1、8.6.2直线与平面垂直直线与平面垂直( (第第2课时课时) )第八章立体几何初步第八章立体几何初步lP 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，我们说直线我们说直线 l 与平面与平面 互相垂直，互相垂直，记作记作 l平面平面 的垂线的垂线直线直线 l l 的垂面的垂面垂足垂足直线直线l l叫做平面叫做平面 的的垂线垂线，平面平面 叫做直线叫做直线l l的的垂面垂面，垂线垂线l l和平面和平面 的唯一的的唯一的公共点公共点P P称为称为垂足垂足. .llaa_ 一条直线与一个平面内的两条相交直线一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平
2、面垂直。都垂直，则该直线与此平面垂直。(线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直)三、直线与平面垂直的判定定理：三、直线与平面垂直的判定定理：mnPllPnmnmnlml线不在多，线不在多，贵在相交！贵在相交！1.1.平面的斜线平面的斜线 如果一条直线如果一条直线l和一个平面和一个平面相交但不垂直，这条直线相交但不垂直，这条直线l叫叫做这个平面做这个平面的的斜线斜线，斜线，斜线和平面的交点和平面的交点A A叫做叫做斜足斜足斜线斜线斜足斜足lA四、直线与平面所成的角四、直线与平面所成的角2.2.射影：射影： 过斜线过斜线l上斜足以外的一点上斜足以外的一点P向平向平面面引垂线引垂线PO，过，过和和的直线的
3、直线AO叫做斜线在这个平叫做斜线在这个平面上的面上的射影射影。lA垂线垂线射影射影垂足垂足OP3 3、斜线与平面所成的角：、斜线与平面所成的角： 平面的一条平面的一条和和它在平面上的它在平面上的所成的所成的，叫做，叫做这条直线和这个平这条直线和这个平面所成的角面所成的角。lPABPAB是斜线l与平面所成角 斜线与平面所成角的范斜线与平面所成角的范围是围是（0，90）4 4、线面所成角的范围：、线面所成角的范围： 规定：规定：一条直线一条直线垂直垂直于平面，我们于平面，我们说它所成的角是角；一条直线说它所成的角是角；一条直线和平面和平面平行平行或或在平面内在平面内，我们说它，我们说它所成的角是的
4、角所成的角是的角 直线与平面所成的角直线与平面所成的角的的 取值范围是什么取值范围是什么?lPAB直直00，90A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：BC1面A1 DCB1.O111,:,a.BC B COAO连接相交于点连接设正方体的棱长为解11111111111,ABBC ABBB BCBBB1111111,.ABBCC BABBC平面11,又BCBC1111A B 又BCB111. 平面ABCDCBA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD D7.例2.如图，正方体ABCD-
5、A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1 DCB1所成的角.O:解111. 平面ABCDCB11111111.AOA BA DCBBAOA BA DCB为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角111122aa.21,30 ,2A BOA BBOBOA BBA O 在直角中，111.ABADCB直线和平面所成的角为30找角、证角求角求线面角的步骤：求线面角的步骤：1.1.作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，确定作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，确定 垂足的位置是关键垂足的位置是关键2.2.证：证明所找到的角为直线与平面的角，证明的主要依据为证：证明所找到的角为直线与平面的角，证明的主要依据
6、为 直线与平面所成角的定义直线与平面所成角的定义3.3.求：一般是借助三角形的知识求解求：一般是借助三角形的知识求解4.4.结论：将求出的角转化为线面角结论：将求出的角转化为线面角3.如图,直四棱柱 中底面四边形 满足什么条件时, ？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD底面四边形ABCD对角线相互垂直(1)(1)如右图如右图, ,在长方体在长方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中, ,棱棱AAAA、BBBB、 CC CC、DDDD所在直线所在直线都垂直于平面都垂直于平面ABCD,ABCD,它们它们之间具有什么位置关系之间具有什么位置关系? ? (2)(2)如右图，已知直线如右
7、图，已知直线a a、b b和平和平面面. .如果如果aa, b, b，那么直线，那么直线a a、 b b一定平行吗一定平行吗? ?平行平行一定平行一定平行垂直于同一个平面的两条直线平行.直线与平面垂直的性质定理：直线与平面垂直的性质定理： ba,ba/ 直线与平面垂直的性质定理告诉我们直线与平面垂直的性质定理告诉我们, ,可以由两条直线与一个可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行平面垂直判定这两条直线互相平行. .直线与平面垂直的性质定直线与平面垂直的性质定理揭示了理揭示了“平行平行”与与“垂直垂直”之间的内在联系之间的内在联系. .思考思考1 1：在：在a的条件下，如果平面的条件
8、下，如果平面外的直线外的直线b b与直线与直线a垂直，垂直，你能得到什么结论你能得到什么结论? ? bbaa /b思考思考2 2：如果平面：如果平面与平面与平面平行，你又能得到什么结论平行，你又能得到什么结论? ? /a a例3.,:ll如图 直线 平行于平面求证 直线 上各点.的距离相等到平面:证明AB1A1B BAl,上任意两点过直线11,AA BB分别作平面 的垂线11,.A B垂足分别为,11BBAA,/11BBAA.,1111BABBAA确定的平面为设直线,/l./11BAl.11BBAA ,A Bl由是直线 上任意的两点 可知.l直线 上各点到平面 的距离相等la 一条直线与一个平
9、面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离. 如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离./a 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条平面的距离，叫做这条直线到直线到这个这个平面的距离平面的距离. .由上例我们还由上例我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平两个平行平面间的距离行平面间的距离. . 例如例如：在棱柱、：在棱柱、棱台的体积公式中，棱台的体积公式中，它们的高就是它们的它们的高就是它们的上、下底面间的距离上、下底面间的距离. .13.例4.推导棱台的体积公式),(31SSSShV棱台,.S Sh其中分别是棱台的上、下底面面积是高解解:OOP,VV别为设大、小棱锥的体积分hOOhOP,)(3131)(31hSSShShhhSVVV棱台,)(22hhhSS.SShSh)(31SSSSSShV棱台).(31SSSSh数学是符号加逻辑。数学是符号加逻辑。-罗素罗素
