2021年湖南省邵阳市中考数学试卷（学生版+解析版）.docx

1、第 1页（共 24页） 2021 年湖南省邵阳市中考数学试卷年湖南省邵阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）3 的相反数是（） A3B0C3D 2 （3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（） AB CD 3 （3 分） 2021 年我国首次发射探测器对火星进行探测 北京时间 2 月 10 日晚， “天问一号” 探测器在距离地球约 192000000km 处成功实施制动捕获，随后进

2、入火星轨道用科学记 数法将 192000000 表示为 a108的形式，则 a 的值是（） A0.192B1.92C19.2D192 4 （3 分） 如图， 若数轴上两点 M， N 所对应的实数分别为 m，n， 则 m+n 的值可能是（） A2B1C1D2 5 （3 分） 如图， 在AOB 中， AO1， BOAB? ? ? 将AOB 绕点 O 逆时针方向旋转 90， 得到AOB，连接 AA则线段 AA的长为（） 第 2页（共 24页） A1B ?C? ? D? ? ? 6 （3 分）其社区针对 5 月 30 日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收 回 6000 份有效问卷经统计

3、，制成如下数据表格 接种疫苗针数0123 人数210022801320300 小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比下面是制 作扇形统计图的步骤（顺序打乱） ： 计算各部分扇形的圆心角分别为 126，136.8，79.2，18 计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为 35%，38%，22%，5% 在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的 百分比 制作扇形统计图的步骤排序正确的是（） ABCD 7 （3 分）下列数值不是不等式组 ?TX i h ?T X ? X i ? T ? ? ? X T 的整数解的是（） A2B1C

4、0D1 8 （3 分）某天早晨 7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车 耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30 赶到了学校如图所示的函数图象反映了他 骑车上学的整个过程结合图象，判断下列结论正确的是（） 第 3页（共 24页） A小明修车花了 15min B小明家距离学校 1100m C小明修好车后花了 30min 到达学校 D小明修好车后骑行到学校的平均速度是 3m/s 9 （3 分）如图，点 A，B，C 是O 上的三点若AOC90，BAC30，则AOB 的大小为（） A25B30C35D40 10（3 分） 在平面直角坐标系中， 若直线 yx+m 不经过第一象

5、限， 则关于 x 的方程 mx2+x+1 0 的实数根的个数为（） A0 个B1 个C2 个D1 或 2 个 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）16 的算术平方根是 12 （3 分）因式分解：xy2x3 13 （3 分）如图，点 D，E，F 分别为ABC 三边的中点若ABC 的周长为 10，则DEF 的周长为 第 4页（共 24页） 14 （3 分）已知点 A（1，y1） ，B（2，y2）为反比例函数 y? ? T图象上的两点，则 y1 与 y2的 大小关系是 y1y2 （填“” “”或“” ） 15

6、（3 分）如图，已知线段 AB 长为 4现按照以下步骤作图： 分别以点 A，B 为圆心，大于i ?AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点 E，F； 过 E，F 两点作直线，与线段 AB 相交于点 O 则 AO 的长为 16 （3 分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择 其中一条路径，则它遇到食物的概率是 17 （3 分） 九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？ 意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出 8 钱，则多了 3 钱；如果每人出 7 钱， 则少了 4 钱问有多少人，物品的价值是多

7、少？ 该问题中物品的价值是钱 18 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，DEAC，垂足为点 E若 sinADE? ? ?，AD4，则 AB 的长为 第 5页（共 24页） 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 个小题，第个小题，第 1925 题每题题每题 8 分，第分，第 26 题题 10 分，共分，共 66 分分.解答应解答应 写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19 （8 分）计算： （2021）0| ? X2|tan60 20 （8 分） 先化简， 再从1， 0， 1， 2， ? ?1 中选择一个合适的 x 的值代入求值 （1X T

8、 T?i） T?Xi T?T?i 21 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AECF连接 DE，DF，BE，BF （1）证明：ADECBF （2）若 AB4 ?，AE2，求四边形 BEDF 的周长 22 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，某校计划举行“学党史感党恩”知识竞答活 动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品采购员刘老师在某文体用品店购买了做 为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图 第 6页（共 24页） 请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即

