1、第 1页（共 33页） 2021 年山东省泰安市中考数学试卷年山东省泰安市中考数学试卷 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 12 小题小题，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的只有一个是正确的，请把正请把正 确的选项选出来，每小题选对得确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1 （4 分）下列各数：4，2.8，0，|4|，其中比3 小的数是（） A4B|4|C0D2.8 2 （4 分）下列运算正确的是（） A2x2+3x35x5B （2x）36x3 C （x+y）2x2+y2
2、D （3x+2） （23x）49x2 3 （4 分）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表 示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） ABCD 4 （4 分）如图，直线 mn，三角尺的直角顶点在直线 m 上，且三角尺的直角被直线 m 平 分，若160，则下列结论错误的是（） A275B345C4105D5130 5 （4 分）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠 状况， 调查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间， 绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示， 则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（） 第 2页（共 33页
3、） A7h，7hB8h，7.5hC7h，7.5hD8h，8h 6 （4 分）如图，在ABC 中，AB6，以点 A 为圆心，3 为半径的圆与边 BC 相切于点 D， 与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧 GE 上一点，CDE18，则GFE 的 度数是（） A50B48C45D36 7 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 kx2（2k1）x+k20 有两个不相等的实数根， 则实数 k 的取值范围是（） Ak? ? ? Bk ? ? Ck? ? ?且 k0 Dk ? ?且 k0 8 （4 分）将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的
4、抛物线必定经过（） A （2，2）B （1，1）C （0，6）D （1，3） 9 （4 分）如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，B90，BCD120，AB2， CD1，则 AD 的长为（） 第 3页（共 33页） A2 ? ?2B3?C4?D2 10 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BD 的中点，则下列四个结论： AMCN； 若 MDAM，A90，则 BMCM； 若 MD2AM，则 SMNCSBNE； 若 ABMN，则MFN 与DFC 全等 其中正确结论的个数为（） A1 个B2 个C3 个D4 个 11 （4 分）如图，为了测量某建筑物 BC 的高度，小颖采用了如
5、下的方法：先从与建筑物底 端 B 在同一水平线上的 A 点出发，沿斜坡 AD 行走 130 米至坡顶 D 处，再从 D 处沿水平 方向继续前行若干米后至点 E 处，在 E 点测得该建筑物顶端 C 的仰角为 60，建筑物底 端 B 的俯角为 45，点 A、B、C、D、E 在同一平面内，斜坡 AD 的坡度 i1：2.4根 据小颖的测量数据，计算出建筑物 BC 的高度约为（参考数据： ? ?1.732） （） A136.6 米B86.7 米C186.7 米D86.6 米 12 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC5 ?，点 P 在线段 BC 上运动（含 B、C 两点） ，连接 AP，以
6、点 A 为中心，将线段 AP 逆时针旋转 60到 AQ，连接 DQ，则线段 DQ 的最小值为（） 第 4页（共 33页） A? ? B? ?C? ? ? D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 18 分。只要求填写最后结果，每小题填对得分。只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）分） 13 （3 分）2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次 火星探测任务着陆火星取得圆满成功探测器距离地球约 3.2 亿千米数据 3.2 亿千米用 科学记数法可以表示为千米 14 （3 分） 九章算术中记载： “今有甲乙二人持钱
7、不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得 甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是： “今有甲乙二人，不知其钱包里 有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其? ?的钱给乙，则乙的钱 数也为 50问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，根据题意，可列方 程组为 15 （3 分）如图是抛物线 yax2+bx+c 的部分图象，图象过点（3，0） ，对称轴为直线 x1， 有下列四个结论：abc0；ab+c0；y 的最大值为 3；方程 ax2+bx+c+1 0 有实数根其中正确的为（将所有正确结论的序号都填入） 16 （3 分）若ABC 为直角三角形，ACBC4，以 B
