1、第 1页（共 30页） 2021 年山东省济南市中考数学试卷年山东省济南市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的。 ） 1 （4 分）9 的算术平方根是（） A3B3C3D ? 2 （4 分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（） AB CD 3 （4 分）2021 年 5 月 15 日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆火星具有和地球 相近的环境，与地球最近时候的距离约 55000000km将数字
2、 55000000 用科学记数法表 示为（） A0.55108B5.5107C5.5106D55106 4 （4 分）如图，ABCD，A30，DA 平分CDE，则DEB 的度数为（） A45B60C75D80 5 （4 分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （） AB 第 2页（共 30页） CD 6 （4 分）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（） Aa+b0BabCab0Dba 7 （4 分）计算 ? ?th t ?th ?th 的结果是（） Am+1Bm1Cm2Dm2 8 （4 分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，
3、成立了“垃圾分类” “文明出行” “低 碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好 选到同一个宣传队的概率是（） Ah ? Bh ? Ch ? D? ? 9 （4 分）反比例函数 y? ? ?（k0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数 y kxk 的图象大致是（） ABCD 10 （4 分）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测如图，某农业特色品牌示范基 地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为 135m 的 A 处测得试验田右 侧边界 N 处俯角为 43，无人机垂直下降 40m 至 B 处，又测得试验田左侧边界 M 处俯 角为 35
4、， 则 M， N 之间的距离为 （）（参考数据： tan430.9， sin430.7， cos35 0.8，tan350.7，结果保留整数） 第 3页（共 30页） A188mB269mC286mD312m 11 （4 分）如图，在ABC 中，ABC90，C30，以点 A 为圆心，以 AB 的长为 半径作弧交 AC 于点 D，连接 BD，再分别以点 B，D 为圆心，大于h ?BD 的长为半径作弧， 两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，连接 DE，则下列结论中不正确的是（） ABEDEBDE 垂直平分线段 AC C? ?t? ? ? ? DBD2BCBE 12 （4 分）新定义：
5、在平面直角坐标系中，对于点 P（m，n）和点 P（m，n） ，若满足 m0 时，nn4；m0 时，nn，则称点 P（m，n）是点 P（m，n）的限 变点例如：点 P1（2，5）的限变点是 P1（2，1） ，点 P2（2，3）的限变点是 P2 （2，3） 若点 P（m，n）在二次函数 yx2+4x+2 的图象上，则当1m3 时， 其限变点 P的纵坐标 n的取值范围是（） A2n2B1n3C1n2D2n3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，直接填写答案）分，直接填写答案） 13 （4 分）因式分解：a29 14 （4 分）如图，
6、在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若将飞镖随机投掷到圆 面上，则飞镖落在黑色区域的概率是 15（4分） 如图， 正方形 AMNP的边 AM 在正五边形 ABCDE的边AB上， 则PAE 第 4页（共 30页） 16 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+xa0 的一个根是 2，则另一个根是 17 （4 分）漏刻是我国古代的一种计时工具据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻， 这是中国古代人民对函数思想的创造性应用小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单 的漏刻计时工具模型，研究中发现水位 h（cm）是时间 t（min）的一次函数，如表是小 明记录的部分数据，其中有一个 h 的值记录错误，
7、请排除后利用正确的数据确定当 h 为 8cm 时，对应的时间 t 为min t（min）1235 h（cm）2.42.83.44 18 （4 分）如图，一个由 8 个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四 周的直角顶点 M，N，O，P，Q 都在矩形 ABCD 的边上，若 8 个小正方形的面积均为 1， 则边 AB 的长为 第 5页（共 30页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分分.答应写出文字说明证明过程或演算步骤）答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 19 （6 分）计算：? h ? ?th? ? t h? ? t ? t ? 20
8、 （6 分）解不等式组： ?t h? ? ?t ?，? ? ? ? ，? 并写出它的所有整数解 21 （6 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD 和 CD 上的点，且ABE CBF求证：DEDF 22 （8 分）为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型 社区”活动志愿者随机抽取了社区内 50 名居民，对其 5 月份方便筷使用数量进行了调 查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 方便筷使用数量在 5x15 范围内的数据： 5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7 不完整的统计图表：