9、分别求出购置钢笔、笔 记本的数量及对应的金额 23 （8 分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加 “青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统 计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题 周学习时间频数频率 0t150.05 1t2200.20 2t3a0.35 3t425m 4t5150.15 （1）求统计表中 a，m 的值 （2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数” 求甲同学的周学 习时间在哪个范围内 （3）已知该校学生约有 2000 人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少 于

10、3h 的人数 第 7页（共 24页） 24 （8 分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥， 它的底面圆直径 ED 与母线 AD 长之比为 1： 2制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 ABAC，ADBC将扇 形 AEF 围成圆锥时，AE，AF 恰好重合 （1）求这种加工材料的顶角BAC 的大小 （2） 若圆锥底面圆的直径 ED 为 5cm， 求加工材料剩余部分 （图中阴影部分） 的面积 （结 果保留） 25 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C：yax2+bx+c（a0）经过点（1，1） 和（4，1） （1）求抛物线 C 的对称轴 （2）当 a1 时，将抛物线 C 向左平移

11、 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到抛物线 C1 求抛物线 C1的解析式 设抛物线 C1与 x 轴交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 的右侧） ， 与 y 轴交于点 C， 连接 BC 点 D 为第一象限内抛物线 C1上一动点， 过点 D 作 DEOA 于点 E 设点 D 的横坐标为 m 是 否存在点 D，使得以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出 m 的值； 若不存在，请说明理由 第 8页（共 24页） 26 （10 分）如图，在 RtABC 中，点 P 为斜边 BC 上一动点，将ABP 沿直线 AP 折叠， 使得点 B 的对应点为 B，连接 AB，CB，BB

12、，PB （1）如图，若 PBAC，证明：PBAB （2）如图，若 ABAC，BP3PC，求 cosBAC 的值 （3）如图，若ACB30，是否存在点 P，使得 ABCB若存在，求此时? ? 的值；若不存在，请说明理由 第 9页（共 24页） 2021 年湖南省邵阳市中考数学试卷年湖南省邵阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）3 的相反数是（） A3

13、B0C3D 【解答】解：相反数指的是只有符号不同的两个数，因此3 的相反数为 3 故选：C 2 （3 分）下列四个图形中，是中心对称图形的是（） AB CD 【解答】解：A不是中心对称图形，故本选项不合题意； B不是中心对称图形，故本选项不合题意； C是中心对称图形，故本选项符合题意； D不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 3 （3 分） 2021 年我国首次发射探测器对火星进行探测 北京时间 2 月 10 日晚， “天问一号” 探测器在距离地球约 192000000km 处成功实施制动捕获，随后进入火星轨道用科学记 数法将 192000000 表示为 a108的形式，则 a 的值是

14、（） A0.192B1.92C19.2D192 【解答】解：1920000001.92108， 第 10页（共 24页） 故 a1.92， 故选：B 4 （3 分） 如图， 若数轴上两点 M， N 所对应的实数分别为 m，n， 则 m+n 的值可能是（） A2B1C1D2 【解答】解：M，N 所对应的实数分别为 m，n， 3m20n1， m+n 的值可能是2 故选：D 5 （3 分） 如图， 在AOB 中， AO1， BOAB? ? ? 将AOB 绕点 O 逆时针方向旋转 90， 得到AOB，连接 AA则线段 AA的长为（） A1B ?C? ? D? ? ? 【解答】解：由旋转性质可知，OAO

15、A1，AOA90， 则AOA为等腰直角三角形， AA? ?i ? i ? 故选：B 6 （3 分）其社区针对 5 月 30 日前该社区居民接种新冠疫苗的情况开展了问卷调查，共收 回 6000 份有效问卷经统计，制成如下数据表格 接种疫苗针数0123 人数210022801320300 小杰同学选择扇形统计图分析接种不同针数的居民人数所占总人数的百分比下面是制 作扇形统计图的步骤（顺序打乱） ： 计算各部分扇形的圆心角分别为 126，136.8，79.2，18 计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为 35%，38%，22%，5% 第 11页（共 24页） 在同一个圆中，根据所得的圆心

16、角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的 百分比 制作扇形统计图的步骤排序正确的是（） ABCD 【解答】解：由题意可知，小杰同学制作扇形统计图的步骤为： 先计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为 35%，38%，22%，5%； 再计算各部分扇形的圆心角分别为 126，136.8，79.2，18； 然后在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应 的百分比 故选：A 7 （3 分）下列数值不是不等式组 ?TX i h ?T X ? X i ?T ? ? ? X T 的整数解的是（） A2B1C0D1 【解答】解： ?TX i h ?TX ? X i