8、C 为直径画半圆如图所示，则阴影 部分的面积为 第 5页（共 33页） 17 （3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠（ADAB） ，使 AB 落在 AD 上，AE 为折痕，然 后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将 BE 边折起，使点 B 落在 AE 上的点 G 处，连接 DE，若 DEEF，CE2，则 AD 的长为 18 （3 分）如图，点 B1在直线 l：y? ? ?x 上，点 B1 的横坐标为 2，过点 B1作 B1A1l，交 x 轴于点 A1，以 A1B1为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1交 x 轴于点 A2；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3
9、C2，延长 B3C2交 x 轴于点 A3；以 A3B3为边，向右作正方形 A3B3B4C3， 延长 B4C3交 x 轴于点 A4； ； 照这个规律进行下去， 则第 n 个正方形 AnBnBn+1n 的边长为（结果用含正整数 n 的代数式表示） 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 7 小题小题，满分满分 78 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步证明过程或推演步 骤）骤） 19 （10 分） （1）先化简，再求值：? ?t? tt? ? t t ? ? t?ttt? tt? ，其中 a? t3； （2）解不等式：1? ?t? ? ?t? ? 第 6页（共 3
10、3页） 20 （10 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，落实教育部关于在中小学组织开展“从小 学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调 查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表根据统计图表提供的信息， 解答下列问题： （1）本次共调查了名学生；C 组所在扇形的圆心角为度； （2）该校共有学生 1600 人，若 90 分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？ （3）若 E 组 14 名学生中有 4 人满分，设这 4 名学生为 E1，E2，E3，E4，从其中抽取 2 名学生代表学校参加上一级比赛， 请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 E1， E2
11、 的概率 竞赛成绩统计表（成绩满分 100 分） 组别分数人数 A 组75x 80 4 B 组80 x 85 C 组85x 90 10 D 组90 x 95 E 组95x 100 14 合计 21 （10 分）如图，点 P 为函数 y? ? ?x+1 与函数 y? ? t（x0）图象的交点，点 P 的纵坐标 第 7页（共 33页） 为 4，PBx 轴，垂足为点 B （1）求 m 的值； （2） 点M是函数y? ? t （x0） 图象上一动点， 过点M作MDBP于点D， 若tanPMD? ? ?， 求点 M 的坐标 22 （10 分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药
12、厂紧急 批量生产， 计划每天生产疫苗 16 万剂， 但受某些因素影响， 有 10 名工人不能按时到厂 为 了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作 8 小时增加到 10 小时，每人每小时 完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗 15 万剂 （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产 4 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为 10 小时若上级 分配给该厂共 760 万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 23 （11 分）四边形 ABCD 为矩形，E 是 AB 延长线上的一点 （1）若 ACEC，如图 1，求证：四边形 BECD 为平行四边形； （2）若
13、ABAD，点 F 是 AB 上的点，AFBE，EGAC 于点 G，如图 2，求证：DGF 是等腰直角三角形 24 （13 分）二次函数 yax2+bx+4（a0）的图象经过点 A（4，0） ，B（1，0） ，与 y 轴 交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上一点，连接 BP、AC，交于点 Q，过点 P 作 PD x 轴于点 D 第 8页（共 33页） （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，当DPB2BCO 时，求直线 BP 的表达式； （3）请判断：?t tt是否有最大值，如有请求出有最大值时点 P 的坐标，如没有请说明理 由 25 （14 分）如图 1，O 为半圆的圆心，C、D 为
