1、第 1页（共 22页） 2021 年湖南省湘西州中考数学试卷年湖南省湘西州中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，请将每个小题所给四个选项中唯分，请将每个小题所给四个选项中唯 一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1 （4 分）2021 的相反数是（） A1202B2021C ? ?tht D? ? tht? 2 （4 分）计算1+3 的结果是（） A2B2C4D4 3 （4 分）据悉，在 2021 年湘西州“三独”比赛中，某校 11 名参赛同学的成绩各不相同， 按照成绩
2、，取前 5 名进入决赛如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入 决赛，小红还需知道这 11 名同学成绩的（） A平均数B中位数C众数D方差 4 （4 分）下列计算结果正确的是（） A （a3）2a5B （bc）4（bc）2b2c2 Cab? ? ? ? ?t D1? ? ? ? t ? 5 （4 分）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（） ABCD 6 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EFCD，交 AD 于点 F，如果 EF 5.5，那么菱形 ABCD 的周长是（） A11B22C33D44 7 （4 分）如图，在ECD 中，C90，ABEC 于点
3、 B，AB1.2，EB1.6，BC12.4， 第 2页（共 22页） 则 CD 的长是（） A14B12.4C10.5D9.3 8 （4 分）如图，面积为 18 的正方形 ABCD 内接于O，则?t ?的长度为（ ） A9B? t C? t D? ? 9 （4 分）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了 一个解析式为 y? t ?的函数图象根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ） A图象与 x 轴没有交点 B当 x0 时，y0 C图象与 y 轴的交点是（0，? ? t） 第 3页（共 22页） Dy 随 x 的增大而减小 10 （4 分）已知点 M（x，y）在
4、第一象限，且 x+y12，点 A（10，0）在 x 轴上，当OMA 为直角三角形时，点 M 的坐标为（） A （10，2） ， （8，4）或（6，6）B （8，4） ， （9，3）或（5，7） C （8，4） ， （9，3）或（10，2）D （10，2） ， （9，3）或（7，5） 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，请将正确答案填写在答题卡相应的请将正确答案填写在答题卡相应的 横线上）横线上） 11 （4 分） （? ? t） 2 12 （4 分）北京时间 2021 年 2 月 10 日 19 时 52 分，中国首次火星探测任务“天问
5、一号” 探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约 400000m，成为我国第一颗人造火 星卫星其中，400000 用科学记数法可以表示为 13 （4 分）因式分解：a22a 14 （ 4 分 ） 若 二 次 根 式t? ? 在 实 数 范 围 内 有 意 义 ， 则 x 的 取 值 范 围 是 15 （4 分）实数 m，n 是一元二次方程 x23x+20 的两个根，则多项式 mnmn 的值 为 16 （4 分）若式子 t ?t ?1 的值为零，则 y 17 （4 分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB、CD，若 CD BE，120，则2 的度数是 18 （4 分
6、）古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，这样的数叫做三角形数，因为它的规 律性可以用如图表示根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为 a11，第二个图 形 表 示 的 三 角 形 数 记 为 a2 3 ， ， 则 第 n 个 图 形 表 示 的 三 角 形 数 an .（用含 n 的式子表达） 第 4页（共 22页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 78 分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、 解答或证明的主要步骤）解答或证明的主要步骤） 19 （6 分）计算： （2）0? ?|5|+4sin45 2
7、0 （8 分）解不等式组： ?）? ?式? ? ? t? ? ? t ?，并在数轴上表示它的解集 21 （8 分）如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，CBCD，将边 CA 绕点 C 旋转到 CE 的 位置，使得ECADCB，连接 DE 与 AC 交于点 F，且B70，A10 （1）求证：ABED； （2）求AFE 的度数 22 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园 主题庆祝活动 （活动代号如下表） ， 要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目 为此， 学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查根据统计的数据，绘制了如图所 示的条形统计