9、 方便筷使用数量统计表 组别使用数量 （双） 频数 A0 x514 B5x10 C10 x 第 6页（共 30页） 15 D15x 20 a Ex2010 合计50 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的 a； （2）统计图中 E 组对应扇形的圆心角为度； （3）C 组数据的众数是；调查的 50 名居民 5 月份使用方便筷数量的中位数 是； （4）根据调查结果，请你估计该社区 2000 名居民 5 月份使用方便筷数量不少于 15 双的 人数 23 （8 分）已知：如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上两点，过点 C 的切线交 DA 的 延长线于点 E，DECE，连接 CD，BC （
10、1）求证：DAB2ABC； （2）若 tanADC? h ?，BC4，求O 的半径 第 7页（共 30页） 24 （10 分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味 的粽子已知购进甲种粽子的金额是 1200 元，购进乙种粽子的金额是 800 元，购进甲种 粽子的数量比乙种粽子的数量少 50 个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的 2 倍 （1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共 200 个，若总金额不超 过 1150 元，问最多购进多少个甲种粽子？ 25 （10 分）如图，直线 y? ? ? ? 与双曲线 y
11、? ? ?（k0）交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（m， 3） ， 点 C 是双曲线第一象限分支上的一点， 连接 BC 并延长交 x 轴于点 D， 且 BC2CD （1）求 k 的值并直接写出点 B 的坐标； （2）点 G 是 y 轴上的动点，连接 GB，GC，求 GB+GC 的最小值； （3）P 是坐标轴上的点，Q 是平面内一点，是否存在点 P，Q，使得四边形 ABPQ 是 矩形？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 26 （12 分）在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 在边 BC 上，BD? h ?BC，将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转至 DE，记
12、旋转角为，连接 BE，CE，以 CE 为斜边在其一侧作等 腰直角三角形 CEF，连接 AF 第 8页（共 30页） （1）如图 1，当180时，请直接写出线段 AF 与线段 BE 的数量关系； （2）当 0180时， 如图 2， （1）中线段 AF 与线段 BE 的数量关系是否仍然成立？请说明理由； 如图 3，当 B，E，F 三点共线时，连接 AE，判断四边形 AECF 的形状，并说明理由 27 （12 分）抛物线 yax2+bx+3 过点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，顶点为 C （1）求抛物线的表达式及点 C 的坐标； （2）如图 1，点 P 在抛物线上，连接 CP 并延长交 x 轴
13、于点 D，连接 AC，若DAC 是 以 AC 为底的等腰三角形，求点 P 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，点 E 是线段 AC 上（与点 A，C 不重合）的动点，连接 PE，作PEFCAB，边 EF 交 x 轴于点 F，设点 F 的横坐标为 m，求 m 的取值范围 第 9页（共 30页） 2021 年山东省济南市中考数学试卷年山东省济南市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项
14、是符合题目要求的。 ） 1 （4 分）9 的算术平方根是（） A3B3C3D ? 【解答】解：329， 9 的算术平方根是 3 故选：A 2 （4 分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（） AB CD 【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此 A 不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此 B 不符合题意； 正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项 C 符合题意； 三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此 D 不符合题意； 故选：C 3 （4 分）2021 年 5 月 15 日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆火星具有和地球 相近的环境，与地球最近时候的
15、距离约 55000000km将数字 55000000 用科学记数法表 示为（） A0.55108B5.5107C5.5106D55106 【解答】解：将 55000000 用科学记数法表示为 5.5107 故选：B 4 （4 分）如图，ABCD，A30，DA 平分CDE，则DEB 的度数为（） 第 10页（共 30页） A45B60C75D80 【解答】解：ABCD，A30， ADCA30，CDEDEB， DA 平分CDE， CDE2ADC60， DEB60 故选：B 5 （4 分）以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （） AB CD 【解答】解：A是轴对称
16、图形，又是中心对形，符合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意 故选：A 6 （4 分）实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（） Aa+b0BabCab0Dba 【解答】解：b0a，且|b|a| 第 11页（共 30页） a+b0，选项 A 错误； ab，选项 B 正确； ab0，选项 C 错误； ba，选项 D 错误； 故选：B 7 （4 分）计算 ? ?th t ?th ?th 的结果是（） Am+1Bm1Cm2Dm2 【解答】解：原式? ?t?th
17、? ?th ? ?t?h ?th ? ?th? ?th ?m1 故选：B 8 （4 分）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类” “文明出行” “低 碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好 选到同一个宣传队的概率是（） Ah ? Bh ? Ch ? D? ? 【解答】解：把“垃圾分类” “文明出行” “低碳环保”三个宣传队分别记为 A、B、C， 画树状图如下： 共有 9 种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有 3 种， 小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为? ? ? h ?， 故选：C 9 （4 分）反比例函数 y? ?