14、半圆上的两点，且t? ? ? ? ?连接 AC 并延 长，与 BD 的延长线相交于点 E （1）求证：CDED； （2）AD 与 OC，BC 分别交于点 F，H 若 CFCH，如图 2，求证：CFAFFOAH； 若圆的半径为 2，BD1，如图 3，求 AC 的值 第 9页（共 33页） 2021 年山东省泰安市中考数学试卷年山东省泰安市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 12 小题小题，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的只有一个是正确的，请把正请把正 确的选项选出来，每小题选对得确的选项选出来，每小题选对得
15、4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1 （4 分）下列各数：4，2.8，0，|4|，其中比3 小的数是（） A4B|4|C0D2.8 【解答】解：|4|4， 432.80|4|， 其中比3 小的数是4 故选：A 2 （4 分）下列运算正确的是（） A2x2+3x35x5B （2x）36x3 C （x+y）2x2+y2D （3x+2） （23x）49x2 【解答】解：A 选项，2x2与 3x3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题 意； B 选项，原式8x3，故该选项计算错误，不符合题意； C 选项，原式x2+2xy+y2，
16、故该选项计算错误，不符合题意； D 选项，原式22（3x）249x2，故该选项计算正确，符合题意； 故选：D 3 （4 分）如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表 示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（） ABCD 【解答】解：从左边看从左到右第一列是两个小正方形，第二列有 4 个小正方形，第三 列有 3 个小正方形， 故选：B 第 10页（共 33页） 4 （4 分）如图，直线 mn，三角尺的直角顶点在直线 m 上，且三角尺的直角被直线 m 平 分，若160，则下列结论错误的是（） A275B345C4105D5130 【解答】解：如图， 三角尺的
17、直角被直线 m 平分， 6745， 41+645+60105， mn， 3745，2180475， 5180318045135， 故选项 A、B、C 正确， 故选：D 5 （4 分）为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠 状况， 调查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间， 绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示， 则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（） A7h，7hB8h，7.5hC7h，7.5hD8h，8h 第 11页（共 33页） 【解答】解：7h 出现了 19 次，出现的次数最多， 所调查学生睡眠时间的众数是 7h； 共有 50 名学生，中位数是第 25
18、、26 个数的平均数， 所调查学生睡眠时间的中位数是?t? ? ?7.5（h） 故选：C 6 （4 分）如图，在ABC 中，AB6，以点 A 为圆心，3 为半径的圆与边 BC 相切于点 D， 与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，点 F 是优弧 GE 上一点，CDE18，则GFE 的 度数是（） A50B48C45D36 【解答】解：连接 AD，BC 与A 相切于点 D， ADBC， ADBADC90， AB6,AGAD3， AD? ? ?AB， B30， GAD60， CDE18， ADE901872， ADAE， AEDADE72， DAE180ADEAED180727236， BAC
19、BAD+CAD60+3696， GFE? ? ?GAE? ? ? ?9648， 故选：B 第 12页（共 33页） 7 （4 分）已知关于 x 的一元二次方程 kx2（2k1）x+k20 有两个不相等的实数根， 则实数 k 的取值范围是（） Ak? ? ? Bk ? ? Ck? ? ?且 k0 Dk ? ?且 k0 【解答】解：根据题意得 k0 且（2k1）24k（k2）0， 解得 k? ? ?且 k0 故选：C 8 （4 分）将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的 抛物线必定经过（） A （2，2）B （1，1）C （0，6）D （1，3） 【解答
20、】解：yx22x+3 （x2+2x）+3 （x+1）21+3 （x+1）2+4， 将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位， 得到的抛物线解析式为：yx2+2， 当 x2 时，y（2）2+24+22，故（2，2）不在此抛物线上，故 A 选 项不合题意； 当 x1 时，y（1）2+21+21，故（1，1）在此抛物线上，故 B 选项符 合题意； 当 x0 时，y02+20+22，故（0，6）不在此抛物线上，故 A 选项不合题意； 当 x1 时，y12+21+21，故（1，3）不在此抛物线上，故 A 选项不合题意； 故选：B 9 （4 分）如图，四边形 ABCD
21、是O 的内接四边形，B90，BCD120，AB2， CD1，则 AD 的长为（） 第 13页（共 33页） A2 ? ?2B3?C4?D2 【解答】解：延长 AD、BC 交于 E， BCD120， A60， B90， ADC90，E30， 在 RtABE 中，AE2AB4， 在 RtCDE 中，DE? ? ?th? ?， ADAEDE4?， 故选：C 10 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BD 的中点，则下列四个结论： AMCN； 若 MDAM，A90，则 BMCM； 若 MD2AM，则 SMNCSBNE； 若 ABMN，则MFN 与DFC 全等 其中正确结论的个数为（）
