1、第 1页（共 26页） 2021 年山东省日照市中考数学试卷年山东省日照市中考数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。 1 （3 分）在下列四个实数中，最大的实数是（） A2B ?C? ? D0 2 （3 分）在平面直角坐标系中，把点 P（3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐 标是（） A （5，2）B
2、 （1，4）C （3，4）D （1，2） 3 （3 分）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是 120 纳米（1 纳米10 9 米） ，120 纳米用 科学记数法可表示为（） A1210 6 米B1.210 7 米C1.210 8 米D12010 9 米 4 （3 分）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父” ，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒 伏在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了 8 块 条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为 1200 千 克/亩，方差为 S甲2186.9，S乙2325.3为保证产量稳定，适合推广的品种为（） A甲B
3、乙C甲、乙均可D无法确定 5 （3 分）下列运算正确的是（） Ax2+x2x4B （xy2）2xy4 Cy6y2y3D（xy）2x2+2xyy2 6 （3 分）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共 有碟子的个数为（） A10B12C14D18 第 2页（共 26页） 7 （3 分）若不等式组 ? a l?h ? ? 的解集是 x3，则 m 的取值范围是（） Am3Bm3Cm3Dm3 8 （3 分）下列命题： ?的算术平方根是 2；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形； 天气预报说明天的降水概率是 95%， 则明天一定会下雨； 若一个多边形的各内角都 等于 108
4、，则它是正五边形，其中真命题的个数是（） A0B1C2D3 9 （3 分）如图，平面图形 ABD 由直角边长为 1 的等腰直角AOD 和扇形 BOD 组成，点 P 在线段 AB 上，PQAB，且 PQ 交 AD 或交? ?于点 Q设 APx（0 x2） ，图中阴影 部分表示的平面图形 APQ （或 APQD） 的面积为 y， 则函数 y 关于 x 的大致图象是 （） AB CD 10 （3 分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 AB 的高 度， 他从古塔底部点 B 处前行 30m 到达斜坡 CE 的底部点 C 处， 然后沿斜坡 CE 前行 20m 到达最佳测量点
5、D 处，在点 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30，已知斜坡的斜面坡度 i1： ?，且点 A，B，C，D，E 在同一平面内，小明同学测得古塔 AB 的高度是（） 第 3页（共 26页） A （10 ? a20）mB （10 ? a10）mC20 ?mD40m 11 （3 分）抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x1，其图象如图所示下列结 论：abc0；（4a+c）2（2b）2；若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两 点，则当|x1+1|x2+1|时，y1y2；抛物线的顶点坐标为（1，m） ，则关于 x 的方程 ax2+bx+cm1 无实数根其中正确结论的个数是（） A4B3
6、C2D1 12 （3 分）数学上有很多著名的猜想， “奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明， 但研究发现，对于任意一个小于 71011的正整数，如果是奇数，则乘 3 加 1；如果是偶 数，则除以 2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到 1对任意正整数 m，按照上述规则，恰好实施 5 次运算结果为 1 的 m 所有可能取值的个数为（） A8B6C4D2 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 个小题个小题，每小题每小题 4 分分，满分满分 16 分分。不需写出解题过程不需写出解题过程，请将答案直请将答案直 接写在答题卡相应位置上。接写在答题卡相应位置上。 13 （4 分）若分式