18、?（k0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数 y kxk 的图象大致是（） ABCD 第 12页（共 30页） 【解答】解：反比例函数 y? ? ?（k0）图象的两个分支分别位于第一、三象限， k0， k0， 一次函数 ykxk 的图象图象经过第一、三、四象限， 故选：D 10 （4 分）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测如图，某农业特色品牌示范基 地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为 135m 的 A 处测得试验田右 侧边界 N 处俯角为 43，无人机垂直下降 40m 至 B 处，又测得试验田左侧边界 M 处俯 角为 35， 则 M， N 之间的距离为 （）
19、（参考数据： tan430.9， sin430.7， cos35 0.8，tan350.7，结果保留整数） A188mB269mC286mD312m 【解答】解：由题意得：N43，M35，AO135m，BOAOAB95m， 在 RtAON 中， tanN? ? ? ?tan43， NO? ? ? ?150m， 在 RtBOM 中， tanM? t? ? ?tan35， MO? t? ? ?135.7（m） ， MNMO+NO135.7+150286（m） 故选：C 11 （4 分）如图，在ABC 中，ABC90，C30，以点 A 为圆心，以 AB 的长为 半径作弧交 AC 于点 D，连接 BD
20、，再分别以点 B，D 为圆心，大于h ?BD 的长为半径作弧， 两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，连接 DE，则下列结论中不正确的是（） 第 13页（共 30页） ABEDEBDE 垂直平分线段 AC C? ?t? ? ? ? DBD2BCBE 【解答】解：由题意可得ABC90，C30，ABAD，AP 为 BD 的垂直平分线， BEDE， BAEDAE30， AEC 是等腰三角形， ABAD，AC2AB， 点 D 为 AC 的中点， DE 垂直平分线段 AC， 故选项 A，B 正确，不符合题意； 在ABC 和EDC 中，CC，ABCEDC90， ABCEDC， ?t ? ? ?
21、 ? ? t? ?， t? ? ? ali? ? ? ? ，DC? h ?， t? ? ?， ?t? ? ? ? ?， ? ?t? ? h ?，故选项 C 错误，符合题意； 在ABD 中，ABAD，BAD60， ABD 是等边三角形， ABDADB60， DBEBDE30， 在BED 和BDC 中，DBCEBD30，BDEC30， 第 14页（共 30页） BEDBDC， t? t? ? t? t?， BD2BCBE，故选项 D 正确，不符合题意 故选：C 12 （4 分）新定义：在平面直角坐标系中，对于点 P（m，n）和点 P（m，n） ，若满足 m0 时，nn4；m0 时，nn，则称点 P
22、（m，n）是点 P（m，n）的限 变点例如：点 P1（2，5）的限变点是 P1（2，1） ，点 P2（2，3）的限变点是 P2 （2，3） 若点 P（m，n）在二次函数 yx2+4x+2 的图象上，则当1m3 时， 其限变点 P的纵坐标 n的取值范围是（） A2n2B1n3C1n2D2n3 【解答】解：由题意可知， 当 m0 时，nm2+4m+24（m2）2+2， 当 0m3 时，2n2， 当 m0 时，nm24m2（m2）26， 当1m0 时，2n3， 综上，当1m3 时，其限变点 P的纵坐标 n的取值范围是2n3， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小
23、题，每小题 4 分，共分，共 24 分，直接填写答案）分，直接填写答案） 13 （4 分）因式分解：a29（a+3） （a3） 【解答】解：a29（a+3） （a3） 14 （4 分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若将飞镖随机投掷到圆 面上，则飞镖落在黑色区域的概率是 h ? 【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其 中黑色区域的面积占了其中的四等份， 所以 P（飞镖落在黑色区域）? ? ? ? h ? 第 15页（共 30页） 故答案为：h ? 15（4分） 如图， 正方形 AMNP的边 AM 在正五边形 ABCDE的边AB上， 则PAE
24、18 【解答】解：五边形 ABCDE 为正五边形， EAB? ?t?h? ? ?108， 四边形 AMNP 为正方形， PAM90， PAEEABPAM1089018 故答案为：18 16 （4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+xa0 的一个根是 2，则另一个根是3 【解答】解：设另一个根为 m，由根与系数之间的关系得， m+21， m3， 故答案为3， 17 （4 分）漏刻是我国古代的一种计时工具据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻， 这是中国古代人民对函数思想的创造性应用小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单 的漏刻计时工具模型，研究中发现水位 h（cm）是时间 t（min）的一次函数，