22、第 14页（共 33页） A1 个B2 个C3 个D4 个 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， ADBCBD， E 是 BD 的中点， BEDE， 在MDE 和NBE 中， ?t ?t? ? ? t? ? ? ?t? ， MDENBE（ASA） ， DMBN， AMCN， 故正确； 若 MDAM，A90， 则平行四边形 ABCD 为矩形， ADCA90， 在BAM 和CDM 中， ?t ? ? ? ? ? ? ? ? , BAMCDM（SAS） ， BMCM， 故正确； 过点 M 作 MGBC，交 BC 于 G，过点 E 作 EHBC，交 BC 于 H， 第 1
23、5页（共 33页） 由可知四边形 MBCD 是平行四边形，E 为 BD 中点， MG2EH， 又MD2AM，BNMD，AMNC， SMNC? ? ?NCMG? ? ? ? ?BN2EH? ? ?BNEHSBNE， 故正确； ABMN，ABDC， MNDC， 又ADBC, 四边形 MNCD 是等腰梯形或平行四边形， 如果四边形 MNCD 是等腰梯形， MNCDCN， 在MNC 和DCN 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， MNCDCN（SAS） ， NMCCDN， 在MFN 和DFC 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ， MFNDFC（AAS） ， 如果是平行四边形，由平行四边形的
24、性质可以得到MFNDFC， 故正确 正确的个数是 4 个， 故选：D 11 （4 分）如图，为了测量某建筑物 BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底 第 16页（共 33页） 端 B 在同一水平线上的 A 点出发，沿斜坡 AD 行走 130 米至坡顶 D 处，再从 D 处沿水平 方向继续前行若干米后至点 E 处，在 E 点测得该建筑物顶端 C 的仰角为 60，建筑物底 端 B 的俯角为 45，点 A、B、C、D、E 在同一平面内，斜坡 AD 的坡度 i1：2.4根 据小颖的测量数据，计算出建筑物 BC 的高度约为（参考数据： ? ?1.732） （） A136.6 米B86.7 米
25、C186.7 米D86.6 米 【解答】解：如图作 DHAB 于 H，延长 DE 交 BC 于 F 在 RtADH 中，AD130 米，DH：AH1：2.4， DH50（米） ， 四边形 DHBF 是矩形， BFDH50（米） ， 在 RtEFB 中，BEF45， EFBF50 米， 在 RtEFC 中，FCEFtan60， CF50? ?86.6（米） ， BCBF+CF136.6（米） 故选：A 12 （4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB5，BC5 ?，点 P 在线段 BC 上运动（含 B、C 两点） ，连接 AP，以点 A 为中心，将线段 AP 逆时针旋转 60到 AQ，连接 DQ
26、，则线段 DQ 的最小值为（） 第 17页（共 33页） A? ? B? ?C? ? ? D3 【解答】解：如图，以 AB 为边向右作等边ABF,作射线 FQ 交 AD 于点 E,过点 D 作 DH QE 于 H 四边形 ABCD 是矩形， ABPBAE90, ABF,APQ 都是等边三角形， BAFPAQ60,BAFA,PAQA, BAPFAQ, 在BAP 和FAQ 中， t? ? ? ?t? ? ?t ? ? t? , BAPFAQ(SAS), ABPAFQ90, FAE906030, AEF903060, ABAF5,AEAFcos30? ? ? ? , 点 Q 在射线 FE 上运动,
27、ADBC5 ?, DEADAE? ? ? ? , DHEF,DEHAEF60, DHDEsin60? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 第 18页（共 33页） 根据垂线段最短可知，当点 Q 与 H 重合时，DQ 的值最小，最小值为? ?， 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 18 分。只要求填写最后结果，每小题填对得分。只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分）分） 13 （3 分）2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次 火星探测任务着陆火星取得圆满成功探测器距离地球约 3.2 亿千米数据 3
28、.2 亿千米用 科学记数法可以表示为3.2108千米 【解答】解：3.2 亿3200000003.2108， 故答案为：3.2108 14 （3 分） 九章算术中记载： “今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得 甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是： “今有甲乙二人，不知其钱包里 有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为 50；而甲把其? ?的钱给乙，则乙的钱 数也为 50问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y，根据题意，可列方 程组为 t t ? ? ? ? ? ? ? t t ? ? ? 【解答】解：由题意可得， t t ? ? ? ? ? ? ?
