：A 3 （3 分）方程 ? ?e ? ? ?的解为（ ） Ax6Bx2Cx2Dx6 【解答】解：去分母，得 x2x6， x6 经检验，x6 是原方程的解 故选：D 4 （3 分）下列运算正确的是（） 第 8页（共 24页） A|（2）|2B3?e ?3 e C （a2b3）2a4b6D （a2）2a24 【
13、解答】解：A、|（2）|2，原计算错误，故本选项不符合题意； B、3 与 e不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，故本选项不符合题意； C、 （a2b3）2a4b6，原计算正确，故本选项符合题意； D、 （a2）2a24a+4，原计算错误，故本选项不符合题意 故选：C 5 （3 分）下列命题中，为真命题的是（） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形 （3）对角线相等的平行四边形是菱形 （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形 A （1） （2）B （1） （4）C （2） （4）D （3） （4） 【解答】解： （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，
14、正确，为真命题，符合题意； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； （3）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意； （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意， 真命题为（1） （4） ， 故选：B 6 （3 分）为了庆祝中国共产党成立 100 周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等 奖的学生中，有 3 名女学生，1 名男学生，则从这 4 名学生中随机抽取 2 名学生，恰好抽 到 2 名女学生的概率为（） A? e B? ? C? e D? ? 【解答】解：画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，恰
15、好抽到 2 名女学生的结果有 6 种， 第 9页（共 24页） 恰好抽到 2 名女学生的概率为 ? ? ? ? ?， 故选：B 7 （3 分）一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 24cm，若ACB 60，则劣弧 AB 的长是（） A8cmB16cmC32cmD192cm 【解答】解：由题意得：CA 和 CB 分别与O 分别相切于点 A 和点 B， OACA，OBCB， OACOBC90， ACB60， AOB120， ?h? ?h ?16（cm） ， 故选：B 8 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） 、 （3，0） ，且与 y 轴交于点（0，5） ，则
16、 当 x2 时，y 的值为（） A5B3C1D5 【解答】解：如图 抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） 、 （3，0） ，且与 y 轴交于点（0，5） ， 可画出上图， 第 10页（共 24页） 抛物线对称轴 x? ?e ? ?1， 点（0，5）的对称点是（2，5） ， 当 x2 时，y 的值为5 故选：A 9 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，将ABC 绕点 A 逆时针旋 转得到ABC，使点 C落在 AB 边上，连结 BB，则 sinBBC的值为（） Ae ? B? ? C ? ? D? ? ? 【解答】解：C90，AC6，BC8， AB? ? ? ?e?
17、 ? ?10， 将ABC 绕点 A 逆时针旋转得到ABC， ACAC6，BCBC8，CACB90， BC4， BB?t?t? ?t ? ? ? ?4 ?， sinBBC? ?t ?t ? ? ? ? ? ? ? ， 故选：C 10 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的点 A 在函数 y? ? ?（x0）的图象上， 点 C 在函数 y? ? ?（x0）的图象上，若点 B 的横坐标为? ? ?，则点 A 的坐标为（ ） A （? ?，2） B （ ? ? ， ?）C （2，? ?） D （ ?， ? ? ） 【解答】解：如图，作 ADx 轴于 D，CEx 轴于 E， 四边形