17、 ? T ? ? ? X T? ， 解不等式，得：xX ? ?， 解不等式，得：x1， 不等式组的解集为：X ? ? x1， 不等式组的整数解为1，0，1， 故选：A 8 （3 分）某天早晨 7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车 耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30 赶到了学校如图所示的函数图象反映了他 骑车上学的整个过程结合图象，判断下列结论正确的是（） 第 12页（共 24页） A小明修车花了 15min B小明家距离学校 1100m C小明修好车后花了 30min 到达学校 D小明修好车后骑行到学校的平均速度是 3m/s 【解答】解：A由横坐标看出，小明

18、修车时间为 20515(分钟)，故本选项符合题意； B由纵坐标看出，小明家学校离家的距离为 2100 米，故本选项不合题意； C由横坐标看出，小明修好车后花了 302010(min)到达学校，故本选项不合题意； D小明修好车后骑行到学校的平均速度是： （21001100）10100（米/分钟）? ? ? （m/s） ，故本选项不合题意； 故选：A 9 （3 分）如图，点 A，B，C 是O 上的三点若AOC90，BAC30，则AOB 的大小为（） A25B30C35D40 【解答】解：BAC 与BOC 所对弧为? ?， 由圆周角定理可知：BOC2BAC60， 又AOC90， AOBAOCBOC9

19、06030 故选：B 10（3 分） 在平面直角坐标系中， 若直线 yx+m 不经过第一象限， 则关于 x 的方程 mx2+x+1 第 13页（共 24页） 0 的实数根的个数为（） A0 个B1 个C2 个D1 或 2 个 【解答】解：直线 yx+m 不经过第一象限， m0, 当 m0 时，方程 mx2+x+10 是一次方程，有一个根， 当 m0 时， 关于 x 的方程 mx2+x+10, 124m0, 关于 x 的方程 mx2+x+10 有两个不相等的实数根， 故选：D 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3

20、 分）16 的算术平方根是4 【解答】解：4216， i? ?4 故答案为：4 12 （3 分）因式分解：xy2x3x(y+x)(yx) 【解答】解：xy2x3x(y2x2) x(y+x)(yx) 故答案为：x(y+x)(yx) 13 （3 分）如图，点 D，E，F 分别为ABC 三边的中点若ABC 的周长为 10，则DEF 的周长为5 【解答】解：D、E、F 分别是 AB、AC、BC 的中点， FD、FE、DE 为ABC 中位线， DF? i ?AC，FE? i ?AB，DE? i ?BC； DF+FE+DE? i ?AC? i ?AB? i ?BC? i ?（AB+AC+CB）? i ?

21、?105， 第 14页（共 24页） 故答案为：5 14 （3 分）已知点 A（1，y1） ，B（2，y2）为反比例函数 y? ? T图象上的两点，则 y1 与 y2的 大小关系是 y1y2 （填“” “”或“” ） 【解答】解：反比例函数 y? ? T中，k30， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小 A（1，y1） ，B（2，y2） ， 点 A、B 都在第一象限， 又 12， y1y2， 故答案为： 15 （3 分）如图，已知线段 AB 长为 4现按照以下步骤作图： 分别以点 A，B 为圆心，大于i ?AB 长为半径画弧，两弧分别相交于点 E，F

22、； 过 E，F 两点作直线，与线段 AB 相交于点 O 则 AO 的长为2 【解答】解：由基本作图方法可得：EF 垂直平分 AB, AB4, AO? i ?AB2 故答案为：2 16 （3 分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择 其中一条路径，则它遇到食物的概率是 i ? 第 15页（共 24页） 【解答】解：一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随 机的选择一条路径， 它有 6 种路径， 获得食物的有 2 种路径， 它遇到食物的概率是： ? ? ? i ? 故答案为：i ? 17 （3 分） 九章算术中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文

