1、集合的概念与运算知识点归纳知识点归纳1、集合的定义：一组对象的全体一个集合。2、集合中元素的三个特征：、。3、 集合的表示法：、。4、集合中的元素按元素个数可分为、。5、常用数集的表示：自然数集、整数集、Q、R、正整数集、空集。6、集合中的隶属关系：元素与集合的关系是和。符号是和。7、集合与集合的关系是和。符号是和。8、如果两个集合中的元素完全相同则称两个集合，用符号表示为。9、集合中的运算包括三种，即：交运算 AB；并运算 AB;补运算ACU，其中 U 为全集10、集合运算的几个性质：若 AB，BC，则；AAAAA；A；A；ABAABB；ACUA； ACUA；CU( CUA)； (CUA)(
2、CUB)； (CUA)(CUB) 11、若集合 A 中有 n)(Nn个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是, 所有非空子集的个数是所有非空真子集的个数是12、几种元素的区别：12|2xxyxA表示；12|2xxyyB表示；12| ),(2xxyyxC表示；12|2xxxxD表示；, 12| ),(2ZyZxxxyyxE表示；一、元素与集合之间的关系例1、已知集合 |3 , |31, |31,Mx xn nZNx xnnZPx xnnZ，且,aM bN，cP设dabc，则A、dMB、dNC、dPD、以上都不对答案：B例 2、已知|2 ,Ax xmn m nZ（1）设212
3、31,94 2,(1 3 2)34 2xxx，判断123,x x x与A的关系（2）任取12,x x，判断1212,xx x x与A的关系解： （1）由于11342232334 2x ，则1xA；由于2294 2(1 2 2)12 2x ，则2xA；由于23(1 3 2)196 2x ，则3xA。（2）由12,x xA，设1112222,2,xmnxmn（其中1122,m n m nZ）则121212()() 2xxmmnn（其中1212,mm nnZ）则12xxZ由于12112212121221(2)(2)(2)() 2x xmnmnm mn nm nm n，其中121212212,m mn
4、 n m nm nZ，则12x xZ二、集合与集合之间的关系例 3、设全集UR，集合2|1 ,|1 ,Mx xPx x，则下列关系中正确的是A、MPB、PMC、MPD、UMP 答案：C例 4、设集合1 |,36kPx xkZ，1 |,63kQx xkZ，则,P Q之间的关系是；答案：PQ例 5、已知27|9 ,|0 ,|24 ,1xAx xBxCx xx，（1）求AB及AB（2）若UR，求()RABC 解：由知|3Ax x 或3x ，| 17Bxx ，| 26Cxx （1）|37ABxx，|3ABx x 或1x 。（2）| 16BCxx ，()|1RBCx x 或6x ，()|3RABCx x
5、 或6x ，三、集合与不等式的联系例 1、已知2|4 ,|650Ax xaBx xx，且ABR，则a的取值范围是；例 2、设全集IR，集合|2 ,|,Mx xPx xa，并且IMP ，那么a的取值范围是；例 3 、 已 知 集 合22|320 ,|410 ,Ax xxBx mxxmR ，若AB且ABA，试求实数m的取值范围四、集合与函数的联系例 1、若1( )f xx的定义域, ( )M g xx为的定义域为N，令全集IR，则MN 。例 2、设( )21,(),f nnnN1,2,3,4,5 ,P 3,4,5,6,7Q ，|( )PnNf nP，|( )QnNf nQ，则()()NNPQQP痧
6、等于。例 3、记函数( )lg(23)f xx的定义域为集合M，函数2( )11f xx的定义域为集合N，求（1）集合,M N（2）集合,MN MN五、集合与解析几何的联系例1、集合( , )|,( , )|20 ,( , )|0 ,Ux yxR yRAx yxymBx yxyn那 么点(2,3)()UPAB 的充要条件是A、1,5mn B、1,5mn C、1,5mn D、1,5mn 例 2、集合22( , )|1(1) ,( , )|20Mx yyk xNx yxyy 那么MN中A、不可能有两个元素B、至多一个元素C、不可能只有一个元素D、必含无数个元素例 3、222( , )|,( , )
7、|Ax yxyBx yxy那么MN 。练习：1、若不等式|ax+2|6 的解集为（1，2） ，则实数 a 等于（）A.8B.2C.4D.82、不等式组030122xxx的解集是（）A.x|1x1B.x|0 x3C.x|0 x1D.x|1x33、满足条件 M1=1，2，3的集合 M 的个数是（）A.4B.3C.2D.14、设集合 M=x|x=412k，kZ，N=x|x=214k，kZ，则（）A.M=NB.M NC.M ND.MN=5、设全集 I=a，b，c，d，e，集合 M=a，b，c，N=b，d，e，那么IMIN 是（）A.B.dC.a，cD.b，e6、设集合 AxxZ 且10 x1 ，Bxx