18、OABC 是矩形， AOC90， AOD+COE90， 第 11页（共 24页） AOD+OAD90， COEOAD， CEOODA， COEOAD， ? ?h ?（? ?） 2，? ?h ? ? ?h ? ? ?， SCOE? ? ? ?|4|2，SAOD? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?h ? ? ?h ? ? ? ? ? ?， OE2AD，CE2OD， 设 A（m， ? ?） （m0） ， C（? ? ?，2m） ， OE0（? ? ?）? ? ?， 点 B 的横坐标为? ? ?， m（? ? ?）? ? ?， 整理得 2m2+7m40， m1? ? ?，m24（舍去） ， 经检验
19、，m? ? ?是方程的解， A（? ?，2） ， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 第 12页（共 24页） 11 （3 分）代数式 ? ? ?在实数范围内有意义时，x 应满足的条件是x6 【解答】解：代数式 ? ? ?在实数范围内有意义时，x60， 解得 x6， x 应满足的条件是 x6 故答案为：x6 12 （3 分）方程 x24x0 的实数解是x10，x24 【解答】解：方程 x24x0， 分解因式得：x（x4）0， 可得 x0 或 x40， 解得：x10，x24 故答案为：x10，x24 13 （3
20、分）如图，在 RtABC 中，C90，A30，线段 AB 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD若 CD1，则 AD 的长为2 【解答】解：DE 垂直平分 AB， ADBD， AABD， A30， ABD30， BDCA+ABD30+3060， C90， CBD30， CD1， BD2CD2， AD2 故答案为 2 第 13页（共 24页） 14 （3 分）一元二次方程 x24x+m0 有两个相等的实数根，点 A（x1，y1） 、B（x2，y2） 是反比例函数 y? ? ?上的两个点， 若 x1x20， 则 y1 y2（填 “” 或 “” 或 “” ） 【解答】解：一元二次方
21、程 x24x+m0 有两个相等的实数根， 164m0， 解得 m4， m0， 反比例函数 y? ? ?图象在一三象限，在每个象限 y 随 x 的增大而减少， x1x20， y1y2， 故答案为 15 （3 分）如图，在ABC 中，ACBC，B38，点 D 是边 AB 上一点，点 B 关于直 线 CD 的对称点为 B，当 BDAC 时，则BCD 的度数为33 【解答】解：ACBC， AB38， BDAC， ADBA38， 点 B 关于直线 CD 的对称点为 B， CDBCDB? ? ?（38+180）109， BCD180BCDB1803810933 故答案为 33 16 （3 分）如图，正方形
22、 ABCD 的边长为 4，点 E 是边 BC 上一点，且 BE3，以点 A 为 圆心，3 为半径的圆分别交 AB、AD 于点 F、G，DF 与 AE 交于点 H并与A 交于点 K， 连结 HG、CH给出下列四个结论其中正确的结论有（1） （3） （4）（填写所有 正确结论的序号） 第 14页（共 24页） （1）H 是 FK 的中点 （2）HGDHEC （3）SAHG：SDHC9：16 （4）DK? ? ? 【解答】解： （1）在ABE 与DAF 中， ?h ? ? ?h? ? ? ? ， ABEDAF（SAS） ， AFDAEB， AFD+BAEAEB+BAE90， AHFK， 由垂径定理，
23、 得：FHHK， 即 H 是 FK 的中点，故（1）正确； （2）如图，过 H 分别作 HMAD 于 M，HNBC 于 N， AB4，BE3， AE? ?5， 第 15页（共 24页） BAEHAFAHM， cosBAEcosHAFcosAHM， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， AH? ? ? ，HM? ? ?， HN4? ? ? ? ? ?， 即 HMHN， MNCD， MDCN， HD? ?h?， HC? ?， HCHD， HGDHEC 是错误的，故（2）不正确； （3）由（2）知，AM? ? e? ?， DM? ? ? e? ? ? ? ?， MNCD， MDHT? ? ?