23、如下： 今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？ 意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出 8 钱，则多了 3 钱；如果每人出 7 钱， 则少了 4 钱问有多少人，物品的价值是多少？ 该问题中物品的价值是53钱 【解答】解：设有 x 人，物品的价值为 y 钱， 依题意，得： ? ? lT X ? ? ? 是T? ?， 解得： T ? 是 ? ? ?， 即该问题中物品的价值是 53 钱， 故答案为：53 18 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，DEAC，垂足为点 E若 sinADE? ? ?，AD4，则 AB 的长为3 第 16页（共 24页） 【解答】解：DEAC，

24、ADE+CAD90， ACD+CAD90， ACDADE， 矩形 ABCD 的对边 ABCD， BACACD， sinADE? ? ?， ? ? ? ? ?， AC? ? ? ? ? ? ? ? ?5， 由勾股定理得，AB?X ?X ?3， 故答案为：3 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 8 个小题，第个小题，第 1925 题每题题每题 8 分，第分，第 26 题题 10 分，共分，共 66 分分.解答应解答应 写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19 （8 分）计算： （2021）0| ? X2|tan60 【解答】解：原式1（2X?）X

25、? 12? X? 1 20 （8 分） 先化简， 再从1， 0， 1， 2， ? ?1 中选择一个合适的 x 的值代入求值 （1X T T?i） T?Xi T?T?i 【解答】解：原式? T?iXT T?i ? ?T?i? ?T?i?TXi? ? i TXi， 又x1， x 可以取 0，此时原式1； 第 17页（共 24页） x 可以取 2，此时原式1； x 可以取 ? ? i，此时原式? i ?iXi ? ? ? 21 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AECF连接 DE，DF，BE，BF （1）证明：ADEC

26、BF （2）若 AB4 ?，AE2，求四边形 BEDF 的周长 【解答】解； （1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：DAEBCF45， 在ADE 和CBF 中， ? ? ?h ? ?h ?h ? ?h ， ADECBF（SAS） （2）ABAD? ? ?， BD? ? ? ? ?8， 由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：ACBD8，DOBO4，OAOC4， 又 AECF2， OAAEOCCF, 即 OEOF422， 故四边形 BEDF 为菱形 DOE90， DE? h? ?2 ? 4DE? l ? 故四边形 BEDF 的周长为 8 ? 22 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周

27、年，某校计划举行“学党史感党恩”知识竞答活 第 18页（共 24页） 动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品采购员刘老师在某文体用品店购买了做 为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图 请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔 记本的数量及对应的金额 【解答】解：设钢笔购买了 x 支，笔记本购买了 y 本 由题意得： T ? ? ? ? ? ? i?T ? ? ? ? i?， 解得： T ? i? ? ? ?， 1515225（元） ，355175（元） ， 答：钢笔购买了 15 支共 225 元，笔记本购买了 35 本共

28、175 元 23 （8 分）为落实湖南省共青团“青年大学习”的号召，某校团委针对该校学生每周参加 “青年大学习”的时间（单位：h）进行了随机抽样调查，并将获得的数据绘制成如下统 计表和如图所示的统计图，请根据图表中的信息回答下列问题 周学习时间频数频率 0t150.05 1t2200.20 2t3a0.35 3t425m 4t5150.15 （1）求统计表中 a，m 的值 第 19页（共 24页） （2）甲同学说“我的周学习时间是此次抽样调查所得数据的中位数” 求甲同学的周学 习时间在哪个范围内 （3）已知该校学生约有 2000 人，试估计该校学生每周参加“青年大学习”的时间不少 于 3h 的

29、人数 【解答】解： （1）样本容量为 50.05100， a1000.3535，m251000.25； （2）一共有 100 个数据，其中位数是第 50、51 个数据的平均数，而这 2 个数据均落 在 2t3 范围内， 甲同学的周学习时间在 2t3 范围内； （3） 估计该校学生每周参加 “青年大学习” 的时间不少于 3h 的人数为 2000 （0.25+0.15） 800（人） 24 （8 分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥， 它的底面圆直径 ED 与母线 AD 长之比为 1： 2制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 ABAC，ADBC将扇 形 AEF 围成圆锥时，AE，AF