25、如表是小 明记录的部分数据，其中有一个 h 的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当 h 为 8cm 时，对应的时间 t 为15min t（min）1235 h（cm）2.42.83.44 第 16页（共 30页） 【解答】解：设一次函数的表达式为 hkt+b，t 每增加一个单位 h 增加或减少 k 个单位， 由表可知，当 t3 时，h 的值记录错误 将（1，2.4） （2，2.8）代入得， ?代? ? ? ? ? ?代? ? ? ?， 解得 k0.4，b2， h0.4t+2， 将 h8 代入得，t15 故答案为：15 18 （4 分）如图，一个由 8 个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一
26、个矩形框内，模板四 周的直角顶点 M，N，O，P，Q 都在矩形 ABCD 的边上，若 8 个小正方形的面积均为 1， 则边 AB 的长为 ? h? h? 【解答】解：如下图所示，连接 EG，则OEP90， 第 17页（共 30页） 由题意得，小正方形的边长为 1， OP? ? ?h?， 四边形 ABCD 是矩形， BCA90，MQP90， BMQCQP90MQP， 同理EPOCQP90QPC， BMQEPO， 又OEPB90， OEPQBM， ? ?t ? ? t? ? ? ? ? h? ? ， BM? ? h? ? ? ? h? ? ? ? h? h? ，QB? ? h? ? ? ? h?
27、? ? h? h? h? ， BA90，NMQ90， BMQANM90AMN， 在QBM 和MAN 中， ? ?t ?t? ? ? ? ? ? ? ? ， QBMMAN（AAS） ， AMQB? h? h? h? ， ABBM+AM? ? h? h? ? h? h? h? ? ? h? h? 故答案为：? h? h? 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分分.答应写出文字说明证明过程或演算步骤）答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 第 18页（共 30页） 19 （6 分）计算：? h ? ?th? ? t h? ? t ? t ? 【解答】解：? h ?
28、 th ? ? t h? ? t ? t ? 4+1+321 82 6 20 （6 分）解不等式组： ?t h? ? ?t ?，? ? ? ? ，? 并写出它的所有整数解 【解答】解：解不等式，得 x2， 解不等式，得 x1， 不等式组的解集为2x1， 不等式组的整数解有2、1、0 21 （6 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是边 AD 和 CD 上的点，且ABE CBF求证：DEDF 【解答】证明：四边形 ABCD 是菱形， ADCD，ABBC，AC， 又ABECBF， ABECBF（ASA） ， AECF， ADAECDCF， DEDF 22 （8 分）为倡导绿色健康节约
29、的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型 社区”活动志愿者随机抽取了社区内 50 名居民，对其 5 月份方便筷使用数量进行了调 查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表： 方便筷使用数量在 5x15 范围内的数据： 5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7 不完整的统计图表： 第 19页（共 30页） 方便筷使用数量统计表 组别使用数量 （双） 频数 A0 x514 B5x10 C10 x 15 D15x 20 a Ex2010 合计50 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的 a9； （2）统计图中 E 组对应扇形
30、的圆心角为72度； （3）C 组数据的众数是12；调查的 50 名居民 5 月份使用方便筷数量的中位数是 10； （4）根据调查结果，请你估计该社区 2000 名居民 5 月份使用方便筷数量不少于 15 双的 人数 【解答】解： （1）方便筷使用数量在 5x15 范围内的数据有 17 个， a501417109， 故答案为：9； （2）360 h? ? ?72， 第 20页（共 30页） 故答案为：72； （3） 将方便筷使用数量在 10 x15 范围内的数据按从小到大的顺序排列为 10， 10， 11， 12，12，12，13， 由上述数据可得 C 组数据的众数是 12， B 组的频数是 1
31、0，C 组的频数为 7，D 组的频数为 9， 第 25，26 个数均为 10， 调查的 50 名居民 5 月份使用方便筷数量的中位数是h?h? ? ?10 故答案为：12，10； （4）2000 h? ? ?760（人） ， 答：估计该社区 2000 名居民 5 月份使用方便筷数量不少于 15 双的人数为 760 人 23 （8 分）已知：如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上两点，过点 C 的切线交 DA 的 延长线于点 E，DECE，连接 CD，BC （1）求证：DAB2ABC； （2）若 tanADC? h ?，BC4，求O 的半径 【解答】 （1）证明：连接 OC， EC 是O 的