8、B 且x5 ，则 AB 中元素的个数是（）A.11B.10C.16D.157、已知集合 A=1，2，3，4，那么 A 的真子集的个数是（）A.15B.16C.3D.48、如图 11，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A.（MP）SB.（MP）SC.（MP）ISD.（MP）IS9、设全集为 R，Axx25x60 ，Bx|x5a （a 为常数） ，且 11B，则（）A.RABRB.ARBRC.RARBRD.ABR10、设集合 M=x0 x2 ，集合 Nxx22x30 ，集合 M等于（）A.x0 x1B.x0 x2C.x0 x1D.x0 x211、设全集是实
9、数集 R，Mxx12，xR ，N1，2，3，4 ，则RMN 等于（）A.4B.3，4C.2，3，4D.1，2，3，412、已知集合 M （x，）x2 ，N （x，）x4 ，那么集合 MN为（）A.x=3，y=1B.（3，1）C.3，1D.（3，1）13、设全集 I1，2，3，4，5，6，7 ，集合 A1，3，5，7 ，B3，5 ，则（）A.IABB.IIABC.IAIBD.IIAIB14、已知全集 IN*，集合 Axx2n，nN* ，Bxx4n，nN ，则（）A.IABB.IIABC.IAIBD.IIAIB15、如果 Px（x1） （2x5）0，Qx0 x10 ，那么（）A.PQB.P QC.
10、P QD.PQR16、已知全集 I0，1，2，3，4 ，集合 M0，1，2 ，N0，3，4 ，则IMN 等于（）图 11A.0B.3，4C.1，2D.答案：1、 C2、 C3、 C4、 B5、 A6、 C7、 A8、 9、 D10、B11、B12、D13、14、15、B16、B【1.1.21.1.2】集合间的基本关系】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA （或)AB A 中的任一元素都属于 B(1)AA(2)A (3)若BA 且BC，则AC(4)若BA 且BA，则AB A(B)或BA真子集AB（或 BA）BA ，且 B 中至少有一元素不属于 A（1）A（A
11、 为非空子集）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等ABA 中的任一元素都属于 B， B 中的任一元素都属于 A(1)AB(2)BA A(B)（7）已知集合A有(1)n n 个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.【1.1.31.1.3】集合的基本运算】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集AB |,x xA且xB（1）AAA（2）A （3）ABAABB并集AB |,x xA或xB（1）AAA（2）AA （3）ABAABB补集UA |,x xUxA且1()UAA 2()UAAU ()()()UUUABAB痧()()()U
12、UUABAB痧A【补充知识】【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|(0)xa a |xaxa |(0)xa a|x xa 或xa|,|(0)axbc axbc c把axb看 成 一 个 整 体 ， 化 成|xa，|(0)xa a型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac 0 0 0 二次函数2(0)yaxbxc a的图象O=OLO一元二次方程20(0)axbxca的根21,242bbacxa （其中12)xx122bxxa 无实根20(0)axbxca的解集1 |x xx或2xx |x2bx
13、a R20(0)axbxca的解集12 |x xxx映射与函数一、知识回顾：1映射的定义：一般地，设 A、B 是两个集合，如果，对于集合 A中的任何一个元素，在集合 B 中都有和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、 B， 以及集合A到集合B的对应关系f） 叫做集合A到集合B的映射， 记作:fAB。集合 A 中的元素a叫，在集合 B 中与a对应的元素叫。2 对象、 原象的理解： (1) A 中每一个元素； (2)B 中每一个元素都有原象，不一定；(3)A 中每一个元素的象。3函数的定义：函数是一个A 到另一个B 的映射。记作( ),yf x xA， ，其中 x 叫做自变量，x 的取值范围 A