30、恰好重合 （1）求这种加工材料的顶角BAC 的大小 （2） 若圆锥底面圆的直径 ED 为 5cm， 求加工材料剩余部分 （图中阴影部分） 的面积 （结 果保留） 第 20页（共 24页） 【解答】解： （1）设BACn 由题意得DE? ? il? ,AD2DE, n90, BAC90 (2)AD2DE10(cm), S阴? i ?BCADS 扇形AEF? i ? ?1020X ?i? ? ?(10025)cm2 25 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C：yax2+bx+c（a0）经过点（1，1） 和（4，1） （1）求抛物线 C 的对称轴 （2）当 a1 时，将抛物线 C 向左平移

31、 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到抛物线 C1 求抛物线 C1的解析式 设抛物线 C1与 x 轴交于 A， B 两点 （点 A 在点 B 的右侧） ， 与 y 轴交于点 C， 连接 BC 点 D 为第一象限内抛物线 C1上一动点， 过点 D 作 DEOA 于点 E 设点 D 的横坐标为 m 是 否存在点 D，使得以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出 m 的值； 若不存在，请说明理由 第 21页（共 24页） 【解答】解： （1）点（1，1）和（4，1）的纵坐标相同， 故上述两点关于抛物线对称轴对称， 故抛物线的对称轴为直线 x? i ?（1+4）? ? ?； （

32、2）由题意得： X i ? 得 ? ? ? ? X i? ?得? ? ? ?，解得 得 ? ? ? ?X ?， 故原抛物线的表达式为 yx2+5x3； 由平移的性质得，平移后的抛物线表达式为 y（x+2）2+5（x+2）31x2+x+2； 存在，理由： 令 yx2+x+20，解得 x1 或 2，令 x0，则 y2， 故点 B、A 的坐标分别为（1,0） 、 （2,0） ，点 C（0,2） ； tanBCO? ? ? ? i ?， 同理可得：tanCBO2， 当以点 O，D，E 为顶点的三角形与BOC 相似时， 则 tanDOE2 或i ?， 设点 D 的坐标为（m，m2+m+2） ， 则 ta

33、nDOE? h ?h ? X? ? ?2 或i ?， 解得：m2（舍去）或 1 或iX ? ? （舍去）或i? ? ? ， 故 m1 或i? ? ? 第 22页（共 24页） 26 （10 分）如图，在 RtABC 中，点 P 为斜边 BC 上一动点，将ABP 沿直线 AP 折叠， 使得点 B 的对应点为 B，连接 AB，CB，BB，PB （1）如图，若 PBAC，证明：PBAB （2）如图，若 ABAC，BP3PC，求 cosBAC 的值 （3）如图，若ACB30，是否存在点 P，使得 ABCB若存在，求此时? ? 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）证明：PBAC，CAB90，

34、 PBAB BPABAP， 又由折叠可知BAPBAP， BPABAP 故 PBAB （2）设 ABACa，AC、PB交于点 D， 则ABC 为等腰直角三角形， BC?，PC? ? ? ?，PB? ? ? ? ?， 由折叠可知，PBAB45， 又ACB45， PBAACB， 又CDPBDA， CDPBDA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第 23页（共 24页） 设 BDb，则 CD? ? ? b ADACCDaX ? ? b， PDPBBDPBBD? ? ? ? ? Xb， 由? ? ? ? ? 得： ? ? ? ?X得 ?X ? ? 得 ? ? ? 解得：b? ?

35、 ? 是 ? 过点 D 作 DEAB于点 E，则BDE 为等腰直角三角形 BEsin45BD? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? 是 ? ? ? 是?， AEABBEABBEaX ? 是 ? ? ? 是? 又 ADACCDaX ? ? baX ? 是? ? ? 是 ? cosBACcosEAD? ?h ? ? ? 是? ? 是? ? ? ? （3）存在点 P，使得 CBABm ACB30，CAB90 BC2m 如答图 2 所示， 由题意可知，点 B的运动轨迹为以 A 为圆心、AB 为半径的半圆 A 当 P 为 BC 中点时，PCBPAPABm， 又B60， PAB 为等边三角形 又由折叠可得四边形 ABPB为菱形 PBAB， PBAC 又APAB， 则易知 AC 为 PB的垂直平分线 故 CBPCABm，满足题意 此时，? ? ? ? ? ? i ? 第 24页（共 24页） 当点 B落在 BC 上时，如答图 3 所示， 此时 CBABm， 则 PB? i ? X ? ? i ? ?， PCCB+PBa? i ? ? ? ? ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? 综上所述，? ?的值为 i ?或 ? ?