7、 ?a? ? 有意义，则实数 x 的取值范围为 14 （4 分）关于 x 的方程 x2+bx+2a0（a、b 为实数且 a0） ，a 恰好是该方程的根，则 a+b 的值为 15 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8cm，AD12cm，点 P 从点 B 出发，以 2cm/s 的 第 4页（共 26页） 速度沿 BC 边向点 C 运动，到达点 C 停止，同时，点 Q 从点 C 出发，以 vcm/s 的速度沿 CD 边向点 D 运动，到达点 D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之 停止运动当 v 为时，ABP 与PCQ 全等 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中
8、，正方形 OABC 的边 OC、OA 分别在 x 轴和 y 轴上，OA10，点 D 是边 AB 上靠近点 A 的三等分点，将OAD 沿直线 OD 折叠后得到 OAD，若反比例函数 y? ? ?（k0）的图象经过 A点，则 k 的值为 三三、解答题解答题：本题共本题共 6 个小题个小题，满分满分 68 分分。请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤。要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） （1）若单项式 xm ny14 与单项式h ? ?x 3y3m8n是一多项式中的同类项，求 m、n 的值； （2）先化简，
9、再求值： （ ? ?a? a ? ?h?） ? ?h?，其中 x? ? h1 18 （10 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织 学生参加党史知识测试（满分 100 分） 为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、 八年级中各随机抽取 10 名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下： 收集数据： 七年级：8688959010095959993100 八年级：100989889879895909089 整理数据： 第 5页（共 26页） 成绩 x（分） 年级 85x9090 x9595x100 七年级343 八年级5ab 分析数据： 统计量 年级 平均数中
10、位数众数 七年级94.195d 八年级93.4c98 应用数据： （1）填空：a，b，c，d； （2）若八年级共有 200 人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于 95 分的人数； （3）从测试成绩优秀的学生中选出 5 名语言表达能力较强的学生，其中八年级 3 名，七 年级 2 名现从这 5 名学生中随机抽取 2 名到当地社区担任党史宣讲员请用画树状图 或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率 19 （10 分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价 35 元，原计划以每桶 55 元的价格销售， 为更好地助力疫情防控，现决定降价销售已知这种消毒液销售量 y（桶）与每桶降价 x （元） （0 x20）
11、之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利 1760 元这种消毒液每桶实际售价多 少元？ 20 （10 分）如图， OABC 的对角线相交于点 D，O 经过 A、D 两点，与 BO 的延长线 相交于点 E，点 F 为? ?上一点，且? ? ? ?连接 AE、DF 相交于点 G，若 AG3，EG 第 6页（共 26页） 6 （1）求 OABC 对角线 AC 的长； （2）求证： OABC 为矩形 21 （14 分）问题背景： 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB2 ?，ABD30，点 E 是边 AB 的中点，过点
12、 E 作 EFAB 交 BD 于点 F 实验探究： （1）在一次数学活动中，小王同学将图 1 中的BEF 绕点 B 按逆时针方向旋转 90， 如图 2 所示，得到结论：? ? ?；直线 AE 与 DF 所夹锐角的 度数为 （2）小王同学继续将BEF 绕点 B 按逆时针方向旋转，旋转至如图 3 所示位置请问探 究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由 拓展延伸： 在 以 上 探 究 中 ， 当 BEF 旋 转 至 D 、 E 、 F 三 点 共 线 时 ， 则 ADE 的 面 积 为 第 7页（共 26页） 22 （14 分）已知：抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（3，0）