8、图和扇形统计图（部分信息未给出） （1）该校此次调查共抽取了名学生； （2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据） ； （3）若该校共有 2000 名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈 活动 活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文 活动代号ABCDE 第 5页（共 22页） 23 （10 分）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来一座楼阁镇四方，团结一心建家 乡1987 年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三 层楼高的“一心阁”民族团结楼阁芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH 的 高度，在楼前的平地上 A 处，观测到楼顶 C 处的仰角为 30，
9、在平地上 B 处观测到楼顶 C 处的仰角为 45，并测得 A、B 两处相距 20m，求“一心阁”CH 的高度 （结果保留 小数点后一位，参考数据： t ?1.41， ? ?1.73） 24 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂 足为 D （1）求证：AC 平分DAB； （2）若 AD8，tanCAB? ? ?，求：边 AC 及 AB 的长 25 （12 分）2020 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大网络 第 6页（共 22页） 教师小李抓住时机， 开始组建团队， 制作面向 A、 B 两个不同需求学生群体的微课视频
10、 已 知制作 3 个 A 类微课和 5 个 B 类微课需要 4600 元成本，制作 5 个 A 类微课和 10 个 B 类 微课需要 8500 元成本李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个 A 类微课售 价 1500 元， 每个 B 类微课售价 1000 元 该团队每天可以制作 1 个 A 类微课或者 1.5 个 B 类微课，且团队每月制作的 B 类微课数不少于 A 类微课数的 2 倍（注：每月制作的 A、B 两类微课的个数均为整数） 假设团队每月有 22 天制作微课，其中制作 A 类微课 a 天， 制作 A、B 两类微课的月利润为 w 元 （1）求团队制作一个 A 类微课和一个 B
11、类微课的成本分别是多少元？ （2）求 w 与 a 之间的函数关系式，并写出 a 的取值范围； （3）每月制作 A 类微课多少个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是多少元？ 26 （16 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+4 经过 A（1，0） ，B（4，0）两点，交 y 轴于 点 C （1）求抛物线的解析式； （2）连接 BC，求直线 BC 的解析式； （3）请在抛物线的对称轴上找一点 P，使 AP+PC 的值最小，求点 P 的坐标，并求出此 时 AP+PC 的最小值； （4）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以 A、C、M、N 四点为 顶点的四边形是平行四边形
12、？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7页（共 22页） 2021 年湖南省湘西州中考数学试卷年湖南省湘西州中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，请将每个小题所给四个选项中唯分，请将每个小题所给四个选项中唯 一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上） 1 （4 分）2021 的相反数是（） A1202B2021C ? ?tht D? ? tht? 【解答】解：绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数 根据相反数的定义，则
13、2021 的相反数为2021 故选：B 2 （4 分）计算1+3 的结果是（） A2B2C4D4 【解答】解：1+3+（31）2， 故选：A 3 （4 分）据悉，在 2021 年湘西州“三独”比赛中，某校 11 名参赛同学的成绩各不相同， 按照成绩，取前 5 名进入决赛如果小红知道了自己的比赛成绩，要判断自己能否进入 决赛，小红还需知道这 11 名同学成绩的（） A平均数B中位数C众数D方差 【解答】解：11 个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有 6 个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了 故选：B 4 （4 分）下列计算结果正确的是（） A （a3）2
14、a5B （bc）4（bc）2b2c2 Cab? ? ? ? ?t D1? ? ? ? t ? 【解答】解：A、 （a3）2a6，故此选项不符合题意； B、 （bc）4（bc）2（bc）2b2c2，故此选项不符合题意； C、ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?t，正确，故此选项符合题意； D、1? ? ? ? ? ? ，故此选项不符合题意； 故选：C 第 8页（共 22页） 5 （4 分）工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（） ABCD 【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆 故选：B 6 （4 分）如图，在菱形 ABCD 中，E 是 AC 的中点，EFCD，交