14、叫做；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做。4 两 个 函 数 的 相 等 ： 函 数 的 定 义 含 有 三 个 要 素 ， 即、和。5 分段函数： 在定义域内不同的区间上有不同的。 注： 分段函数是个函数，而不是多个函数。6复合函数：若( ),( ),( , )yf u ug x xm n，那么( )yf g x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是( )g x的值域。7.区间的概念及表示法设, a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做 , a b；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做( , )a b；满足axb，或a
15、xb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 , )a b，( , a b；满足,xa xa xb xb的实数x的集合分别记做 ,),( ,),(, ,(, )aabb注意：注意：对于集合 |x axb与区间( , )a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab一、函数的三要素例 1、判断下列函数是否为同一函数，为什么？（1）22( )21, ( )21f xxxg ttt：。（2）21( ), ( )11xf xg xxx：。（3）2( )1, ( )f xxxg xxx：。（4）11,( 11)( ), ( )( )1,(01)xxf xg xfxxx ：。例 2、下列各对函数中，相同的
16、是A、122( ), ( )()f xx g xxB、2( )1, ( )1,1,1f xxg xx x C、( ), ( )(1)yf x g xf xD、1( )lg( ) , ( )lg22xf xg xx例 3、给出下列四组函数（1）21( )lg , ( )lg2f xx g xx（2）2( ), ( )f xx g xx（3）( )21, ( )31f xxg xx（4）221( )1, ( )(1)1xf xxg xxx其中表示同一函数的是。二、判断是否是映射例 1、下列对应是否为从 A 到 B 的映射（1）1,:1AR BR fxyx（2）111|,|,:2AaaNBb bnN
17、fabna（3）2|0 ,:,Ax xBR fxy yx（4）A 平面内的矩形，B 平面内的圆，:f作矩形的外接圆。例 2、设集合,AR B正实数集，则从集合 A 到集合 B 的映射只可能是A、:fxyxB、:fxyxC、:3xfxyD、2:log (1)fxyx例 3、设| 22 ,|02MxxNyy ，函数( )f x的定义域为M，值域为N，则( )f x的图象可以是A、B、C、D、三、求象与原象例 1、在给定映射:( , )(2,)fx yxy xy下，点11( ,)66的原象是。例2、定义2:( , )(,2)fx yyyx下，若( , )(1,2)f m n ，则( , )m n 。
18、例 3、已知映射:fAB，其中ABR，对应法则2:2fxyxx ，对于实数kB，在集合中A不存在原象，则k的取值范围是。四、分段函数复合函数例 1、已知函数21sin(),( 10)( )(0)xxxf xex ，若(1)( )2ff a，则a的所有可能值为A、1B、21,2C、22D、21,2例 2、设212,(1)( )1(1)1xxf xxx，则1( )2ffA、12B、413C、95D、2541例 3、定义N在上的函数( )f x满足13,(2000)( )(18) ,(2000)nnf nff nn，则(2008)f的值为。练习：1 、 设BAf:是 集 合A到B的 映 射 ， 下
19、列 说 法 正 确 的 是（）A、A 中每一个元素在 B 中必有象B、B 中每一个元素在 A 中必有原象C、B 中每一个元素在 A 中的原象是唯一的D、B 是 A 中所在元素的象的集合2、30|,20|yyNxxM给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合N的函数关系的有（）A、 0个B、 1个C、 2个D、3个3、从集合A到B的映射中，下列说法正确的是（）AB 中某一元素b的原象可能不只一个BA 中某一元素a的象可能不只一个CA 中两个不同元素的象必不相同DB 中两个不同元素的原象可能相同4、已知集合 A=40 xx， B=20 yy,下列从 A 到 B 的对应f不是映射的是（）(A)x