13、，C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 为直线 BC 上方抛物线上任意一点，连 PC、PB、PO，PO 交直线 BC 于点 E，设? ? ?k，求当 k 取最大值时点 P 的坐标，并求此时 k 的值 （3）如图 2，点 Q 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 C 关于 x 轴的对称点为点 D 求BDQ 的周长及 tanBDQ 的值； 点 M 是 y 轴负半轴上的点，且满足 tanBMQ? ? ?（为大于 0 的常数） ，求点 M 的坐 标 第 8页（共 26页） 2021 年山东省日照市中考数学试卷年山东省日照市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
14、一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分。在每小题给出的四个选项中，分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上。 1 （3 分）在下列四个实数中，最大的实数是（） A2B ?C? ? D0 【解答】解：正数大于负数，负数小于 0，正数大于负数， ? ? ? 02， 故选：B 2 （3 分）在平面直角坐标系中，把点 P（3，2）向右平移两个单位后，得到对应点的坐 标是（） A （5，2）B
15、（1，4）C （3，4）D （1，2） 【解答】解：根据题意，从点 P 到点 P，点 P的纵坐标不变，横坐标是3+21， 故点 P的坐标是（1，2） 故选：D 3 （3 分）实验测得，某种新型冠状病毒的直径是 120 纳米（1 纳米10 9 米） ，120 纳米用 科学记数法可表示为（） A1210 6 米B1.210 7 米C1.210 8 米D12010 9 米 【解答】解：120 纳米12010 9 米1.210 7 米 故选：B 4 （3 分）袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父” ，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒 伏在某次实验中，他的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了
16、 8 块 条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为 1200 千 克/亩，方差为 S甲2186.9，S乙2325.3为保证产量稳定，适合推广的品种为（） A甲B乙C甲、乙均可D无法确定 【解答】解：S甲2186.9，S乙2325.3， S甲2S乙2， 为保证产量稳定，适合推广的品种为甲， 故选：A 第 9页（共 26页） 5 （3 分）下列运算正确的是（） Ax2+x2x4B （xy2）2xy4 Cy6y2y3D（xy）2x2+2xyy2 【解答】解：A由合并同类项的法则，得 x2+x22x2，故 A 不符合题意 B由积的乘方以及幂的乘方，得（xy2）2x2y4，
17、故 B 不符合题意 C由同底数幂的除法，得 y6y2y4，故 C 不符合题意 D由完全平方公式，得（xy）2x2y2+2xy，故 D 符合题意 故选：D 6 （3 分）一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共 有碟子的个数为（） A10B12C14D18 【解答】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子主视图可知左侧碟子有 5 个，右 侧有 3 个；而左视图可知左侧有 4 个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计 12 个， 故选：B 7 （3 分）若不等式组 ? a l?h ? ? 的解集是 x3，则 m 的取值范围是（） Am3Bm3Cm3Dm3 【解答】解：解不等
18、式 x+64x3，得：x3， xm 且不等式组的解集为 x3， m3， 故选：C 8 （3 分）下列命题： ?的算术平方根是 2；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形； 第 10页（共 26页） 天气预报说明天的降水概率是 95%， 则明天一定会下雨； 若一个多边形的各内角都 等于 108，则它是正五边形，其中真命题的个数是（） A0B1C2D3 【解答】解： ?的算术平方根是 ?，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意； 天气预报说明天的降水概率是 95%，则明天下雨可能性很大，但确定是否一定下雨， 故原命题错误，是假命题，不符合题意