24、， ?h ?h ? ? ?h? ? ?h?t ? ? ?，故（3）正确； （4）由（2）知，HF? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ， DKDFFK? ? ?，故（4）正确 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （4 分）解方程组 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【解答】解： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 将代入得，x+（x4）6， x5， 第 16页（共 24页） 将 x5 代入得，y1， 方程组的解为 ? ? ? ? ? ? 18 （4 分）如图，点 E、F 在线段 BC 上，ABCD，AD，BECF，证明：AE
25、DF 【解答】证明：ABCD， BC 在ABE 和DCF 中， ? ?h， ? ? ?， ? ? ， ABEDCF（AAS） AEDF 19 （6 分）已知 A（? ? ? ? ?） e? ? （1）化简 A； （2）若 m+n2 e ?0，求 A 的值 【解答】解： （1）A（? ? ? ? ?） e? ? ? ? ? ? e? ? ? ? ? ? e? ? ?e（m+n） ?em?en； （2）m+n2 e ?0， m+n2 e， 当 m+n2 e时，A?em?en?e（m+n）?e ?2 e ?6 20 （6 分）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级 20 名学生，
26、 统计得到该 20 名学生参加志愿者活动的次数如下： 第 17页（共 24页） 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表： 次数123456 人数12a6b2 （1）表格中的 a4，b5； （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为4，中位数为4； （3）若该校初三年级共有 300 名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加 志愿者活动的次数为 4 次的人数 【解答】解： （1）由该 20 名学生参加志愿者活动的次数得：a4，b5， 故答案为：4，5； （2）该 20 名学生参加志愿者活动的次数从小到
27、大排列如下： 1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6， 4 出现的最多，有 6 次， 众数为 4，中位数为第 10，第 11 个数的平均数? ? ?4， 故答案为：4，4； （3）300 ? ?h ?90（人） 答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为 4 次的人数有 90 人 21 （8 分）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜 师傅” 、 “广东技工” 、 “南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共 100 万人次 （1）若“广东技工”今年计划新增加培训 31 万人次， “粤菜师傅”今年计划新增加培训 人次是
28、“南粤家政”的 2 倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次； （2） “粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动 33.6 万人次创业就业，据报道，经过“粤 菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为 9.6 万元，预计李 某今年的年工资收入不低于 12.48 万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？ 【解答】解： （1）设“南粤家政”今年计划新增加培训 x 万人次，则“粤菜师傅”今年 计划新增加培训 2x 万人次， 依题意得：31+2x+x100， 解得：x23 答： “南粤家政”今年计划新增加培训 23 万人次 第 18页（共 24页） （2）设李某的年工资收入增长
29、率为 m， 依题意得：9.6（1+m）12.48， 解得：m0.330% 答：李某的年工资收入增长率至少要达到 30% 22 （10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，点 E 是 AC 的中点，且 ACAD （1）尺规作图：作CAD 的平分线 AF，交 CD 于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹， 不写作法） ； （2）在（1）所作的图中，若BAD45，且CAD2BAC，证明：BEF 为等边 三角形 【解答】 （1）解：如图，图形如图所示 （2）证明：ACAD，AF 平分CAD， CAFDAF，AFCD， CAD2BAC，BAC45， BAEEAFFAD15， ABCAFC90
30、，AEEC， BEAEEC，EFAEEC， 第 19页（共 24页） EBEF，EABEBA15，EAFEFA15， BECEAB+EBA30，CEFEAF+EFA30， BEF60， BEF 是等边三角形 23 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y? ? ?x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、 B 两点，点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）设PAO 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （3）作PAO 的外接圆C，延长 PC 交C 于点 Q，当POQ 的面积最小时，求C 的半径 【解
