1、8.6.2直线与平面垂直直线与平面垂直( (第第1课时课时) )第八章立体几何初步第八章立体几何初步90459060一条直线与一平面垂直的特征是什么？一条直线与一平面垂直的特征是什么？ 垂直于平面内的任意一条直线垂直于平面内的任意一条直线BACBC课堂探究课堂探究 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的内的任意任意一条直线一条直线都垂直，我们说直线都垂直，我们说直线 l 与平面与平面 互相垂直互相垂直. .定义定义lP平面平面 的垂的垂线线直线直线 l 的垂面的垂面垂足垂足平面内任意一平面内任意一条直线条直线l记为课堂探究课堂探究在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 . 将这一
2、结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么?结论：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.例如：例如：问题4根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单、易行的方法？二、探究、发现直线与平面垂直的判定定理二、探究、发现直线与平面垂直的判定定理准备一块三角形的纸片ABC，过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）思考：（1）折
3、痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？准备一块三角形的纸片ABC，过ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）思考：（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直?为什么？（折纸实验的GGB动画展示）二、探究、发现直线与平面垂直的判定定理二、探究、发现直线与平面垂直的判定定理追问追问1为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就和这个平面垂直？由基本事实的推论2可知，两条相交直线可以确定一个平面；由平面向量基本定理可知，这两条相交直线可以“表示” 这个平面内的所有直线因此，一条直
4、线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面二、探究、发现直线与平面垂直的判定定理二、探究、发现直线与平面垂直的判定定理追问追问2为什么直线与平面内两条相交直线垂直就可以判断直线与平面垂直，而不是“两条平行直线”或“三条两两相交直线”或“无数条直线”呢？一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.al bl abAbalbalA线线垂直 线面垂直判定定理性质垂直内相交5.直线和平面垂直的判定定理 1.例1. 如图,已知 ,求证:aba,/.bbamn根据直线与平面垂直的定义知.,nama又因为ab/所以所以.,nbmb又nmnm,是两条相交直线，所以.b证
5、明：在平面 内作两条相交直线m，n因为直线 ，a如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。斜线斜足射影垂足垂线一条直线垂直于平面,我们说它所成的角是直角；一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它所成的角是00的角.规定:想一想:直线与平面所成的角的取值范围是什么?6.直线和平面所成的角90,000A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证BC1面A1 DCB1.O111,:,a.B
6、C B COAO连接相交于点连接设正方体的棱长为解11111111111,ABBC ABBB BCBBB1111111,.ABBCC BABBC平面11,又BCBC1111A B 又BCB111. 平面ABCDCBA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D7.例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1 DCB1所成的角.O:解111. 平面ABCDCB11111111.AOA BA DCBBAOA BA DCB为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角111122aa.21,30 ,2A BOA BBOBOA BBA O 在直角中，111.
7、ABADCB直线和平面所成的角为30找角、证角求角1.如果两条直线和一个平面缩成的交相等，那么这两条直线一定平行吗？练习练习1：如图，如图，ABC是直角三角形，是直角三角形，ACB90，PA平面平面ABC，此图形中有，此图形中有 个直角三角形个直角三角形4PA平面ABC，PAAC，PAAB，PABC，ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCPC. 综上知： ABC，PAC，PAB，PBC都是直角三角形，共有4个练习练习2：如图，在三棱锥如图，在三棱锥SABC中，中，ABC90，D是是AC的中的中点，且点，且SASBSC.(1)求证：求证：SD平面平面ABC；(2)若若ABBC，求证：，求证：BD平面平面SAC.练习练习3：如图，如图，AB是圆是圆O的直径，的直径，PA垂直于圆垂直于圆O所在的平面，所在的平面，M是圆周上任意一点，是圆周上任意一点，ANPM，垂足为，垂足为N.求证：求证：AN平面平面PBM.2、怎样画出直线与平面所成角？、怎样画出直线与平面所成角？1、怎样判断一条直线与一个平面垂直？、怎样判断一条直线与一个平面垂直？ 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.直线与直线在平面射影所成角直线与直线在平面射影所成角. .直线与平面所成角直线与平面所成角取值范围是取值范围是0 09090. .
