1、第 1页，共 13页江苏省 2021-2022 学年度第一学期南通市如东县期中数学试卷一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分）1.点 ?ffa 8f0到直线 ?f8 30 6 0 的距离为f?0A.1B.3C.fD.?【答案】?【解析】点 ?ffa 8f0到直线 ?f8 30 6 0 的距离：? 6?f?f?3?2? 8326 ?故选 D2.圆?1：f2? 02? 2f8 08 2 6 0 与圆?2：f2? 028 ?f? 20? ? 6 0 的位置关系是f?0A.相交B.外切C.内切D.外离【答案】?【解析】圆?1的标准方程是ff ? 102? f08 3026 3，所以圆心是?1f
2、8 1a30，半径是?16 ，圆?2的标准方程是ff8 202? f0? 1026 1，所以圆心是，半径是?26 1，所以两个圆心的距离是?1?2? 6f 8 1 8 202? f3? 1026 f，因为?1?2? 6 ?18 ?2，所以圆?1与圆?2内切，3.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵赠分八子做盘缠，次第每人分十七要作第八数来言”.题意是把 ? 斤绵分给 ? 个儿子做盘缠按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分 1? 斤绵则年龄最大的儿子分到的绵是f?0A.f 斤B.?2 斤C.1? 斤D.1? 斤【答案】?【解析】记 ? 个儿子按年龄从大到小
3、依次分绵?1斤，?2斤，?3斤，?，?斤，则数列?为公差为 1? 的等差数列因为绵的总数为 ? 斤，所以 ?1?2? 1? 6 ?，解得?16 f故选：?4.过直线 3f? ?0? 12 6 0 上一点 ? 作圆 ?： f2? 028 2f 6 0 的切线， 切点为 ?， ?，则四边形 ? 的面积的最小值为f?0A.B.2 2C.3D.2 3【答案】?第 2页，共 13页【解析】解：圆 ?：f2? 028 2f 6 0 的圆心 ?f1a00，半径 ? 6 1，由于 ? ? ?，? ? ?，? 6 ?，可得四边形 ? 的面积为12?12? 6 ? 6 ?，又?26 ?28 ?26 ?28 1，要
4、求四边形 ? 的面积的最小值，只需求?的最小值，即求?的最小值而?的最小值为 ? 到直线 3f? ?0? 12 6 0 的距离 ?由点到直线的距离公式可得 ? 6?3?0?12?16 3，所以?的最小值为328 1 6 2 2，则四边形 ? 的面积的最小值为 2 2故选：?求得圆 ? 的圆心和半径， 由切线的性质和四边形的面积求法， 结合勾股定理和点到直线的距离公式，计算可得所求最小值本题考查直线和圆的位置关系，以及切线的性质和点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题5.下列四个命题：经过定点?0f0a00的直线都可以用方程 0 8 006 t f 8 f0表示；经过定
5、点 ? 0a? 的直线都可以用方程 0 6 kx ? ? 表示；不经过原点的直线都可以用方程f?0?6 1 表示；经过任意两个不同的点?1f1a01、?2f2a02的直线都可以用方程 0 8 01f28f16 f 8 f1028 01表示，其中真命题的个数为f 0A.0B.1C.2D.3【答案】?【解析】 不正确， 当直线的斜率不存在时， 经过定点?0ff0a000的直线不可以用方程 0 8006 tff8 f00表示不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点 ?f0a?0的直线不可以用方程 0 6 tf? ?表示不正确，当直线和 f 轴垂直或者与 0 轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程f?第
6、 3页，共 13页0?6 1 表示正确， 斜率有可能不存在， 截距也有可能为 0， 但都能用方程f08 010ff28 f10 6 ff8f10f028 010表示故选 B6.椭圆f2?02?26 1 与双曲线f2?80226 1 有相同的焦点，则 ? 的值为f 0A.1B.2C.2D.3【答案】?【解析】因为椭圆f2?02?26 1 与双曲线f2?80226 1 有相同的焦点，所以 ? t 0，且椭圆的焦点在 f 轴上，所以 ? 8 ?26 ? ? 2，所以 ? 68 2，或 ? 6 1，因为 ? t 0，所以 ? 6 1故选 A?.过抛物线 ?：026 f 的焦点且垂直于 f 轴的直线被双
