1、第 1页（共 25页） 2021 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项分，在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （4 分）自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一今年“五一黄金周”共接待游 客 8.87 万人次，人数 88700 用科学记数法表示为（） A0.887105B8.87103C8.87104D88.7103 2 （4 分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的 相对面上
2、的字是（） A百B党C年D喜 3 （4 分）下列运算正确的是（） A5a24a21B （a2b3）2a4b6 Ca9a3a3D （a2b）2a24b2 4 （4 分）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（） ABCD 5 （4 分）如图，AC 是正五边形 ABCDE 的对角线，ACD 的度数是（） A72B36C74D88 第 2页（共 25页） 6 （4 分）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了 50 名学生一周参加体育锻 炼时间，数据如下表所示： 人数（人）9161411 时间（小 时） 78910 这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（） A16，15B11
3、，15C8，8.5D8，9 7 （4 分）已知 x23x120，则代数式3x2+9x+5 的值是（） A31B31C41D41 8 （4 分）如图，A（8，0） ，C（2，0） ，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 y 轴正半 轴于点 B，则点 B 的坐标为（） A （0，5）B （5，0）C （6，0）D （0，6） 9 （4 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位： ）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法正确的是（） A函数解析式为 I? ? ? B蓄电池的电压是 18V C当 I10A 时，R3.6D当 R6时，I4A 第 3页（共 2
4、5页） 10 （4 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 F，OEAC 于点 E，若 OE3，OB 5，则 CD 的长度是（） A9.6B4 ?C5 ?D10 11 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB6，M 是 AD 边上的一点，AM：MD1：2将 BMA 沿 BM 对折至BMN，连接 DN，则 DN 的长是（） A? ? B? ? ? C3D? ? ? 12 （4 分）如图，直线 y2x+2 与坐标轴交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上的一个动点， 过点 P 作 y 轴的平行线交直线 yx+3 于点 Q， OPQ 绕点 O 顺时针旋转 45， 边 PQ 扫过区域
5、（阴影部分）面积的最大值是（） 第 4页（共 25页） A? ? B? ? C? ? D? ? 二、填空题（共二、填空题（共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）请写出一个满足不等式 x?7 的整数解 14 （4 分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为 100，其中体育课外活动占 30%，期末 考试成绩占 70%， 小彤的这两项成绩依次是 90， 80 则小彤这学期的体育成绩是 15 （4 分）化简： ? ?t? t ? ?tt ? 16 （4 分）如图，某学校“桃李餐厅”把 WIFI 密码做成了数学题小红在餐厅就餐时，思 索了一会儿，输入密码，
6、顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络那么她输入的密码 是 17 （4 分）如图，ABC 的顶点均在正方形网格格点上只用不带刻度的直尺，作出ABC 的角平分线 BD（不写作法，保留作图痕迹） 18 （4 分）当自变量1x3 时，函数 y|xk|（k 为常数）的最小值为 k+3，则满足条 件的 k 的值为 三、解答题（共三、解答题（共 8 个题，共个题，共 78 分）分） 19 （8 分）计算： ? t|7|+（2t?）0 20 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、CD 的中点求证：DEBF 21 （8 分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部 B 处