15、AD 于点 F，如果 EF 5.5，那么菱形 ABCD 的周长是（） A11B22C33D44 【解答】解：点 E 是 AC 的中点， AEEC? ? tAC， EFCD， AEFACD， ? ?t ? ? t?， CD2EF11， 四边形 ABCD 是菱形， ABBCCDAD， 菱形 ABCD 的周长41144， 故选：D 7 （4 分）如图，在ECD 中，C90，ABEC 于点 B，AB1.2，EB1.6，BC12.4， 则 CD 的长是（） 第 9页（共 22页） A14B12.4C10.5D9.3 【解答】解：EB1.6，BC12.4， ECEB+BC14， ABEC， ABE90，
16、C90， ABEC， 又EE， ABEDCE， t? t? ? ?t ?t， 即?tt t? ? ?th ?， 解得：CD10.5， 故选：C 8 （4 分）如图，面积为 18 的正方形 ABCD 内接于O，则?t ?的长度为（ ） A9B? t C? t D? ? 【解答】解：如图 第 10页（共 22页） 连接 OA，OB， 四边形 ABCD 是正方形， OAOB，AOB90， OAB 是等腰直角三角形， 正方形 ABCD 的面积是 18， AB? ?3 t， OAOB3， 弧 AB 的长 L? ? ?h ? ?h? ?h ? ? t ， 故选：C 9 （4 分）如图所示，小英同学根据学习
17、函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了 一个解析式为 y? t ?的函数图象根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ） A图象与 x 轴没有交点 B当 x0 时，y0 第 11页（共 22页） C图象与 y 轴的交点是（0，? ? t） Dy 随 x 的增大而减小 【解答】解：A由图象可知，图象与 x 轴没有交点，故说法正确； B由图象可知，当 0 x1 时，y0，当 x1 时，y0，故说法错误； C当 x0 时，函数值为2，故图象与 y 轴的交点是（0，2） ，故说法错误； D当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故说法错误 故选：A 10 （
18、4 分）已知点 M（x，y）在第一象限，且 x+y12，点 A（10，0）在 x 轴上，当OMA 为直角三角形时，点 M 的坐标为（） A （10，2） ， （8，4）或（6，6）B （8，4） ， （9，3）或（5，7） C （8，4） ， （9，3）或（10，2）D （10，2） ， （9，3）或（7，5） 【解答】解：分情况讨论： 若 O 为直角顶点，则点 M 在 y 轴上，不合题意舍去； 若 A 为直角顶点，则 MAx 轴， 点 M 的横坐标为 10， 把 x10 代入 yx+12 中，得 y2， 点 M 坐标（10，2） ； 若 M 为直角顶点，可得OMBMAB ?t ?t ? ?t
19、 ?t， MB2OBAB （x+12）2x（10 x） 解得 x8 或 9， 点 M 坐标（8，4）或（9，3） 当OMA 为直角三角形时，点 M 的坐标为（10，2） 、 （8，4） 、 （9，3） ， 第 12页（共 22页） 故选：C 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，请将正确答案填写在答题卡相应的请将正确答案填写在答题卡相应的 横线上）横线上） 11 （4 分） （? ? t） 2 ? ? 【解答】解： （? ? t） 2? ? 故答案为：? ? 12 （4 分）北京时间 2021 年 2 月 10 日 19 时 52 分，中
20、国首次火星探测任务“天问一号” 探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约 400000m，成为我国第一颗人造火 星卫星其中，400000 用科学记数法可以表示为4105 【解答】解：4000004105 故答案为：4105 13 （4 分）因式分解：a22aa（a2） 【解答】解：a22aa（a2） 故答案为：a（a2） 14 （4 分）若二次根式 t? ?在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是x? ? t 【解答】解：根据题意得：2x10， x? ? t 故答案为：x? ? t 15 （4 分）实数 m，n 是一元二次方程 x23x+20 的两个根，则多项式 mnmn 的值为 1 【
21、解答】解：实数 m，n 是一元二次方程 x23x+20 的两个根，a1，b3，c2， m+n? ? ? ?3，mn? ? ? ?2， mnmnmn（m+n）231 故答案为：1 16 （4 分）若式子 t ?t ?1 的值为零，则 y0 【解答】解：由题意得： t ?t ?10 第 13页（共 22页） t ?t ?1 y22 y0 当 y0 时，y20 该分式方程的解为 y0 17 （4 分）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 AB、CD，若 CD BE，120，则2 的度数是40 【解答】解：如图 分别延长 EB、DB 到 F，G， 由于纸带对边平行， 1420， 纸带