20、yxf21:(B)xyxf31:(C)xyxf32:(D)281:xyxf5、设函数1 141 ) 1()(2xxxxxf，则使得1)(xf的自变量x的取值范围为（）（A）10, 02,(B) 1 , 02,(（C）10, 1 2,(（D）10, 1 )0 , 26、设 A，B 都是自然数集 N，映射:fAB把 A 中元素映射到 B 中的元素2xx，则 B中的元素 20 的原象是7 、 已 知 函 数22( )1xf xx， 那 么111(1)(2)( )(3)( )(4)( )234fffffff。xxx121122111222yyy3OOO8、 设函数( )f x的定义域为N， 且满足()
21、( )( )f xyf xf yxy，(1)1f， 则(5)f。9、已知1(0)( )1(0)xf xx，则不等式(2) (2)5xxf x的解集是10、点),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，则f的作用下点) 1 , 3(的原象为点_11、若集合1 , 0 , 1A，2 , 1 , 0 , 1, 2B，f：AB 表示 A 到 B 的一个映射，且满足对任意Ax都有 x + f（x）为偶数，则这样的映射有_ 个。12 、 设BAf:是 从 集 合 A 到 B 的 映 射 ，RyRxyxBA,),(，),(),( :bykxyxf，若 B 中元素（6，2）在映射f下的原象是(3,1)，则
22、bk,的值分别为_.13、已知)0.(1)0.()(, 12)(2xxxxgxxf，求 )(,)(xfgxgf。答案：1、A2、C3、A4、C5、A6、47、728、159、3,210、13,0,144(2,-1)11、1212、2,113、221(0)( ( )3(0)xxf g xx,21(21) ()2( ( )11()2xxg f xx定义域定义域知识回顾：求函数定义域一般有三类问题：求函数定义域一般有三类问题：一、给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；例 1、函数2( )3xf xx的定义域为。例 2、函数xxycoslg252的定义域为。例 3、函数2l
23、og2xy的定义域是（） DA、 （3，）B、3，）C、 （4，）D、4，）例 4、函数) 13lg(13)(2xxxxf的定义域是（）CA、 （，31）B、(31，31）C、(31，1）D、(31，）二、已知( )f x的定义域求 ( )f g x的定义域例 5、若函数( )f x的定义域为1,1，则(1)f x的定义域为。例 6、设xxxf22lg)(，则)2()2(xfxf的定义域为（）BA、)4 , 0()0 , 4(B、)4 , 1 () 1, 4(C、)2 , 1 () 1, 2(D、)4 , 2()2 , 4(三、已知 ( )f g x的定义域求( )f x的定义域：例 7、若函
24、数(1)f x的定义域为1,1，则( )f x的定义域为。例 8、若函数(1)f x的定义域为1,1，则函数( )( )(1)F xf xf x的定义域为。四、若函数由多个函数组成，则定义域由这几个函数的定义域的交集组成。例 8、已知函数)(xf的定义域为0，4 ，则函数)()3(2xfxfy的定义域为。例 9 、 若 函 数( )f x的 定 义 域 为1,1， 则 函 数( )( )(1)F xf xf x的 定 义 域为。五、 实际问题： 函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外， 还应考虑使实际问题有意义；例 10、某商场经营一批进价是 30 元/台的商品。在市场试销中发现， 此商品销
25、售单价x元与日销售量y台之间有如下关系：（1）在直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；x35404550y57422712（2）确定x与y的一个函数关系式)(xfy 。练习：一、选择题1、函数)34(log1)(22xxxf的定义域为（）A （1，2）（2，3）B), 3() 1 ,(C （1，3）D1，32、给出函数)4(),1()4(,)21()(xxfxxfx，则)3(log2f（）（A）823(B)111(C)191(D)2413、函数) 1(log221xy的定义域为（）（A）2, 1 () 1,2（B）)2, 1 () 1,2(（C）2 , 1 () 1,