7、测得办公 楼底部 D 处的俯角是 53， 从综合楼底部 A 处测得办公楼顶部 C 处的仰角恰好是 30， 第 5页（共 25页） 综合楼高 24 米请你帮小明求出办公楼的高度 （结果精确到 0.1，参考数据 tan37 0.75，tan531.33， ? ?1.73） 22 （8 分）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业现有 A，B 两种 型号的无人机都被用来运送快件，A 型机比 B 型机平均每小时多运送 20 件，A 型机运送 700 件所用时间与 B 型机运送 500 件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多 少快件？ 23 （10 分）为了弘扬爱国主义精神，某校组
8、织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为： A（优秀） 、B（良好） 、C（合格） 、D（不合格）四个等级小李随机调查了部分同学的 竞赛成绩，绘制了如图统计图 （1）本次抽样调查的样本容量是，请补全条形统计图； （2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不 合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率； （3）该校共有 2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数 24 （10 分）函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、 连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习 经验，画出函
9、数 y?t ?t t?t的图象，并探究其性质 列表如下： 第 6页（共 25页） x432101234 y ? ? ?t ? a ? ? 0b2 t ?t ? t ? ? （1）直接写出表中 a、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数 y?t ?t t?t的图象，判断下列关于该函数性质的命题： 当2x2 时，函数图象关于直线 yx 对称； x2 时，函数有最小值，最小值为2； 1x1 时，函数 y 的值随 x 的增大而减小 其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号） （3）结合图象，请直接写出不等式 ?t t?t x 的解集 25 （12 分）如图，点 D 在以 AB
10、 为直径的O 上，过 D 作O 的切线交 AB 延长线于点 C， AECD 于点 E，交O 于点 F，连接 AD，FD （1）求证：DAEDAC； （2）求证：DFACADDC； （3）若 sinC? ? t，AD4 ?t，求 EF 的长 26 （14 分）如图，抛物线 y（x+1） （xa） （其中 a1）与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴 第 7页（共 25页） 于点 C （1）直接写出OCA 的度数和线段 AB 的长（用 a 表示） ； （2）若点 D 为ABC 的外心，且BCD 与ACO 的周长之比为 ?t：4，求此抛物线的 解析式； （3）在（2）的前提下，试探究抛物线 y（x
11、+1） （xa）上是否存在一点 P，使得CAP DBA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 8页（共 25页） 2021 年四川省自贡市中考数学试卷年四川省自贡市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每题给出的四个选项中，只有一项分，在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）是符合题目要求的） 1 （4 分）自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙遗址博物馆之一今年“五一黄金周”共接待游 客 8.87 万人次，人数 88700 用科学记数法表示为（） A0.887105
12、B8.87103C8.87104D88.7103 【解答】解：887008.87104 故选：C 2 （4 分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“迎”字一面的 相对面上的字是（） A百B党C年D喜 【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“迎”与“党”相对， 面“建”与面“百”相对， “喜”与面“年”相对 故选：B 3 （4 分）下列运算正确的是（） A5a24a21B （a2b3）2a4b6 Ca9a3a3D （a2b）2a24b2 【解答】解：A、5a24a2a2，故 A 错误； B、 （a2b3）2（1）2（a2）2（b3）2a4b6，故 B 正
13、确； C、? ? ? ?a9 3a6，故 C 错误； D、由完全平方公式可得： （a2b）2a24ab+4b2，故 D 错误； 故选：B 4 （4 分）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（） 第 9页（共 25页） ABCD 【解答】解：A是轴对称图形，共有 1 条对称轴； B不是轴对称图形，没有对称轴； C不是轴对称图形，没有对称轴； D是轴对称图形，共有 2 条对称轴 故选：D 5 （4 分）如图，AC 是正五边形 ABCDE 的对角线，ACD 的度数是（） A72B36C74D88 【解答】解：正五边形 ABCDE， 每个内角为 1803605108， ABBC， BCABAC