22、翻折， 3420， DBF3+440， CDBE， 2DBF40 故答案为：40 18 （4 分）古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，这样的数叫做三角形数，因为它的规 律性可以用如图表示根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为 a11，第二个图 第 14页（共 22页） 形表示的三角形数记为 a23，则第 n 个图形表示的三角形数 an ?）?式 t .（用 含 n 的式子表达） 【解答】解：第 1 个图形表示的三角形数为 1， 第 2 个图形表示的三角形数为 1+23， 第 3 个图形表示的三角形数为 1+2+36， 第 4 个图形表示的三角形数为 1+2+3+410， . 第
23、n 个图形表示的三角形数为 1+2+3+4+.+（n1）+n? ?）?式 t 故答案为：?）?式 t 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 78 分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、 解答或证明的主要步骤）解答或证明的主要步骤） 19 （6 分）计算： （2）0? ?|5|+4sin45 【解答】解：原式12 t ?5+4 t t ?12 t ?5+2 t ?4 20 （8 分）解不等式组： ?）? ?式? ? ? t? ? ? t ?，并在数轴上表示它的解集 【解答】解：解不等式，得 x ? t， 解不等式，得
24、x1， 在数轴上表示不等式的解集为： ， 所以不等式组无解 21 （8 分）如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，CBCD，将边 CA 绕点 C 旋转到 CE 的 位置，使得ECADCB，连接 DE 与 AC 交于点 F，且B70，A10 第 15页（共 22页） （1）求证：ABED； （2）求AFE 的度数 【解答】 （1）证明：ECADCB， ECA+ACDDCB+ACD， 即ECDBCA， 由旋转可得 CACE， 在BCA 和DCE 中， tt ? t? ?tt? ? ?t? ?t ? ?t ， BCADCE（SAS） ABED （2）由（1）中结论可得CDEB70， 又 CBC
25、D， BCDB70， EDA180BDE18070240， AFEEDA+A40+1050 22 （8 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园 主题庆祝活动 （活动代号如下表） ， 要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目 为此， 学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查根据统计的数据，绘制了如图所 示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出） （1）该校此次调查共抽取了50名学生； （2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据） ； （3）若该校共有 2000 名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈 活动 第 16页（共 22页
26、） 活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文 活动代号ABCDE 【解答】解： （1）该校此次调查共抽取的学生数为：1020%50（名） ， 故答案为：50； （2）C 舞蹈人数为：5081012146（名） ， 补全条形统计图如下： （3）2000 h ?h ?240（名） ， 答：估计该校有 240 名学生参加舞蹈活动 23 （10 分）有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来一座楼阁镇四方，团结一心建家 乡1987 年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三 层楼高的“一心阁”民族团结楼阁芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH 的 高度，在楼前的平地上 A 处，观测到楼
27、顶 C 处的仰角为 30，在平地上 B 处观测到楼顶 C 处的仰角为 45，并测得 A、B 两处相距 20m，求“一心阁”CH 的高度 （结果保留 小数点后一位，参考数据： t ?1.41， ? ?1.73） 第 17页（共 22页） 【解答】解：设 CH 为 xm， 由题意得：AHC90，CBH45，A30， BHCHxm，AH?CH?xm， AHBHAB， ?xx20， 解得：x10（ ? ?1）27.3（m） ， 答： “一心阁”CH 的高度约为 27.3m 24 （10 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂 足为 D （1）求证：AC 平
28、分DAB； （2）若 AD8，tanCAB? ? ?，求：边 AC 及 AB 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图， CD 为O 的切线， OCCD， ADCD， OCAD， DACOCA， OAOC， OACOCA， 第 18页（共 22页） DACOAC， AC 平分DAB； （2）解：连接 BC，如图， DACOAC， tanDACtanCAB? ? ?， 在 RtDAC 中，tanDAC? t? ? ? ? ?， CD? ? ? ?86， AC?t?t? ?t?ht? ?t?10， AB 为直径， ACB90， tanCAB? tt ?t ? ? ?， BC? ? ? ?10?