26、2（D）)2 , 1 () 1, 2(4、设函数1 141 ) 1()(2xxxxxf，则使得1)(xf的自变量x的取值范围为（）（A）10, 02,(B) 1 , 02,(（C）10, 1 2,(（D）10, 1 )0 , 2二、填空题5、 （1）已知函数22( )1xf xx，那么111(1)(2)( )(3)( )(4)( )234fffffff。（2）设函数( )f x的定义域为N，且满足()( )( )f xyf xf yxy，(1)1f，则(5)f。6、已知1(0)( )1(0)xf xx，则不等式(2) (2)5xxf x的解集是7、函数1( )1xf xe的定义域是8、函数20
27、.5log(43 )yxx的定义域为9、 （1）函数)3(log13xy的定义域为（2）函数)23(log)12(xyx的定义域为.三、解答题10、求下列函数的定义域：(1)y=1|1|32xxx;(2)y=xxcosln25211、已知)0.(1)0.()(, 12)(2xxxxgxxf，求 )(,)(xfgxgf。12、已知函数)(xf的定义域为1,4，求下列各函数的定义域：（1）)(2xf；（2）)()()(xfxfxg；（3）( )(1)(1)h xf xf x答案：1、A2、D3、A4、A5、 （1）72（2）156、3,27、, 20,10 8、x|x09、(1)(,2)(2)2
28、|13x xx且10、(1) (0,2)(2,3，(2) 5,3/2(/2,/2)(3/2,511、221(0)( ( )3(0)xxf g xx,21(21) ()2( ( )11()2xxg f xx12、 （1） 2, 11,2x (2)x（3）当2,3x函数解析式求函数解析式的题型有：一、已知( )f x和( )g x，求( )f g x或( )g f x：代入法例 1、已知2( )21, ( )f xxg xx，则( )f g x。例 2、已知2( )21, ( )2f xxg xx，则( )g f x。例 3、已知21,(0)( ), ( )1,(0)xxf xg xxxx，则(
29、)g f x。二、已知 ( )f g x求( )f x：换元法、配凑法；例 1、已知2(1)23f xxx，则( )f x 。例 2、已知2(31)965fxxx，则( )f x 。例 3、已知2211()11xxfxx，则( )f x 。三、已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；例1 、 已 知( )f x是 一 次 函 数 ， 且(1)(1)23f xf xx， 则( )f x 。例 2、设二次函数( )f x满足(2)(2)f xfx，且( )0f x 的两实根平方和为 10，图像过点(0,3)，则( )f x 。例 3、二次函数1( )yf x的图象以原点为顶点且过点(1,1)，反
30、比例函数2( )yfx的图象与直线yx的两个交点间的距离为 8，12( )( )( )f xf xfx，则( )f x的解析式为。四、已知函数图像，求函数的解析式。例 1、已知函数的图象如图（1） ，则( )f x 。例 2、已知函数的图象如图（2） ，则( )f x 。例 3、已知函数的图象如图（3） ，则( )f x 。（1）（2）（3）五、( )f x满足某个等式，这个等式除( )f x外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；例 1、已知( )2 ()32f xfxx，则( )f x 。例 2、已知1( )2 ( )f xfxx，则( )f x 。例 3、 已知1( )2 ()32,
31、 ( )2 ( )f xfxxg xgxx， 则( )f g x。六、利用函数性质求解析式例 1 、 已 知( )f x是 奇 函 数 ，( )g x是 偶 函 数 ， 并 且( )( )1f xg xx， 则( )g x 。例 2、 在同一平面直角坐标系中， 函数( )yf x和( )yg x的图象关于直线yx对称，现将( )yg x的图象沿x轴向左平移 2 个单位，再沿y轴向上平移 1 个单位，所得图象是由两条线段组成的折线（如图） ，则函数( )f x的表示式为。例 3、已知( )f x是定义在6,6上的奇函数，它在0,3上是一次函数，在3,6上是二次函数，且当3,6x时( )(5)3,