14、36， ACDBCDBCA1083672， 故选：A 6 （4 分）学校为了解“阳光体育”活动开展情况，随机调查了 50 名学生一周参加体育锻 炼时间，数据如下表所示： 人数（人）9161411 时间（小 时） 78910 这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（） A16，15B11，15C8，8.5D8，9 【解答】解：由于一共有 50 个数据，其中 8 小时的人数最多，有 14 人， 所以这组数据的众数为 8 小时， 这 50 个数据的第 25、26 个数据分别为 8、9， 第 10页（共 25页） 所以这组数据的中位数为? ? ?8.5（小时） ， 故选：C 7 （4 分）已
15、知 x23x120，则代数式3x2+9x+5 的值是（） A31B31C41D41 【解答】解：x23x120， x23x12 原式3（x23x）+5312+536+531 故选：B 8 （4 分）如图，A（8，0） ，C（2，0） ，以点 A 为圆心，AC 长为半径画弧，交 y 轴正半 轴于点 B，则点 B 的坐标为（） A （0，5）B （5，0）C （6，0）D （0，6） 【解答】解：根据已知可得：ABAC10，OA8 在 RtABO 中，? ?t ?6 B（0，6） 故选：D 9 （4 分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 I（单位：A）与电阻 R（单位： ）是反比例函数关
16、系，它的图象如图所示下列说法正确的是（） 第 11页（共 25页） A函数解析式为 I? ? ? B蓄电池的电压是 18V C当 I10A 时，R3.6D当 R6时，I4A 【解答】解：设 I? ? ?， 图象过（4，9） ， k36， I? ? ? ， A，B 均错误； 当 I10 时，R3.6， 由图象知：当 I10A 时，R3.6， C 正确，符合题意； 当 R6 时，I6， D 错误， 故选：C 10 （4 分）如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 F，OEAC 于点 E，若 OE3，OB 5，则 CD 的长度是（） A9.6B4 ?C5 ?D10 【解答】解：OEAC 于点
17、E 第 12页（共 25页） AEEC OE3，OB5 AE?t ? t AC8 AA，AEOAFC AEOAFC ? ? ? ? ?，即： ? ? ? ? ? ? ? ?t ? CDAB CD2CF? t? ? ?9.6 故选：A 11 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB6，M 是 AD 边上的一点，AM：MD1：2将 BMA 沿 BM 对折至BMN，连接 DN，则 DN 的长是（） A? ? B? ? ? C3D? ? ? 【解答】解：连接 AN 交 BM 于点 O，作 NHAD 于点 H如图： AB6，AM：MD1：2 AM2，MD4 四边形 ABCD 是正方形 第 13页（共
18、 25页） BM? ? ? ?t 根据折叠性质，AOBM，AOONAMMN2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t ? ? ?t ? AN? ? ?t ? NHAD AN2AH2MN2MH2 ? ? ?t ? ?t ? ?香? ?t ?香? ?香 ? ? ? 香? ?t ?香?t ? ? ? ? ? ? ? 香 ? ? t ? t ?香 ? ? ? DN?香? 香? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选：D 12 （4 分）如图，直线 y2x+2 与坐标轴交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上的一个动点， 过点 P 作 y 轴的平行线交直线 yx+
19、3 于点 Q， OPQ 绕点 O 顺时针旋转 45， 边 PQ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（） A? ? B? ? C? ? D? ? 【解答】解：设 P（m，2m+2） ，则 Q（m，m+3） 第 14页（共 25页） OP2m2+（2m+2）25m28m+4，OQ2m2+（m+3）22m26m+9 OPQ 绕点 O 顺时针旋转 45 OPQOBCQOCPOB45 PQ 扫过区域（阴影部分）面积 SS扇OQCS扇OPB? t? ?t ? ? ? ?t t? ?t ? ? ? ? ? ? ? t ? ? ? ?t ? ? ?t ? ? ? ? ? 当 m? ? ?时，S 的最大值为：
20、? ? 故选：A 二、填空题（共二、填空题（共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13 （4 分）请写出一个满足不等式 x?7 的整数解6（答案不唯一） 【解答】解：x?7， x7t?， 1?2， 2t?t1， 727t?t1+7 57t?6， 故满足不等式 x?7 的整数解可以为：6（答案不唯一） 故答案为：6（答案不唯一） 14 （4 分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为 100，其中体育课外活动占 30%，期末 考试成绩占 70%，小彤的这两项成绩依次是 90，80则小彤这学期的体育成绩是83 【解答】解：小彤这学期的体育成绩是 9030%+8070%