7、曲线 ?：f2?28 026 1f? t 00所截得线段的长度为 2 2，则双曲线的离心率为A.2B.f?12C.?2D.213【答案】?【解析】?抛物线026 f，则 2t 6 ，可得 t 6 3，故抛物线的焦点坐标为 ?f32a00，?直线 f 632被双曲线 ?：f2?28 026 1f? t 00所截得线段的长度为 2 2，由双曲线的对称性可知，点f32a 20在双曲线 ? 上，?28226 1，解得?263?，而?26 1，? ?26 ?2? ?26?，故?26?2?26?3，即 ? 6213，故选 D第 ?页，共 13页8.已知抛物线 ?：026 2pxft t 00的焦点 ? 与
8、双曲线?f238 ?026 1 的右焦点相同，过点? 分别作两条直线?1a?2， 直线?1与抛物线 ? 交于 ?， ? 两点， 直线 ?2与抛物线 ? 交于 ?，? 两点，若?1a?2斜率的平方和为 1，则?AB? ? ?DE?的最小值为f0A.1B.20C.2?D.32【答案】?【解析】双曲线?f238 ?026 1 的右焦点为f1a00，抛物线 ?：026 2tf 的焦点 ? 为f1a00，t 6 2，则抛物线 ?：026 ?f，设直线?1：0 6 t1ff8 10，直线?2：0 6 t2ff8 10，由题意可知，则t12? t226 1，联立0 6 t1ff 8 10026 ?f，整理得
9、：t12f28 f2t12? ?0f? t126 0，设 ?ff1a010，?ff2a020，则f1? f262t12?t126 2 ?t12，设 ?ff3a030，?ff?a0?0，同理可得：f3? f?6 2 ?t22，由抛物线的定义可得，? 6 f1? f2? t 6 ? ?t12，? 6 f3? f? t 6 ? ?t22，? ? ? ? 6 ? ?t12?t226 ? ?ft12? t220t12t226 ? ?t12t22? ? ?ft12?t222026 2?，当且仅当t126 t22612时，上式“6”成立，? ? ? ?的最小值 2?故选 C二、多选题（本大题共 4 小题，共
10、 20.0 分）8.抛物线?1：026 2pxft t 00与双曲线?2：f2?80236 1 具有共同的焦点 ?，过 ? 作?2的一条渐近线的垂线 ?，垂足为 ?，? 与?1交于 ?、? 两点，? 为坐标原点，则有第 f页，共 13页A.t 6B.?2的渐近线方程为 0 633fC.OH 6 3D.? 的倾斜角为锐角，则经过 ?、? 且与直线 ? 相切的圆的标准方程为f 832?0 8 126 ?【答案】?【解析】双曲线的 ? 6? ? 3 6 2 3，?t26 2 3 ? t 6 ? 3，? 错；令f2?80236 0 得到双曲线的渐近线方程为 0 633f，B 正确；渐近线的倾斜角， C
11、 正确；直线 ? 的倾斜角为，该圆圆心为 ?，必在 ? 的垂直平分线上，故 ? 的横坐标为 3，又 ? ? ?，即，故 ? 的纵坐标为 1，圆的半径为 2，故圆的方程为ff8302? f08 1026 ?，D 正确，故选 BCD9.若经过?f18 ?a1? ?0和?f3a?0的直线的倾斜角为钝角， 则实数? 的值不可能为f?0A.8 2B.0C.1D.2【答案】?【解析】据题意可知t?61?8?18?8361828? 0，即 2 ? ? t 0，所以 ? t8 2故选：?10.已知等差数列?中，?3? 6 ?，公差 ? ? 0，则使其前 ? 项和?取得最大值的自然数 ? 是f?0A.?B.fC
12、.D.?【答案】?【解析】? ? ? 0，?3? 6 ?，? ?368 ?，? ?1? 2? 68 ?18 ?，? ?1? f? 6 0，? ?6 0，?当 1 ? ? ? f 时，?t 0，第 页，共 13页? ?取得最大值时的自然数 ? 是 f 或 故选 BC11.已知椭圆 ? f2?2?02?26 1f? t ? t 00的左，右两焦点分别是?1，?2，其中?1?26 2?.直线 ? 0 6 tff? ?0ft ?0与椭圆交于 ?，? 两点则下列说法中正确的有f 0A.? ABF2的周长为 ?B.若 AB 的中点为 ?，则tOM t 6?2?2C.若?1? ?2?6 3?2，则椭圆的离心
13、率的取值范围是ffa12D.若 AB 的最小值为 3?，则椭圆的离心率 ? 613【答案】?【解析】直线 ?：0 6 tff? ?0恒过定点f 8 ?a00，即过左焦点，? ?2 的周长为 ?1? ?2? ?1? ?26 ?，A 正确；设 ? f1a01，? f2a02，则t 601802f18f2，点 ?f1?f22a01?022，? t?601?022f1?f22601?02f1?f2，则f12?2?012?26 1f22?2?022?26 1a两式相减得，f1?f2f18f2?26801?0201802?2，?01802f18f268f1?f2?201?02?2681t?2?2，? t?