19、； 若一个多边形的各内角都等于 108，则它是正五边形，正确，是真命题，符合题意； 真命题有 2 个， 故选：C 9 （3 分）如图，平面图形 ABD 由直角边长为 1 的等腰直角AOD 和扇形 BOD 组成，点 P 在线段 AB 上，PQAB，且 PQ 交 AD 或交? ?于点 Q设 APx（0 x2） ，图中阴影 部分表示的平面图形 APQ （或 APQD） 的面积为 y， 则函数 y 关于 x 的大致图象是 （） AB CD 【解答】解：当 Q 在 AD 上时，即点 P 在 AO 上时，有 0 x1， 此时阴影部分为等腰直角三角形， y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 该函数
20、是二次函数，且开口向上，排除 B，C 选项； 当点 Q 在弧 BD 上时，补全图形如图所示， 第 11页（共 26页） 阴影部分的面积等于等腰直角AOD的面积加上扇形BOD的面积， 再减去平面图形PBQ 的面积即减去? ?弓形 QBF 的面积， 设QOB，则QOF2， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，S 弓形QBF? ? ?th hSQOF， 当45时，APx1a ? ? ?1.7，S弓形QBF? ? ? h ? ? ? ? ? ? ? ? ? h ? ?， y? ? ? a ? ? h ? ?（ ? ? h ? ?）? ? ? a ? t ?1.15， 当30时，APx1.86，S弓
21、形QBF? ? l h ? ? ? ? ? ? ? ? l h ? ? ， y? ? ? a ? ? h ? ?（ ? l h ? ? ）? ? ? a ? t a ? l ?1.45， 在 A，D 选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项 D 符合题意 故选：D 10 （3 分）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 AB 的高 度， 他从古塔底部点 B 处前行 30m 到达斜坡 CE 的底部点 C 处， 然后沿斜坡 CE 前行 20m 到达最佳测量点 D 处，在点 D 处测得塔顶 A 的仰角为 30，已知斜坡的斜面坡度 i1： ?，且点 A，B，C，D，E 在同一
22、平面内，小明同学测得古塔 AB 的高度是（） 第 12页（共 26页） A （10 ? a20）mB （10 ? a10）mC20 ?mD40m 【解答】解：过 D 作 DFBC 于 F，DHAB 于 H， DHBF，BHDF， 斜坡的斜面坡度 i1： ?， ? ? ?1： ?， 设 DFxm，CF?xm， CD?a ?2x20（m） ， x10， BHDF10m，CF10 ?m， DHBF（10 ? a30）m， ADH30， AH? ? ? DH? ? ? ?（10 ? a30）（10+10 ?） （m） ， ABAH+BH（20+10 ?）m， 故选：A 11 （3 分）抛物线 yax2
23、+bx+c（a0）的对称轴是直线 x1，其图象如图所示下列结 论：abc0；（4a+c）2（2b）2；若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两 点，则当|x1+1|x2+1|时，y1y2；抛物线的顶点坐标为（1，m） ，则关于 x 的方程 ax2+bx+cm1 无实数根其中正确结论的个数是（） 第 13页（共 26页） A4B3C2D1 【解答】解：抛物线图象开口向上， a0， 对称轴在直线 y 轴左侧， a，b 同号，b0， 抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， c0， abc0，故正确 （4a+c）2（2b）2（4a+c+2b） （4a+c2b） ， 当 x2 时 ax2+bx+c4
24、a+c+2b，由图象可得 4a+c+2b0， 当 x2 时，ax2+bx+c4a+c2b，由图象可得 4a+c2b0， （4a+c）2（2b）20，即（4a+c）2（2b）2， 故正确 |x1+1|x1（1）|，|x2+1|x2（1）|， |x1+1|x2+1|， 点（x1，y1）到对称轴的距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离， y1y2|， 故错误 抛物线的顶点坐标为（1，m） ， ym， ax2+bx+cm， ax2+bx+cm1 无实数根 故正确， 第 14页（共 26页） 综上所述，正确， 故选：B 12 （3 分）数学上有很多著名的猜想， “奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证