21、83， 故答案为：83 第 15页（共 25页） 15 （4 分）化简： ? ?t? t ? ?tt ? ? ? 【解答】解： ? ?t? t ? ?tt ? ? ?t? t ? ?t? ? ? ?t? t ? ?t? ? ?tt ?t? ? ?t? ?t? ? ? ? 故答案为： ? ? 16 （4 分）如图，某学校“桃李餐厅”把 WIFI 密码做成了数学题小红在餐厅就餐时，思 索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络那么她输入的密码是 244872 【解答】解：由三个等式，得到规律： 5*36301848 可知：56366（5+3） ， 2*67144256 可知：27677
22、（2+6） ， 9*25451055 可知：95 255（9+2） ， 4*8646866（4+8）244872 故答案为：244872 17 （4 分）如图，ABC 的顶点均在正方形网格格点上只用不带刻度的直尺，作出ABC 的角平分线 BD（不写作法，保留作图痕迹） 第 16页（共 25页） 【解答】解：如图，射线 BD 即为所求作 18 （4 分）当自变量1x3 时，函数 y|xk|（k 为常数）的最小值为 k+3，则满足条 件的 k 的值为2 【解答】解：当 xk 时，函数 y|xk|xk，此时 y 随 x 的增大而增大， 而1x3 时，函数的最小值为 k+3， x1 时取得最小值，即有
23、1kk+3， 解得 k2， （此时1x3，xk 成立） ， 当 xk 时，函数 y|xk|x+k，此时 y 随 x 的增大而减小， 而1x3 时，函数的最小值为 k+3， x3 时取得最小值，即有3+kk+3， 此时无解， 故答案为：2 三、解答题（共三、解答题（共 8 个题，共个题，共 78 分）分） 19 （8 分）计算： ? t|7|+（2t?）0 【解答】解：原式57+11 20 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、CD 的中点求证：DEBF 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD，又 E、F 分别是边 AB、CD 的中点， 第 17页
24、（共 25页） DFBE，又 ABCD， 四边形 DEBF 是平行四边形， DEBF 21 （8 分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部 B 处测得办公 楼底部 D 处的俯角是 53， 从综合楼底部 A 处测得办公楼顶部 C 处的仰角恰好是 30， 综合楼高 24 米请你帮小明求出办公楼的高度 （结果精确到 0.1，参考数据 tan37 0.75，tan531.33， ? ?1.73） 【解答】解：由题意可知 AB24 米，BDA53， tanBDA? ? ? ? ?t ? ?1.33， AD? ?t ?t? ?18.05 tanCADtan30? ? ? ? ? ?tt
25、? ? ? ? ， CD18.05 ? ? ?10.4（米） 故办公楼的高度约为 10.4 米 22 （8 分）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业现有 A，B 两种 型号的无人机都被用来运送快件，A 型机比 B 型机平均每小时多运送 20 件，A 型机运送 700 件所用时间与 B 型机运送 500 件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多 少快件？ 【解答】 解： 设 A 型机平均每小时运送快递 x 件， 则 B 型机平均每小时运送快递 （x20） 件， 根据题意得：?tt t ? ?tt tt?t， 解得：x70， 经检验，x70 是原分式方程的根，且符合题意，
26、702050， 第 18页（共 25页） 答：A 型机平均每小时运送快递 70 件，B 型机平均每小时运送快递 50 件 23 （10 分）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩分为： A（优秀） 、B（良好） 、C（合格） 、D（不合格）四个等级小李随机调查了部分同学的 竞赛成绩，绘制了如图统计图 （1）本次抽样调查的样本容量是100，请补全条形统计图； （2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不 合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率； （3）该校共有 2000 名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数
27、【解答】解： （1）由条形统计图可得 C 等级的人数为 25 人，由扇形统计图可得 C 等 级的人数占比为 25%， 样本容量为 25%，2525%100 补全条形统计图如下： 故答案为：100 （2）D 等级的学生有：1005%5（人） 第 19页（共 25页） 由题意画出树状图如下： 由树状图可得，恰好回访到一男一女的概率为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ? ? ? （3）样本中 A（优秀）的占比为 35%， 可以估计该校 2000 名学生中的 A（优秀）的占比为 35% 估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数为：200035%700（人） 24 （10 分）函数图象是研究函数的重