14、t 68?2?2，故 B 错误；?1?6 8 ? 8 f1a 8 01，?2?6 ? 8 f1a 8 01，? ?1?2?6 8 ? 8 f1? 8 f1? 0126 f12? 0128 ?26 3?2，即f12? 0126 ?2，即 ? 在以 ? 为圆心，2? 为半径的圆上，临界状态下，圆分别经过短轴、长轴的端点，如图中两个圆，第 ?页，共 13页令 2? 6 ?，?26 ?26 ?28 ?2，即?26 f?2，离心率?16?2?26ff，令 2? 6 ?，?26 ?28 ?26 ?28 ?2，即?26 ?2，离心率?16?2?2612，则椭圆的离心率的取值范围是?ffa12?，C 正确；?
15、 为椭圆的通径时 ? 最小，即 ? ? f 轴，令 f 68 ?，?2?2?02?26 1，解得 0 6?2?，?通径为2?2?6 3?，整理得 2?2? 3? 8 2?26 0，即 2?2? 3?8 2 6 0，解得 ? 612，? 68 2f不合题意舍去0，故 D 错误故选 AC三、单空题（本大题共 3 小题，共 15.0 分）12.双曲线f2?2802?26 1f? t 0a? t 00的离心率为102，则其渐近线的斜率是_【答案】2【解析】由题意知 ? 6?6102，又因为在双曲线中，?26 ?2? ?2，所以?26?2?26 1 ?2?26f2，故?62，所以其渐近线的斜率 t 6?
16、62，故答案为：213.数列?满足?16 1 81?，?6 2，则?20216_【答案】12【解析】由题意，数列?满足?16 1 81?，?6 2，所以?6 1 81?3，得?368 1，由?36 1 81?2，得?2612，由?26 1 81?1，得?16 2，第 ?页，共 13页所以 ?为 2a12a 81a2a12a 81?，数列?的最小正周期为 3，所以?201f6 ?2612故答案为1214.已知 ? 为坐标原点，?，? 为抛物线 026 2tfft ? 00上异于点 ? 的两个动点，且? 6 ?0?，若点 ? 到直线 ? 的距离的最大值为 ?，则 t 的值为_【答案】?【解析】解：
17、设直线 ? 的方程为 0 6 tf，联立方程0 6 tf026 2tf，解得点 ?f2tt2a2tt0，?直线 ? 的方程为 0 681tf，? ?f2tt2a 82tt0，?直线 ? 的方程为 0 ? 2tt 62tt?2tt2tt282tt2ff8 2tt20，即 0 ? 2tt 6t18t2ff 8 2tt20，令 0 6 0 得，f 6 2t，?直线 ? 必过定点f2ta00，?当直线 ? 垂直于 f 轴时，点 ? 到直线 ? 的距离的最大，? 2t 6 ?，? t 6 ?故答案为：?四、多空题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）15.已知圆f2? 026 3a f 8 102? 0
18、26 ? 交于 ?a? 两点，? 在第一象限，则AB 6;若过点 ? 的弦交两圆于 ?a?， 且 AC 6 AD ， 则直线 CD 的斜率是【答案】?f【解析】根据题意，圆 ?tf2? 026 3，圆心 ?f0a00，半径为 ，圆ff 8 1002? 026 ?，圆心 ?f10a00半径为 ?，则 ? 6 10， ? 6 a ? 6 ?，易知 ? ? ?，根据等面积法可得 ? 6 2?6 2 ?106?f；联立两个圆方程f2? 026 3f 8 102? 026 ?，得 f 6 3.，? 在第一象限，可得 ?f3.a?.?0，易知直线 ? 的斜率存在，第 ?页，共 13页设直线 ? 的方程是