29、 ? t ， AB?） ? t 式t? ?ht? t? t 25 （12 分）2020 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大网络 教师小李抓住时机， 开始组建团队， 制作面向 A、 B 两个不同需求学生群体的微课视频 已 知制作 3 个 A 类微课和 5 个 B 类微课需要 4600 元成本，制作 5 个 A 类微课和 10 个 B 类 微课需要 8500 元成本李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个 A 类微课售 价 1500 元， 每个 B 类微课售价 1000 元 该团队每天可以制作 1 个 A 类微课或者 1.5 个 B 类微课，且团队每月制作的 B 类微
30、课数不少于 A 类微课数的 2 倍（注：每月制作的 A、B 两类微课的个数均为整数） 假设团队每月有 22 天制作微课，其中制作 A 类微课 a 天， 制作 A、B 两类微课的月利润为 w 元 （1）求团队制作一个 A 类微课和一个 B 类微课的成本分别是多少元？ 第 19页（共 22页） （2）求 w 与 a 之间的函数关系式，并写出 a 的取值范围； （3）每月制作 A 类微课多少个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是多少元？ 【解答】解： （1）设团队制作一个 A 类微课的成本为 x 元，制作一个 B 类微课的成本为 y 元，根据题意得： ? ? ? ?hhh ? ?h? ? ?hh，
31、 解得 ? ? hhh ? ? ?hh， 答：团队制作一个 A 类微课的成本为 700 元，制作一个 B 类微课的成本为 500 元； （2）由题意，得 w（1500700）a+（1000500）1.5（22a）50a+16500； 1.5（22a）2a， 又每月制作的 A、B 两类微课的个数均为整数， a 为偶数， 解得 a8， 0a8（且 a 为偶数） ； （3）由（2）得 w50a+16500， 50， w 随 a 的增大而增大， 当 a8 时，w 有最大值，w最大508+1650016900（元） 答：每月制作 A 类微课 8 个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是 16900 元
32、26 （16 分）如图，已知抛物线 yax2+bx+4 经过 A（1，0） ，B（4，0）两点，交 y 轴于 点 C （1）求抛物线的解析式； （2）连接 BC，求直线 BC 的解析式； （3）请在抛物线的对称轴上找一点 P，使 AP+PC 的值最小，求点 P 的坐标，并求出此 时 AP+PC 的最小值； （4）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使得以 A、C、M、N 四点为 顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 第 20页（共 22页） 【解答】解： （1）把 A（1，0） ，B（4，0）代入 yax2+bx+4，得到 ? ? ?
33、? ? ? h ?h? ? ? ? ? h， 解得 ? ? ? ? ? ? ， yx2+3x+4 （2）设 BC 的解析式为 ykx+b， B（4，0） ，C（0，4） ， ? ? ? ?a? ? ? h， a ? ? ? ? ? ， 直线 BC 的解析式为 yx+4 （3）如图 1 中， 第 21页（共 22页） 由题意 A，B 关于抛物线的对称轴直线 x? ? t对称， 连接 BC 交直线 x? ? t于点 P，连接 PA，此时 PA+PC 的值最小，最小值为线段 BC 的长 ?t? ?t?4 t， 此时 P（? t， ? t） （4）如图 2 中，存在 观察图象可知，满足条件的点 N 的纵坐标为 4 或4， 对于抛物线 yx2+3x+4，当 y4 时，x23x0，解得 x0 或 3， 第 22页（共 22页） N1（3，4） 当 y4 时，x23x80，解得 x? ? ? t ， N2（? ? t ，4） ，N3（? ? t ，4） ， 综上所述，满足条件的点 N 的坐标为（3，4）或（? ? t ，4）或（? ? t ，4）