31、答】解： （1）直线 y? ? ?x+4 分别与 x 轴，y 轴相交于 A、B 两点， 当 x0 时，y4； 当 y0 时，x8， A（8，0） ，B（0，4） ； （2）点 P（x，y）为直线 l 在第二象限的点， P（x，? ? ? ? ?） ， SAPO? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2x+16（8x0） ； S2x+16（8x0） ； （3）A（8，0） ，B（0，4） ， OA8，OB4， 在 RtAOB 中，由勾股定理得： 第 20页（共 24页） AB? ? ? ? ?， 在C 中，PQ 是直径， PQO90， BAOQ， tanQtanBA
32、O? ? ?， ? ? ? ? ?， OQ2OP， SPOQ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当 SPOQ最小时，则 OP 最小， 点 P 在线段 AB 上运动， 当 OPAB 时，OP 最小， SAOB? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， sinQsinBAO， ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ?， PQ8， C 半径为 4 24 （12 分）已知抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 （1）当 m0 时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着 m 的变化而移动
33、，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点 坐标； （3）已知点 E（1，1） 、F（3，7） ，若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，求该抛物 线顶点横坐标的取值范围 【解答】解： （1）当 m0 时，抛物线为 yx2x+3， 将 x2 代入得 y42+35， 点（2，4）不在抛物线上； 第 21页（共 24页） （2）抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 的顶点为（? ? ，?e? ? ? ） ， 化简得（? ? ，? ? ? ） ， 顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大， 而? ? ? ? ? ?（m3） 2+5， m3 时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标为： （2，5
34、） ； （3）设直线 EF 解析式为 ykx+b，将 E（1，1） 、F（3，7）代入得： ? ? ? b ? i ? ? eb? i ，解得 b ? ? i ? ?， 直线 EF 的解析式为 y2x+1， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? e得： ? ? ? ? ? ?或 ? ? ? ? ? ? ? ? e， 直线 y2x+1 与抛物线 yx2（m+1）x+2m+3 的交点为： （2，5）和（m+1，2m+3） ， 而（2，5）在线段 EF 上， 若该抛物线与线段 EF 只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段 EF 上，或（2，5） 与（m+1，2m+3）重合， m+11
35、 或 m+13 或 m+12（此时 2m+35） ， 此时抛物线顶点横坐标 x顶点? ? ? ? ? ?或 x 顶点? ? ? e ?或 x 顶点? ? ? ? ? ? ?1 25 （12 分）如图，在菱形 ABCD 中，DAB60，AB2，点 E 为边 AB 上一个动点， 延长 BA 到点 F，使 AFAE，且 CF、DE 相交于点 G （1）当点 E 运动到 AB 中点时，证明：四边形 DFEC 是平行四边形； （2）当 CG2 时，求 AE 的长； （3）当点 E 从点 A 开始向右运动到点 B 时，求点 G 运动路径的长度 【解答】解： （1）连接 DF，CE，如图所示： 第 22页（
36、共 24页） ， E 为 AB 中点， AEAF? ? ?AB， EFAB， 四边形 ABCD 是菱形， EFAB， 四边形 DFEC 是平行四边形 （2）作 CHBH，设 AEFAm，如图所示， ， 四边形 ABCD 是菱形， CDEF， CDGFEG， h h ? ? h， FG2m， 在 RtCBH 中，CBH60，BC2， sin60? ? ?，CH? e， cos60? ? ?，BC1， 在 RtCFH 中，CF2+2m，CH?e，FH3+m， CFCH+FH， 即（2+2m）（ e）+（3+m）， 第 23页（共 24页） 整理得：3m+2m80， 解得：m1? ? e，m22（舍
37、去） ， ? ? ? e （3）G 点轨迹为线段 AG， 证明：如图， （此图仅作为证明 AG 轨 迹用） ， 延长线段 AG 交 CD 于 H，作 HMAB 于 M，作 DNAB 于 N， 四边形 ABCD 是菱形， BFCD， DHGEGA，HGCAGF， ? h? ? ?h ?h， ? ? ? ?h ?h， ? h? ? ? ?， AEAF， DHCH1， 在 RtADF 中，AD2，DAB60 sin60? h? ?h，DN? ecos60? ? ?h，AN1， 在 RtAHM 中，HMDN?e，AMAN+FMAN+DH2， tanHAM? e ? ， G 点轨迹为线段 AG G 点轨迹是线段 AG 如图所示，作 GHAB， 第 24页（共 24页） 四边形 ABCD 为菱形，DAB60，AB2， CDBF，BD2， CDGFBG， h ? ? hh ?h，即 BG2DG， BG+DGBD2， BG? ? e， 在 RtGHB 中，BG? ? e，DBA60， sin60? h? ?h，GH? ? e e ， cos60? ? ?h，BH? ? e， 在 RtAHG 中，AH2? ? e ? ? e，GH? ? e e ， AG（? e）+（ ? e e ）? ? ? ， AG? ? ? e G 点路径长度为? ? e