19、0 8 ?.? 6 tff8 3.0，即 10tf8 100? ?8 3t 6 0，? ? 6 ?，? 38f?83t02100t2?1006 ?8f?t?02100t2?100解得：t 6?2?五、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）16.已知直线 ? 经过f1a20f10当直线的倾斜角为 0?时，求直线 ? 的方程；f20当直线 ? 在两坐标轴上的截距相等时，求直线 ? 的方程【答案】f10由题意，直线 ? 的倾斜角为0?时，可得直线 ? 的斜率为 t 6 tan0?63，又由直线 ? 经过f1a20，所以直线 ? 的方程为 0 8 2 63ff 8 10，即直线 ? 的方程为
20、3f 8 0 ? 2 83 6 0f20当直线 ? 过原点时，因为直线 ? 经过f1a20，可得直线 ? 方程为 0 6 2f，即 2f8 0 6 0；当直线不过原点时，可设直线 ? 的方程为f?0?6 1f? ? 00，因为直线 ? 过点f1a20，可得1?2?6 1，解得 ? 6 3，所以直线 ? 的方程为 f ? 0 8 3 6 0综上所述，直线 ? 的方程为 f ? 0 8 3 6 0 或 2f8 0 6 017.已知?是公差为 ? 的无穷等差数列，其前 ? 项和为?.又_，且?f6 ?0，是否存在大于 1 的正整数 t，使得?t6 ?1？若存在，求 t 的值；若不存在，说明理由从?1
21、6 ?，? 68 2 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答第 10页，共 13页【答案】解：若选，?16 ?，因为?是等差数列，所以?f6 f ? ? ? 10? 6 ?0，故 ? 6 2，?t6 ?t?12tft8 10 ? 2 6 t2? 3t，由?t6 ?1可得t2? 3t 6 ? 可得 t 6 1 或 t 68 ?f舍0，故不存在 t t 1 使得?t6 ?1；若选，? 68 2，因为?是等差数列，由?f6 f?1? 10 ? f 8 20 6 ?0，可得?16 12，?t6 12t?t t812? 8 2 6 13t8 t2，因为?t6 ?1，所以 13t8 t26 12，解
22、可得 t 6 1 或 t 6 12，因为 t 6 12 t 1，存在在 t t 1 使得?t6 ?118.已知圆 ?： ff8 202? f08 3026 1 与直线 ?： f2? t0f? f18 2t00? ?t 8 12 6 0f10证明：直线 ? 过定点，并求出其坐标；f20若直线 ? 和圆 ? 交于 ?，? 两点，求? ? 面积的最大值【答案】f10证明：?直线 ?tf2? t0f? f18 2t00? ?t 8 12 6 0，即 tff8 20? ?0 ? f2f? 0 8 120 6 0令f 8 20? ? 6 02f? 0 8 12 6 0解得f 6 30 6 ?a?不论 t
23、取何值，直线 ? 必过定点 ?f3a0f20由f10知：直线 ? 经过圆 ? 内一定点 ?f3a0，圆心 ?f2a30，设圆心 ? 到直线 ? 的距离为 ?，则6128 ? 1?26128 f?28 ?02? ?，因为 ? f0?a? 10?，所以 ? 6 2 2时，? ? 面积的最大值为 ?第 11页，共 13页19.已知双曲线 ? 的中心是原点，右焦点为 ?f 3a00a，一条渐近线方程为 f ?20 6 0，直线 ?tf 8 0 ?3 6 0 与双曲线交于点 ?，? 两点.记 FA，FB 的斜率分别为t1at2.f10求双曲线 ? 的方程;f20求1t1?1t2的值【答案】解：f10设双