25、明， 但研究发现，对于任意一个小于 71011的正整数，如果是奇数，则乘 3 加 1；如果是偶 数，则除以 2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到 1对任意正整数 m，按照上述规则，恰好实施 5 次运算结果为 1 的 m 所有可能取值的个数为（） A8B6C4D2 【解答】解：如果实施 5 次运算结果为 1， 则变换中的第 4 项一定是 2， 则变换中的第 3 项一定是 4， 则变换中的第 2 项可能是 1，也可能是 8， 则变换中的第 1 项可能是 2，也可能是 16 则 m 的所有可能取值为 2 或 16，一共 2 个， 故选：D 二二、填空题填空题：本题共本题共 4 个小题
26、个小题，每小题每小题 4 分分，满分满分 16 分分。不需写出解题过程不需写出解题过程，请将答案直请将答案直 接写在答题卡相应位置上。接写在答题卡相应位置上。 13 （4 分）若分式 ?a? ? 有意义，则实数 x 的取值范围为x1 且 x0 【解答】解：要使分式 ?a? ? 有意义，必须 x+10 且 x0， 解得：x1 且 x0， 故答案为：x1 且 x0 14 （4 分）关于 x 的方程 x2+bx+2a0（a、b 为实数且 a0） ，a 恰好是该方程的根，则 a+b 的值为2 【解答】解：由题意可得 xa（a0） ， 把 xa 代入原方程可得：a2+ab+2a0， 等式左右两边同时除以
27、 a，可得：a+b+20， 即 a+b2， 故答案为：2 15 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB8cm，AD12cm，点 P 从点 B 出发，以 2cm/s 的 速度沿 BC 边向点 C 运动，到达点 C 停止，同时，点 Q 从点 C 出发，以 vcm/s 的速度沿 第 15页（共 26页） CD 边向点 D 运动，到达点 D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之 停止运动当 v 为2 或t ? 时，ABP 与PCQ 全等 【解答】解：当 BPCQ，ABPC 时，ABPPCQ， AB8cm， PC8cm， BP1284（cm） ， 2t4，解得：t2， CQBP4， v
28、24， 解得：v2； 当 BACQ，PBPC 时，ABPQCP， PBPC， BPPC6cm， 2t6，解得：t3， CQAB8， v38， 解得：v? t ?， 综上所述，当 v2 或t ?时，ABP 与PQC 全等， 故答案为：2 或t ? 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边 OC、OA 分别在 x 轴和 y 轴上，OA10，点 D 是边 AB 上靠近点 A 的三等分点，将OAD 沿直线 OD 折叠后得到 OAD，若反比例函数 y? ? ?（k0）的图象经过 A点，则 k 的值为 48 第 16页（共 26页） 【解答】解：过 A作 EFOC 于 F
29、，交 AB 于 E， OAD90， OAF+DAE90， OAF+AOF90， DAEAOF， AFODEA， AOFDAE， ? ? ? ? ? ? ? ?， 设 A（m，n） ， OFm，AFn， 正方形 OABC 的边 OC、OA 分别在 x 轴和 y 轴上，OA10，点 D 是边 AB 上靠近点 A 的三等分点， DEmh ?h ? ，AE10n， ? ?hh? ? ? ?h?h ? ?3， 解得 m6，n8， A（6，8） ， 反比例函数 y? ? ?（k0）的图象经过 A点， k6848， 故答案为 48 第 17页（共 26页） 三三、解答题解答题：本题共本题共 6 个小题个小题
30、，满分满分 68 分分。请在答题卡指定区域内作答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必解答时应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤。要的文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分） （1）若单项式 xm ny14 与单项式h ? ?x 3y3m8n是一多项式中的同类项，求 m、n 的值； （2）先化简，再求值： （ ? ?a? a ? ?h?） ? ?h?，其中 x? ? h1 【解答】解： （1）由题意可得 ? h ? ? ? ?h t? ? ?， 3，可得：5n5， 解得：n1， 把 n1 代入，可得：m（1）3， 解得：m2， m 的值为 2，n 的值为1； （2）原式?h?