32、(6)2f xff，求( )f x的解析式。练习：1、若( )23, (2)( )f xxg xf x，则( )g x的表达式为（）A、21xB、21xC、23xD、27x2、已知1) 1(xxf，则函数)(xf的解析式为（）A、2)(xxfB、) 1(1)(2xxxfC、) 1(22)(2xxxxfD、) 1(2)(2xxxxf3、下列各函数解析式中，满足)(21) 1(xfxf的是（）A、2xB、21xC、x2D、x21log4、已知32) 121(xxf，且6)(mf，则m等于（）A、41B、41C、23D、235、已知221111xxxxf，则)(xf的解析式可取为（）A、21xxB、
33、212xxC、212xxD、21xx6、设( )1f xxx，则1( )2ff()A、 21B、0C、21D、 17、若一次函数( )yf x在区间1,2上的最大值为 3，最小值为 1，则( )yf x的解析式为_8、若二次函数( )yf x过点(0,3),(1,4),( 1,6)，则( )f x _.9、已知( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，且1( )( )1f xg xx,则( )f x _10、若221)1(xxxxf，则函数) 1( xf=_.11、若函数)(xf满足关系式xxfxf3)1(2)(，则)(xf的表达式为_.1、B2、C3、C4、A5、A6、D7、27( )33
34、f xx 或25( )33f xx8、223xx9、21xx 10、223xx11、2xx函数的最值与值域知识回顾：求函数值域（最值）的一般方法：1、利用基本初等函数的值域；例：函数1( ),1,00,3f xxx 的值域为。函数( )23,1,3f xxx 的值域为。函数2( )23,5,0f xxxx 的值域为。函数2( )23,2,4f xxxx的值域为。函数2( )23,2,0f xxxx 的值域为。2、配方法（可转化为二次函数的函数） ；例：函数2( )sin2sin3f xxx的值域为。3、不等式法例：函数224( )1f xxx的值域为。4、函数的单调性：特别关注)0(kxkxy
35、的图象及性质例：函数4( ),(3,)f xx xx的值域为。5、分离常数法例：函数43( )1xf xx的值域为。6、判别式法例：函数21( )25xf xxx的值域为。7、换元法例：函数( )2f xxx的值域为。8、反函数法例：函数2( )32xf xx的值域为。二、练习：一、选择题1、函数的值域是131xy(A) (-) 1,(B) (), 0()0 ,(C) (-1,+)(D) (-), 0() 1,2、函数)1 (11)(xxxf的最大值是A54B45C43D343、已知32( )26f xxxa（a是常数） ，在2,2上有最大值 3，那么在2,2上的最小值是A5B11C29D37
36、4、已知函数322xxy在区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是A、 1，+）B、0，2C、 （-，2D、1，2二、填空题5、 函数2254xyx的值域为。 6、223xxy的值域是_.7、12xxy的最小值是_.8、312xxy的值域是_9、243xyx的值域是_三、解答题10、求下列函数的值域271011xxyxx xxy1211、当1,1x 时，求23yxax的最小值。答案：1、 D2、 D3、 D4、 D5、5,26、2,7、 -1 8、 |2y y 9、4,2310、(1)9,(2)17,8函数单调性函数单调性知识回顾：知识回顾：1、 对于给定区间 D 上的函数)
37、(xf， 如果_， 则称)(xf是区间 D 上的增（减）函数.2、判断函数单调性的常用方法：（ 1 ） 定 义 法 ： 设12,x x是 函 数( )f x定 义 域 内 的 两 个 不 同 的 变 量 ，若，则( )f x是增函数，若，则( )f x是减函数。（ 2 ） 导 数 法 ：对 函 数( )f x， 若 在 其 定 义 域 内 的 某 个 区 间D上 总有，则( )f x是增函数，若总有，则( )f x是减函数。（3）利用复合函数的单调性：对于复合函数，若内外层的单调性则为增函数，若单调性则为减函数。3.关于函数单调性还有以下一些常见结论：两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数
38、与一个减（增）函数的差是_；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性；互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性；3、求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法xo函数的单调性如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x x1 1 x x2 2时，都有 f(xf(x 1 1)f(x)f(x 2 2) )， 那 么 就 说f(x)在这个区间上是增函数增函数x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）