24、曲线的方程为f2?2802?26 1，f? t 0a? t 00，由题意，?2? ?26 3，该双曲线的渐近线方程 0 6?f，又双曲线的一条渐近线方程为 f ?20 6 0，所以?622，所以?26 2a?26 1，所以双曲线 ? 的方程为f228 026 1；f20设 ? f1a01a? f2a02，由f228 026 1f 8 0 ?3 6 0，消去 f 化简可得02? 2 30 8 1 6 0，? t 0，所以01? 0268 2 3，010268 1，所以1t1?1t26f18 301?f28 30260182 301?0282 3026 2 8 2 3 101?1026 2 8 2
25、 3 01?0201026 2 8 2 3 ?82 38168 1020.某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽 ? 米，要求通行车辆限高 f 米，隧道全长 1.f 千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状f如图所示0f0若最大拱高 ? 为 米，则隧道设计的拱宽 ? 至少是多少米？f结果取整数0f0如何设计拱高 ? 和拱宽 ?，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？f结果取整数0第 12页，共 13页参考数据： 11 3.3，椭圆的面积公式为 ? 6 ?，其中 ?，? 分别为椭圆的长半轴和短半轴长【答案】解：f0建立直角坐标系 f?0 如图所示，则点 ?faf0在椭圆f2?2?02?2
26、6 1 上，将 ? 6 ? 6 与点 ?faf0代入椭圆方程，得 ? 6311，此时 ? 6 2? 6?211 21.?，因此隧道设计的拱宽 ? 至少是 22 米f0由椭圆方程f2?2?02?26 1，得3?2?2f?2? 1，因为 1?3?2?2f?2?2?f?，即 ? ? 0，? 6?2?30?，当且仅当?6f?且 ? 6 0 时取等号，由于隧道长度 ? 6 1.f 千米，故隧道的土方工程量 ? 6 ?，可知当 ? 取最小值时，隧道的土方工程量最小，当 ? 取得最小值时，有?6f?且 ? 6 0，得 ? 6 2，? 6 f 2，此时 ? 6 2? 6 12 2 1.?，? 6 ? ?.0?
27、，若 ? 6 ? 6 ?，此时 ? 6 2? 6 1?，此时，若 ? 6 ? 6 ?，此时 ? 6 2? 6 1?，此时?26?26?26 31.f?，因为?1t ?2，故当拱高为 ? 米、拱宽为 1? 米时，土方工程量最小21.已知椭圆 ?：f2?2?02?26 1f? t ? t 00的离心率为32，长轴长为 ?f0求椭圆 ? 的方程；f0设 ? 是椭圆 ? 上一点，且不与顶点重合，若直线?1? 与直线?2? 交于点 ?，直线?1? 与直线?2? 交于点 ?.求证：? BPQ 为等腰三角形第 13页，共 13页【答案】解：f0由题解得? 6 2? 6 1? 63所以椭圆 ? 的方程为f2?
28、 026 1f0证明：由f10知?1f 8 2a00，?2f2a00，设 ?ff0a000ff0? 2a00? 10，则f02? 0026 1，t?2?t?1?600f082?00f0?26002f028?681?，设直线?2? 方程为 0 6 tff8 20ft ? 0 且 t ?120，直线?1? 方程为 0 612f ? 1，由0 6 tff8 20a0 612f ? 1.解得点 ?f?t?22t81a?t2t810由于，于是直线?1? 的方程为 0 681?tff? 20，直线?2? 的方程为 0 6812f ? 1由0 681?tff? 200 6812f ? 1，解得点 ?f?t?22t81a822t810于是f?6 f?，所以 PQ ? f 轴设 PQ 中点为 ?，则 ? 点的纵坐标为?t2t81?822t8126 1故 PQ 中点在定直线 0 6 1 上从上边可以看出点 ? 在 PQ 的垂直平分线上，所以?BP? 6 ?BQ?，所以? BPQ 为等腰三角形第 1?页，共 1页