28、要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、 连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习 经验，画出函数 y?t ?t t?t的图象，并探究其性质 列表如下： x432101234 y ? ? ?t ? a ? ? 0b2 t ?t ? t ? ? （1）直接写出表中 a、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数 y?t ?t t?t的图象，判断下列关于该函数性质的命题： 当2x2 时，函数图象关于直线 yx 对称； x2 时，函数有最小值，最小值为2； 1x1 时，函数 y 的值随 x 的增大而减小 其中正确的是 （请写出所有正确命题的
29、番号） （3）结合图象，请直接写出不等式 ?t t?t x 的解集x2 或 0 x2 第 20页（共 25页） 【解答】解： （1）把 x2 代入 y?t ?t t?t得，y?t t? t?t ?2， 把 x1 代入 y?t ?t t?t得，y?t ? ?t ?t ? ?， a2，b?t ? ?， 函数 y?t ?t t?t的图象如图所示： （2）观察函数 y?t ?t t?t的图象， 当2x2 时，函数图象关于直线 yx 对称；正确； x2 时，函数有最小值，最小值为2；正确； 1x1 时，函数 y 的值随 x 的增大而减小，正确 故答案为； （3）由图象可知，函数 y?t ?t t?t与直
30、线 yx 的交点为（2,2） 、 （0,0） 、 （2，2） 第 21页（共 25页） 不等式 ?t t?t x 的解集为 x2 或 0 x2 25 （12 分）如图，点 D 在以 AB 为直径的O 上，过 D 作O 的切线交 AB 延长线于点 C， AECD 于点 E，交O 于点 F，连接 AD，FD （1）求证：DAEDAC； （2）求证：DFACADDC； （3）若 sinC? ? t，AD4 ?t，求 EF 的长 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD CD 是O 的切线， ODEC， AECE， AEOD， EADADO， OAOD， ADODAO， DAEDAC （2）证明：如图，
31、连接 BF BF 是直径， AFB90， AEEC， AFBE90， BFEC， ABFC， ADFABF， 第 22页（共 25页） ADFC， DAFDAC， DAFCAD， ? ? ? ? ?， DFACADDC （3）解：过点 D 作 DHAC 于 H CD 是O 的切线， ODC90， sinC? ? ? ? ? t， 可以假设 ODk，OC4k，则 OAODk，CD?k， ? ?ODDC? ? ?OCDH， DH? ? t k， OH?t 香? ? tk， AHOA+OH? ? tk， AD2AH2+DH2， （4 ?t）2（? tk） 2+（ ? t k）2 k8 或8（舍弃）
32、， DH2 ?，AC5k40，DC8 ?， DFACADDC， DF4 ?， ADEDAC+CADF+EDF，ADFC， EDFDAC， sinEDFsinDAH， ? ? ? 香 ?， ? t ? ? ? ? t ?t， EF6 第 23页（共 25页） 26 （14 分）如图，抛物线 y（x+1） （xa） （其中 a1）与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴 于点 C （1）直接写出OCA 的度数和线段 AB 的长（用 a 表示） ； （2）若点 D 为ABC 的外心，且BCD 与ACO 的周长之比为 ?t：4，求此抛物线的 解析式； （3）在（2）的前提下，试探究抛物线 y（x+1）
33、 （xa）上是否存在一点 P，使得CAP DBA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）定义抛物线 y（x+1） （xa） ，令 y0，可得 x1 或 a， B（1，0） ，A（a，0） ， 令 x0，得到 ya， C（0，a） ， OAOCa，OB1， AB1+a AOC90， OCA45 （2）AOC 是等腰直角三角形， OAC45， 第 24页（共 25页） 点 D 是ABC 的外心， BDC2CAB90，DBDC， BDC 也是等腰直角三角形， DBCOAC， ? ? ? ?t t ， ? ? ? ?t t ， 解得 a2 或2（舍弃） ， 抛物线的解析
34、式为 y（x+1） （x2）x2x2 （3）作点 C 关于抛物线的对称轴 x? ? ?的对称点 C，连接 AC C（0，2） ，C（1，2） ， PCAB， BC，AC关于直线 x? ? ?对称， CBAC， 四边形 ABCP 是等腰梯形， CBACAB， DBCOAC45， ABDCAC， 当点 P 与点 C重合时满足条件， P（1，2） 第 25页（共 25页） 作点 P 关于直线 AC 的对称点 E（0，1） ，则EACPACABD，作直线 AE 交抛 物线于 P，点 P满足条件， A（2，0） ，E（0，1） ， 直线 AE 的解析式为 y? ? ?x1， 由 ? ? ? ? t t ? ? ? t?t t t ? ，解得 t ? ? ? ? t或 t ?t ? ? ? ?t ? t ， P（t ? ?，t ? t） ， 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（1，2）或（ ? ?， ? t）