39、利用定义（2）利用已知函数的单调性（3） 利用函数图象 （在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x x1 1 f(x)f(x 2 2) )， 那 么 就 说f(x)在这个区间上是减函数减函数y=f(X)yxoxx2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3） 利用函数图象 （在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数 ( )yf g x， 令( )ug x，
40、 若( )yf u为增，( )ug x为增， 则 ( )yf g x为增；若( )yf u为减，( )ug x为减，则 ( )yf g x为增；若( )yf u为增，( )ug x为减，则 ( )yf g x为减；若( )yf u为减，( )ug x为增，则 ( )yf g x为减（2）打“”函数( )(0)af xxax的图象与性质( )f x分别在(,a 、,)a 上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地， 设函数( )yf x的定义域为I， 如果存在实数M满足： （1） 对于任意的xI，都有( )f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，我们
41、称M是函数( )f x的最大值，记作max( )fxM一般地，设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）对于任意的xI，都有( )f xm； （2）存在0 xI，使得0()f xm那么，我们称m是函数( )f x的最小值，记作max( )fxm典型例题分析典型例题分析一、求复合函数的单调性例 1、求下列函数的单调性，并确定每一个单调区间上的单调性（1）(1)yxx（2）21( )2xxy（3）22log (62)yxx二、用定义证明函数的单调性例 2、已知函数23( ),(0)1xf xxxx，确定函数( )f x的单调区间，并证明。例 3、讨论函数( ),(0)af xx
42、ax的单调性。三、利用单调性求参数的值或取值范围例 4、若函数22( )log (3 )f xxaxa在2,是增函数，求实数a的取值范围。例 5、已知奇函数32( )f xxaxbxc是定义在1,1上的增函数。（1）求实数b的取值范围（2）若21( )btbf x 对1,1x 恒成立，求实数t的取值范围。四、函数单调性的应用例 6、已知函数( )f x的定义域(0,)是，当1x 时( )0f x ，且()( )( )f xyf xf y（1）求(1)f（2）证明( )f x在定义域上是增函数（3）如果1( )13f ，求满足不等式1( )()22f xfx的x的取值范围。例 7、定义在R上的函
43、数( ),(0)0yf xf，当0 x 时( )1f x ，且对任意, a bR有()( ) ( )f abf a f b（1）证明：(0)1f（2）证明：对任意的xR，恒有( )0f x （3）证明：( )f x是R上的增函数（4）若2( ) (2)1f x fxx，求x的取值范围。练习1、下列函数中，在区间)2 , 0(上递增的是（）（A）xy1（B）xy（C）1 xy（D）122xxy2、设函数)(xf是减函数，且0)(xf，下列函数中为增函数的是（）（A）)(1xfy（B）)(2xfy （C）)(log21xfy （D）2)(xfy 3、下列函数中，在区间0 ,(上是增函数的是（）（A
44、）842xxy（B）)(log21xy（C）12xy（D）xy14、 如果奇函数 f(x)在区间3， 7上是增函数， 且最小值为 5， 那么在区间7， 3上是 （）A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为55、已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，它在), 0 上递减，那么一定有（）A) 1()43(2aaffB ) 1()43(2aaffC ) 1()43(2aaffD) 1()43(2aaff6、函数( )f xx和( )(2)g xxx的递增区间依次是A,0 ,1B ,0 , 1,C 0,1D0, 1,二、填空题7、函数3422)(xxxf的递增区