31、a?a? ?a?h? （x+1） （x1） ? ?h?a?a? ?a?h?（x+1） （x1） x2+1， 当 x? h1 时， 原式（ ? h1）2+122 ? a1+142 ? 18 （10 分）为庆祝中国共产党建党 100 周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织 学生参加党史知识测试（满分 100 分） 为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、 八年级中各随机抽取 10 名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下： 收集数据： 七年级：8688959010095959993100 第 18页（共 26页） 八年级：100989889879895909089 整理数据： 成绩 x（分）
32、 年级 85x9090 x9595x100 七年级343 八年级5ab 分析数据： 统计量 年级 平均数中位数众数 七年级94.195d 八年级93.4c98 应用数据： （1）填空：a1，b4，c94.5，d95； （2）若八年级共有 200 人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于 95 分的人数； （3）从测试成绩优秀的学生中选出 5 名语言表达能力较强的学生，其中八年级 3 名，七 年级 2 名现从这 5 名学生中随机抽取 2 名到当地社区担任党史宣讲员请用画树状图 或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率 【解答】解： （1）a1，b4， 八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，9
33、0，90，95，98，98，98，100， 所以八年级成绩的中位数 c? ?ha? ? ?94.5， 七年级成绩中 95 出现的次数最多，则 d95； 故答案为 1，4，94.5，95； （2）200 ? ?h ?80， 估计八年级测试成绩大于 95 分的人数为 80 人； （3）画树状图为： 第 19页（共 26页） 共有 20 种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为 8， 所以抽到同年级学生的概率? t ?h ? ? ? 19 （10 分）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价 35 元，原计划以每桶 55 元的价格销售， 为更好地助力疫情防控，现决定降价销售已知这种消毒液销售量 y（桶
34、）与每桶降价 x （元） （0 x20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利 1760 元这种消毒液每桶实际售价多 少元？ 【解答】解： （1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为：ykx+b， 将点（1，110） 、 （3，130）代入一次函数表达式得： ?h ? ? a i ?h ? ?a i， 解得： ? ? ?h i ? ?hh， 故函数的表达式为：y10 x+100； （2）由题意得： （10 x+100）（55x35）1760， 整理，得 x210 x240 解得 x112，x22（舍去
35、） 所以 55x43 答：这种消毒液每桶实际售价 43 元 20 （10 分）如图， OABC 的对角线相交于点 D，O 经过 A、D 两点，与 BO 的延长线 相交于点 E，点 F 为? ?上一点，且? ? ? ?连接 AE、DF 相交于点 G，若 AG3，EG 第 20页（共 26页） 6 （1）求 OABC 对角线 AC 的长； （2）求证： OABC 为矩形 【解答】解：DE 是直径， EAD90， ? ? ? ? ? ADFAFDAED， 又DAEGAD90 ADEAGD ? ? ? ?t ? AD2AGAE3927， AD3 ?， AC2AD6 ? （2）DE?a ? ?6 ?，
36、OABC 是平行四边形 OB2ODDE6 ?， OABC 为矩形 21 （14 分）问题背景： 如图 1，在矩形 ABCD 中，AB2 ?，ABD30，点 E 是边 AB 的中点，过点 E 作 EFAB 交 BD 于点 F 实验探究： （1）在一次数学活动中，小王同学将图 1 中的BEF 绕点 B 按逆时针方向旋转 90， 第 21页（共 26页） 如图 2 所示，得到结论： ? ? ? ? ? ；直线 AE 与 DF 所夹锐角的度数为 30 （2）小王同学继续将BEF 绕点 B 按逆时针方向旋转，旋转至如图 3 所示位置请问探 究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由 拓展延伸： 在以上探究
37、中，当BEF 旋转至 D、E、F 三点共线时，则ADE 的面积为 ? ?a ? t 或? ?h ? t 【解答】解： （1）如图 1，ABD30，DAB90，EFBA， cosABD? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 如图 2，设 AB 与 DF 交于点 O，AE 与 DF 交于点 H， BEF 绕点 B 按逆时针方向旋转 90， DBFABE90， FBDEBA， 第 22页（共 26页） ? ? ? ? ? ? ? ? ，BDFBAE， 又DOBAOF， DBAAHD30， 直线 AE 与 DF 所夹锐角的度数为 30， 故答案为： ? ? ，30； （2）结论仍然成立， 理由如下：如
38、图 3，设 AE 与 BD 交于点 O，AE 与 DF 交于点 H， 将BEF 绕点 B 按逆时针方向旋转， ABEDBF， 又? ? ? ? ? ? ? ? ， ABEDBF， ? ? ? ? ? ? ? ? ，BDFBAE， 又DOHAOB， ABDAHD30， 直线 AE 与 DF 所夹锐角的度数为 30 拓展延伸：如图 4，当点 E 在 AB 的上方时，过点 D 作 DGAE 于 G， AB2 ?，ABD30，点 E 是边 AB 的中点，DAB90， BE?，AD2，DB4， EBF30，EFBE， EF1， 第 23页（共 26页） D、E、F 三点共线， DEBBEF90， DE?