32、切线， OCCE， DECE， OCDE， DABAOC， 由圆周角定理得：AOC2ABC， 第 21页（共 30页） DAB2ABC； （2）解：连接 AC， AB 是O 的直径， ACB90， 由圆周角定理得：ABCADC， tanABCtanADC? h ?，即 ? t? ? h ?， BC4， AC2， 由勾股定理得：AB? t? ?2 ?， O 的半径为 ? 24 （10 分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味 的粽子已知购进甲种粽子的金额是 1200 元，购进乙种粽子的金额是 800 元，购进甲种 粽子的数量比乙种粽子的数量少 50 个，甲种粽子的单
33、价是乙种粽子单价的 2 倍 （1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？ （2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共 200 个，若总金额不超 过 1150 元，问最多购进多少个甲种粽子？ 【解答】解： （1）设乙种粽子的单价为 x 元，则甲种粽子的单价为 2x 元， 依题意得：? ? t h? ? ?50， 解得：x4， 经检验，x4 是原方程的解， 则 2x8， 答：甲种粽子的单价为 8 元，乙种粽子的单价为 4 元 第 22页（共 30页） （2）设购进甲种粽子 m 个，则购进乙种粽子（200m）个， 依题意得：8m+4（200m）1150， 解得：m87.5， 答：最多购
34、进 87 个甲种粽子 25 （10 分）如图，直线 y? ? ? ? 与双曲线 y? ? ?（k0）交于 A，B 两点，点 A 的坐标为（m， 3） ， 点 C 是双曲线第一象限分支上的一点， 连接 BC 并延长交 x 轴于点 D， 且 BC2CD （1）求 k 的值并直接写出点 B 的坐标； （2）点 G 是 y 轴上的动点，连接 GB，GC，求 GB+GC 的最小值； （3）P 是坐标轴上的点，Q 是平面内一点，是否存在点 P，Q，使得四边形 ABPQ 是 矩形？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）将点 A 的坐标为（m，3）代入直线 y?
35、 ? ?x 中， 得3? ? ?m， 解得：m2， A（2，3） ， k2（3）6， 反比例函数解析式为 y? ? ?， 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，得 ? ?t ? ? ?t ?或 ? ? ? ? ? ?， 点 B 的坐标为（2，3） ； （2）如图 1，作 BEx 轴于点 E，CFx 轴于点 F， BECF， DCFDBE， 第 23页（共 30页） ? ?t ? ?t t?， BC2CD，BE3， ? ?t ? h ?， ?t ? ? h ?， CF1， C（6，1） ， 作点 B 关于 y 轴的对称点 B，连接 BC 交 y 轴于点 G， 则 BC 即为 BC+GC 的最
36、小值， B（2，3） ，C（6，1） ， BC? t ? t ? ?t h?2 ht， BG+GCBC2 ht； （3）存在理由如下： 当点 P 在 x 轴上时，如图 2，设点 P1的坐标为（a，0） ， 过点 B 作 BEx 轴于点 E， OEBOBP190，BOEP1OB， OBEOP1B， ?t ?h ? ? ?t， B（2，3） ， OB? ?h?， h? ? ? ? h?， a? h? ? ， 点 P1的坐标为（h? ? ，0） ； 当点 P 在 y 轴上时，过点 B 作 BNy 轴于点 N，如图 2， 设点 P2的坐标为（0，b） ， ONBP2BO90，BONP2OB， BONP
37、2OB， ?t ? ? ? ?t，即 h? ? ? ? h?， 第 24页（共 30页） b? h? ? ， 点 P2的坐标为（0，h? ? ） ； 综上所述，点 P 的坐标为（h? ? ，0）或（0，h? ? ） 26 （12 分）在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 在边 BC 上，BD? h ?BC，将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转至 DE，记旋转角为，连接 BE，CE，以 CE 为斜边在其一侧作等 腰直角三角形 CEF，连接 AF （1）如图 1，当180时，请直接写出线段 AF 与线段 BE 的数量关系； （2）当 0180时， 如图 2， （1）中线段 AF 与线段 BE
38、的数量关系是否仍然成立？请说明理由； 如图 3，当 B，E，F 三点共线时，连接 AE，判断四边形 AECF 的形状，并说明理由 第 25页（共 30页） 【解答】解： （1）如图 1，当180时，点 E 在线段 BC 上， BD? h ?BC， DEBD? h ?BC， BDDEEC， CEF 是等腰直角三角形， CFEBAC90， ECFBCA45， ABCFEC， t? ? ? ? t? ? h ?， ?t ? ? t? t? ? ? ?， BC?AC， t? t? ? t? ? ? ? ?， t? ? ? ? ? ? ，即? t? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ?t t? ? ?