45、间为_；8、若函数2) 1(2)(2xaxxf在区间4 ,(上是减函数，则实数a的取值范围是_.9、已知偶函数)(xf在20 ，内单调递减，若) 1( fa，)41(log21fb ，)5 . 0(lgfc ，则a、b、c之间的大小关系是_10、已知)(xf是 R 上的增函数，A（0，1） ，B（3,1）是其图象上的两点，则不等式1| ) 1(|xf的解集为_三、解答题11、 已知奇函数)(xf是定义在)2 , 2(上的减函数， 若0) 12() 1(mfmf， 求实数m的取值范围。12、已知) 1(11log)(axkxxfa是奇函数。（1）求k的值，并求该函数的定义域；（2）根据（1）的结
46、果，判断)(xf在), 1 ( 上的单调性，并给出证明。13、 设)(xf是定义在R上的增函数， 并且对任意的0, 0yx，)()()(yfxfxyf总成立。（1）求证：1x时，0)(xf；（2）如果1)3(f，解不等式2) 1()(xfxf14、 设)(xf是定义在 R 上的函数， 对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf， 且当0 x时，1)(0 xf。 （1）求证：1)0(f；（2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在 R 上是减函数；（4）若1)2()(2xxfxf，求x的范围。答案：答案：1、D2、C3、B4、B5、B6、D7、,28、, 3 9、cab10、(-1,2
47、)11、1223m12、(1)1, 11,kx (2)减函数13、 （1）略(2)91x814、 （1）略（2）略（3）略(4)30 xx或函数的奇偶性函数的奇偶性知识回顾：知识回顾：1、函数的奇偶性定义：对 于 函 数)(xf， 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ：如 果_，那么函数)(xf为奇函数；如果_，那么函数)(xf为偶函数.2、函数奇偶性的性质：奇函数的图象关于_对称， 偶函数的图象关于_对称。 奇函数在对称区间的增减性；偶函数在对称区间的增减性。函数的奇偶性定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有 f( x)= f
48、(x)f(x) ,那么函数 f(x)叫做奇函奇函数数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数 f(x)定义域内任意一个x， 都有f( x)= f(x)f(x) ,那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数( )f x为奇函数，且在0 x 处有定义，则(0)0f奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个
49、偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数典型例题分析：典型例题分析：一、判断函数的奇偶性例 1、判断下列函数的奇偶性：（1）1( )(1)1xf xxx； （2）2lg(1)( )22xf xx；（3）22,(0)( ),(0)xx xf xxx x； （4）2,(1)( )0,( 11)2,(1)xxf xxxx ；（5）2( )2f xxxa； （6）22( )33f xxx；例 2、函数（1）sinyxx（2）2121xy （3）22 ,(0)( )log,(01)xxf xxx（4）2( )21,2,2f xxxx 中，图象具有对称性的是。例 3、定义在实数集上的函数( )f x，对任意
50、, x yR有()()2 ( ) ( )f xyf xyf x f y且(0)0f，（1）求证：(0)1f（2）求证：( )yf x是偶函数二、利用函数奇偶性的定义求参数例 4、若函数)2(log)(22axxxfn是奇函数，则a 例 5、已知函数22( )21xxaaf x是定义在实数集上的奇函数，求a的值。三、函数奇偶性的应用例 6、)(xf是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且0)2(f在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A2B3C4D5例 7、 已知( )g x是奇函数，22( )log (1)( )2xf xxxg x 且1( 3)58f ， 求(3)f。四、函数的奇偶、单