39、 ?h ? ?lh ? ?， DEA30， DG? ? ?DE? ? ? ， 由（2）可得：? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ?a? ? ? ? ， AE? ?a ? ? ， ADE 的面积? ? ? ?AEDG? ? ? ? ?a ? ? ? ? ? ? ? ?a ? t ； 如图 5，当点 E 在 AB 的下方时，过点 D 作 DGAE，交 EA 的延长线于 G， 同理可求：ADE 的面积? ? ? ?AEDG? ? ? ? ?h ? ? ? ? ? ? ? ?h ? t ； 故答案为：? ?a ? t 或? ?h ? t 22 （14 分）已知：抛物线 yax2+bx+c 经过 A
40、（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 为直线 BC 上方抛物线上任意一点，连 PC、PB、PO，PO 交直线 BC 于点 E，设? ? ?k，求当 k 取最大值时点 P 的坐标，并求此时 k 的值 （3）如图 2，点 Q 为抛物线对称轴与 x 轴的交点，点 C 关于 x 轴的对称点为点 D 求BDQ 的周长及 tanBDQ 的值； 点 M 是 y 轴负半轴上的点，且满足 tanBMQ? ? ?（为大于 0 的常数） ，求点 M 的坐 标 第 24页（共 26页） 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） ，B
41、（3，0） ，C（0，3） ， 设 ya（x+1） （x3） ，将 C（0，3）代入，得 a（0+1） （03）3， 解得：a1， y（x+1） （x3）x2+2x+3， 抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）如图 1，过点 P 作 PHy 轴交直线 BC 于点 H， PEHOEC， ? ? ? ? ?， ? ? ?k，OC3， k? ? ?PH， 设直线 BC 的解析式为 ykx+n， B（3，0） ，C（0，3） ， ?a ? ? h ? ? ? ， 解得： ? ?h ? ? ? ? ， 直线 BC 的解析式为 yx+3， 设点 P（t，t2+2t+3） ，则 H（t，t+3） ，
42、PHt2+2t+3（t+3）t2+3t， k? ? ?（t 2+3t）?h? ?（th ? ?） 2a? ?， h ? ? 0， 第 25页（共 26页） 当 t? ? ?时，k 取得最大值 ? ?，此时，P（ ? ?， ? ? ） ； （3）如图 2，过点 Q 作 QTBD 于点 T，则BTQDTQ90， yx2+2x+3（x1）2+4， 抛物线对称轴为直线 x1， Q（1，0） ， OQ1，BQOBOQ312， 点 C 关于 x 轴的对称点为点 D， D（0，3） ， B（3，0） ， OBOD3， BOD90， DQ?a ?a ?h， BD? ? ?(? ? ? ?(? ?3 ?， BD
43、Q 的周长BQ+DQ+BD2a?h a3 ?； 在 RtOBD 中，BOD90，OBOD， DBOBDO45， BTQ90， BQT 是等腰直角三角形， QTBTBQcosDBO2cos45?， DTBDBT3 ? h? ?2 ?， tanBDQ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?； 设 M（0，m） ，则 OMm， BM?a ?a ? a ?， MQ?a ? a ?， tanBMQ? ? ?， ? ? ? ? ?， MTtQT， 第 26页（共 26页） QT2+MT2MQ2， QT2+（tQT）2（ ? a ?）2， QT? ?a? ?a? ，MT? ? ?a? ?a? ， cosQBTcosMBO， ? ? ? ? ?，即 ? ? ? ? ?a?， BT? l ?a?， BT+MTBM， l ?a? a ? ?a? ?a? ? a ?， 整理得， （m2+3）24t2m2， t0，m0， m2+32tm，即 m22tm+30， 当（2t）24134t2120，即 t?时， m? ? ?h? ? ?t ?h ?， M（0， ?h ? ht）或（0，h?h ? ht）