29、t t ? ? ? ， 故答案为： t t ? ? ? ? ? ? ?t t ? ? ? 15 （3 分）如图是抛物线 yax2+bx+c 的部分图象，图象过点（3，0） ，对称轴为直线 x1， 有下列四个结论：abc0；ab+c0；y 的最大值为 3；方程 ax2+bx+c+1 第 19页（共 33页） 0 有实数根其中正确的为（将所有正确结论的序号都填入） 【解答】解：抛物线开口向下， a0， 对称轴 x? ? ?t ?1， b2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴， c0， abc0，故错误； 抛物线与 x 轴的交点（3，0） ，对称轴为直线 x1， 抛物线 x 轴的另一个交点
30、在（1，0） ， 当 x1 时，yab+c0，即正确； 由图象无法判断 y 的最大值，故错误； 方程 ax2+bx+c+10 的根的个数，可看作二次函数 yax2+bx+c 与 y1 的交点个数， 由图象可知，必然有 2 个交点，即方程 ax2+bx+c+10 有 2 个不相等的实数根 故正确 故答案为： 16 （3 分）若ABC 为直角三角形，ACBC4，以 BC 为直径画半圆如图所示，则阴影 部分的面积为4 第 20页（共 33页） 【解答】解：连接 CD BC 是直径， BDC90，即 CDAB； 又ABC 为等腰直角三角形， CD 垂直平分斜边 AB， CDBDAD, t? ? ? ?
31、 ?, S弓形BDS弓形CD， S阴影SRtABCSRtBCD； ABC 为等腰直角三角形，CD 是斜边 AB 的垂直平分线， SRtABC2SRtBCD； 又 SRtABC? ? ? ?448， S阴影4； 故答案为：4 17 （3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠（ADAB） ，使 AB 落在 AD 上，AE 为折痕，然 后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E 点不动，将 BE 边折起，使点 B 落在 AE 上的点 G 处，连接 DE，若 DEEF，CE2，则 AD 的长为4+2 ? 第 21页（共 33页） 【解答】解：由翻折的性质可知，EBEB,BABEEBD90, 在 RtEBF 和
32、 RtEBD 中， ?t ? ?t晦 ? ? ? , RtEBFRtEBD（HL）, BFDB, 四边形 ABCD 是矩形， CCDBEBD90, 四边形 ECDB是矩形， DBEC2, BFEC2, 由翻折的性质可知，BFFG2,FAG45,AGFBAGF90, AGFG2, AF2 ? ABAB2+2 ?, ADAB+DB4+2 ?, 故答案为：4+2 ? 18 （3 分）如图，点 B1在直线 l：y? ? ?x 上，点 B1 的横坐标为 2，过点 B1作 B1A1l，交 x 第 22页（共 33页） 轴于点 A1，以 A1B1为边，向右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1交 x 轴
33、于点 A2；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2交 x 轴于点 A3；以 A3B3为边，向右作正方形 A3B3B4C3， 延长 B4C3交 x 轴于点 A4； ； 照这个规律进行下去， 则第 n 个正方形 AnBnBn+1n 的边长为（结果用含正整数 n 的代数式表示） 【解答】解：设直线 y? ? ?x 与 x 轴夹角为，过 B1 作 B1Hx 轴于 H，如图： 点 B1的横坐标为 2，点 B1在直线 l：y? ? ?x 上，令 x2 得 y1, OH2，B1H1，OB1?t t?， tan? t? ? ? ? ?, RtA1B1O 中，A1B1OB1tan?
34、? ? ，即第 1 个正方形边长是 ? ? ， OB2OB1+B1B2? t ? ? ? ? ? ?3， RtA2B2O 中，A2B2OB2tan? ? ? ?3 ? ? ? ? ? ? ? ?，即第 2 个正方形边长是 ? ? ? ? ?， OB3OB2+B2B3? ? ? ?3t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， RtA3B3O 中，A3B3OB3tan? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即第 3 个正方形边长是 ? ? ? ? ? ? 第 23页（共 33页） ? ? ?（? ?） 2， OB4OB3+B3B4? ? ? ? ? ? t ? ? ? ?