39、t ? ? t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ； （2）?t t? ? ? ? 仍然成立. 理由如下： 如图 2，CEF 是等腰直角三角形， ECF45，?t ? ? ? ? ， 在ABC 中，BAC90，ABAC， BCA45，? ?t ? ? ? ， ECFBCA，?t ? ? ? ?t， 第 26页（共 30页） ACF+ACEBCE+ACE， ACFBCE， ?t ? ? ? ?t， CAFCBE， ?t t? ? ?t ? ? ? ? ， ?t t? ? ? ? 仍然成立 四边形 AECF 是平行四边形 理由如下： 如图 3，过点 D 作 DGBF 于点 G， 由旋转得：
40、DEBD? h ?BC， BGDBFC90，DBGCBF， BDGBCF， ? ?t ? t? tt ? t? t? ? h ?， BDDE，DGBE， BGEG， BGEGEF， EFCF， CFBG? h ?BF， 由知，AF? ? ? BE?BG?CFCE， CAFCBE， CAFCBE，ACFBCE， CEFCBE+BCE45，BCE+ACEACB45， CBEACE， CAFACE， AFCE， AFCE， 四边形 AECF 是平行四边形 第 27页（共 30页） 27 （12 分）抛物线 yax2+bx+3 过点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，顶点为 C （1）求抛物线的表达
41、式及点 C 的坐标； （2）如图 1，点 P 在抛物线上，连接 CP 并延长交 x 轴于点 D，连接 AC，若DAC 是 以 AC 为底的等腰三角形，求点 P 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，点 E 是线段 AC 上（与点 A，C 不重合）的动点，连接 PE，作PEFCAB，边 EF 交 x 轴于点 F，设点 F 的横坐标为 m，求 m 的取值范围 【解答】解： （1）将点 A（1，0） ，点 B（3，0）代入 yax2+bx+3 得： 第 28页（共 30页） ? t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得： ? ?t h ? ? ? 抛物线的表达式为 yx2+2x+
42、3 yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 C（1，4） （2）设 AC 交 y 轴于点 F，连接 DF，过点 C 做 CEx 轴于点 E， A（1，0） ，C（1，4） ， OA1，OE1，CE4 OAOE，AC? ?2 ? FOAB，CEAB， FOCE， OF? h ?CE2，F 为 AC 的中点 DAC 是以 AC 为底的等腰三角形， DFAC FOAD， AFOFDO ? ?t ? ?t ? h ? ? ? ? OD4 D（4，0） 设直线 CD 的解析式为 ykx+m， 第 29页（共 30页） ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 解得： ? ?t ? ? ? ? h? ? 直线
43、 CD 的解析式为 y?t ? ? ? ? h? ? ? ?t ? ? ? ? h? ? ? ?t ? ? ? ， 解得： ?h? h ?h? ?， ? t ? ? ? ? P（t ? ， ? ? ） （3）过点 P 作 PHAB 于点 H，如下图， 则 OH? t ?，PH? ? ? ， OD4， HDODOH? ? ?， PD? ? ? ? PCCDPD5t ? ? ? ? ? 由（2）知：AC2 ? 设 AFx，AEy，则 CE2 ? ty DADC， DACC CAB+AEF+AFE180， AEF+PEF+CEP180， 第 30页（共 30页） 又PEFCAB， CEPAFE CEPAFE ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ? ?t? ? x?t ? ? ? ? ? ? h? y?t ? ?t ? ? ? 当 y?时，x 即 AF 有最大值? ? OA1， OF 的最大值为? ? t1? ? ? 点 F 在线段 AD 上， 点 F 的横坐标 m 的取值范围为1m? ? ?