35、 ? ? ? ? ? ? ? ， RtA4B4O 中，A4B4OB4tan? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，即第 4 个正方形边长是 ? ? ? ? ? ? ? ? ?(? ?) 3， . 观察规律可知：第 n 个正方形边长是 ? ? ?(? ?) n1， 故答案为： ? ? ?(? ?) n1 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 7 小题小题，满分满分 78 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步证明过程或推演步 骤）骤） 19 （10 分） （1）先化简，再求值：? ?t? tt? ? t t ? ? t?ttt? tt? ，
36、其中 a? t3； （2）解不等式：1? ?t? ? ?t? ? 【解答】解： （1）原式?t? tt? ? ?t?tt? tt? ? tt? ?t? ? ?t?t?t? tt? ? tt? ?t? ? t t?， 当 a? t3 时，原式? ?t? ?t? ? ?t? ? ? ? ?； （2）去分母，得：8（7x1）2（3x2） ， 去括号，得：87x+16x4， 移项，得：7x6x418， 合并同类项，得：13x13， 系数化 1，得：x1 20 （10 分）为庆祝中国共产党成立 100 周年，落实教育部关于在中小学组织开展“从小 学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知要求，某学校举行党史
37、知识竞赛，随机调 查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表根据统计图表提供的信息， 解答下列问题： （1）本次共调查了50名学生；C 组所在扇形的圆心角为72度； （2）该校共有学生 1600 人，若 90 分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？ 第 24页（共 33页） （3）若 E 组 14 名学生中有 4 人满分，设这 4 名学生为 E1，E2，E3，E4，从其中抽取 2 名学生代表学校参加上一级比赛， 请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 E1， E2 的概率 竞赛成绩统计表（成绩满分 100 分） 组别分数人数 A 组75x 80 4 B 组80 x 85 C 组85x
38、90 10 D 组90 x 95 E 组95x 100 14 合计 【解答】解： （1）本次共调查的学生1428%50（人） ； C 组的圆心角为 360 ? ? ?72， 故答案为 50；72； （2）B 组的人数为 5012%16（人） ， 则 D 组的人数为 504611416（人） ， 则优秀的人数为 1600 ?tt? ? ?960（人） ； 第 25页（共 33页） （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到 E1，E2 的结果数为 2， 所以恰好抽到 E1，E2 的概率? ? ? ? ? t 21 （10 分）如图，点 P 为函数 y? ? ?x+1 与函数 y
39、? ? t（x0）图象的交点，点 P 的纵坐标 为 4，PBx 轴，垂足为点 B （1）求 m 的值； （2） 点M是函数y? ? t （x0） 图象上一动点， 过点M作MDBP于点D， 若tanPMD? ? ?， 求点 M 的坐标 【解答】解：点 P 为函数 y? ? ?x+1 图象的点，点 P 的纵坐标为 4， 4? ? ?x+1，解得：x6， 点 P（6，4） ， 点 P 为函数 y? ? ?x+1 与函数 y? ? t（x0）图象的交点， 4? ? t， m24； （2）设点 M 的坐标（x，y） ， tanPMD? ? ?， 第 26页（共 33页） ? ? ? ? ?， 点 M 在
40、点 P 右侧，如图， 点 P（6，4） ， PD4y，DMx6， ? t?t ? ? ?， xym24， y? ? t ， 2（4? ? t ）x6，解得：x6 或 8， 点 M 在点 P 右侧， x8， y3， 点 M 的坐标为（8，3） ； 点 M 在点 P 左侧， 点 P（6，4） ， PDy4，DM6x， ? t?t ? ? ?， 第 27页（共 33页） xym24， y? ? t ， 2（4? ? t ）x6，解得：x6 或 8， 点 M 在点 P 左侧， 此种情况不存在； 点 M 的坐标为（8，3） 22 （10 分）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药
41、厂紧急 批量生产， 计划每天生产疫苗 16 万剂， 但受某些因素影响， 有 10 名工人不能按时到厂 为 了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作 8 小时增加到 10 小时，每人每小时 完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗 15 万剂 （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产 4 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为 10 小时若上级 分配给该厂共 760 万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 【解答】解： （1）设当前参加生产的工人有 x 人，由题意可得： ?t ?tt? ? ? ?t， 解得：x30， 经检验：x30 是原分式方程的解，且符合
42、题意， 当前参加生产的工人有 30 人； （2）每人每小时完成的数量为：168400.05（万剂） ， 设还需要生产 y 天才能完成任务，由题意可得： 415+（30+10）100.05y760， 解得：y35， 35+439（天） ， 该厂共需要 39 天才能完成任务 23 （11 分）四边形 ABCD 为矩形，E 是 AB 延长线上的一点 （1）若 ACEC，如图 1，求证：四边形 BECD 为平行四边形； （2）若 ABAD，点 F 是 AB 上的点，AFBE，EGAC 于点 G，如图 2，求证：DGF 是等腰直角三角形 第 28页（共 33页） 【解答】证明： （1)四边形 ABCD
43、为矩形， ABCD,ABCD,CBAE, 又ACEC, ABBE, BECD,BECD, 四边形 BECD 为平行四边形； (2)ABAD, 矩形 ABCD 是正方形， EGAC, EGAE45, GEGA, 又AFBE, ABFE, FEAD, 在EGF 和AGD 中， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , EGFAGD(SAS), GFGD,DGAFGE, DGFDGA+AGFEGF+AGFAGE90, DGF 是等腰直角三角形 24 （13 分）二次函数 yax2+bx+4（a0）的图象经过点 A（4，0） ，B（1，0） ，与 y 轴 交于点 C，点 P 为第二象限内抛物线上
44、一点，连接 BP、AC，交于点 Q，过点 P 作 PD x 轴于点 D 第 29页（共 33页） （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，当DPB2BCO 时，求直线 BP 的表达式； （3）请判断：?t tt是否有最大值，如有请求出有最大值时点 P 的坐标，如没有请说明理 由 【解答】解： （1）二次函数 yax2+bx+4（a0）的图象经过点 A（4，0） ，B（1，0） ， t ? ? ? ?t ? ? ? ? ? t? ? ? t t ? t ? ? ? ， 解得： t ? ? ? ? ?， 该二次函数的表达式为 yx23x+4； （2）如图，设 BP 与 y 轴交于点 E， P
45、Dy 轴， DPBOEB， DPB2BCO， OEB2BCO， ECBEBC， BECE， 设 OEa，则 CE4a， BE4a， 在 RtBOE 中，由勾股定理得：BE2OE2+OB2， (4a)2a2+12， 解得：a? ? ? ， E(0，? ? )， 设 BE 所在直线表达式为 ykx+e(k0)， 第 30页（共 33页） ? ? ? t h ? ? ? ? ? ? t h ? ? ， 解得： ? ? ? ? h ? ? ? ， 直线 BP 的表达式为 y? ? ? xt ? ? ； （3）?t tt有最大值 如图，设 PD 与 AC 交于点 N， 过点 B 作 y 轴的平行线与 A
46、C 相交于点 M， 设直线 AC 表达式为 ymx+n， A(4，0)，C(0，4)， ? ? ? ? ? th ? ? ? ? ? t h ? ? ， 解得： ? ? ? h ? ? ， 直线 AC 表达式为 yx+4， M 点的坐标为（1，5） ， BM5， BMPN， PNQBMQ， ?t tt ? ? t? ? ? ? ， 设 P(a0，a023a0+4)(4a00)，则 N(a0，a0+4)， ?t tt ? ?t?t?t?t?t? ? ? ?t?t? ? ? ?t?t?t? ? ， 当 a02 时，?t tt有最大值， 此时，点 P 的坐标为(2，6) 25 （14 分）如图 1，
47、O 为半圆的圆心，C、D 为半圆上的两点，且t? ? ? ? ?连接 AC 并延 第 31页（共 33页） 长，与 BD 的延长线相交于点 E （1）求证：CDED； （2）AD 与 OC，BC 分别交于点 F，H 若 CFCH，如图 2，求证：CFAFFOAH； 若圆的半径为 2，BD1，如图 3，求 AC 的值 【解答】 （1）证明：如图 1 中，连接 BC ? ? ? t? ?, DCBDBC, AB 是直径， ACBBCE90, E+DBC90,ECD+DCB90, EDCE, DEDC (2)证明：如图 2 中， 第 32页（共 33页） CFCH, CFHCHF, AFOCFH, AFOCHF, t? ? ? ? ?, CADBAD, AFOAHC, ? ? ? ? ?, ? ? ? ? ?, CFAFOFAH 解：如图 3 中，连接 CD 交 BC 于 G.设 OGx,则 DG2x ? ? ? t? ?, CODBOD, OCOB, ODBC,CGBG, 在 RtOCG 和 RtBGD 中，则有 22x212(2x)2, x? ? ?,即 OG? ? ?, OAOB, 第 33页（共 33页） OG 是ABC 的中位线， OG? ? ?AC, AC? ? ?
