1、2019201920202020 学年第一学期期末考试学年第一学期期末考试高一数学试卷高一数学试卷一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. .1.已知集合| 12Axx ，|10Bx x ，则AB R （）A.|12xxB.|12xxC.|12xxD.|12xx【答案】C【解析】【分析】确定集合B，由集合运算的定义求解【 详 解 】 因 为 集 合 |10|1Bx xx x ， 所 以|1RC Bx x， 所 以 |12
2、RAC Bxx.故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题2.512（）A. 70B. 75C. 80D. 85【答案】B【解析】【分析】利用1801rad，进行转化求解.【详解】因为1801rad，故51251807512 .故选：B.【点睛】本题考查弧度转化角度，公式为：1801rad.3.函数 5lg2f xxx的定义域是（）A.2,5B.2,5C.2,5D.2,5【答案】A【解析】【分析】使解析式有意义，因此必须有5x0且20 x【详解】由 5lg2f xxx，得5020 xx，即52xx ，所以2,5x .故选：A.【点睛】本题考查求函数定义域，即求使函数式有意义的自变量的取值
3、范围4.设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M则（）A.3|,2MkkZ B.3|,22kMkZ C.|,2MkkZ D.|2,2MkkZ 【答案】D【解析】【分析】根据角的表示方法及终边在y轴的负半轴上,即可得解.【 详 解 】 根 据 角 的 表 示 方 法 可 知 , 终 边 在y轴 的 负 半 轴 上 的 角 可 以 表 示 为22k ,k Z,故选:D【点睛】本题考查了角的表示方法,终边在y轴的负半轴上角的表示形式,属于基础题.5.若函数212( )() 2mf xmmx是幂函数,且( )yf x在(0,)上单调递增,则 2f()A.14B.12C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析
4、】由幂函数的定义及幂函数的单调性可得3m，再求值即可得解.【详解】解：因为函数 2122mfxmmx是幂函数,所以2221mm,解得1m 或3m.又因为( )yf x在(0,)上单调递增,所以10m ,所以3m,即2( )f xx,从而 2224f，故选：D.【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题.6.cos350 sin70sin170 sin20（）A.32B.32C.12D.12【答案】B【解析】【分析】化简得到原式cos10 cos20sin10 sin20，再利用和差公式计算得到答案.【详解】3cos350 sin70sin170 sin20co
5、s10 cos20sin10 sin20cos302故选：B【点睛】本题考查了诱导公式化简，和差公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.7.函数 32lnfxxxx的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式，判断函数的奇偶性，排除 A、B，再根据函数值的正负情况，即可判断.【详解】由题意，3()(2 )ln( )fxxxxf x ，即 fx是定义在,00,上的奇函数，所以排除A，B；当01x时， 0f x ；当1x 时， 0f x ，排除D故选：C.【点睛】本题考查由函数解析式判断性质进而识别图像，属于中等题型.8.若为第二象限角，下列结论错误的是（）A.s
6、incosB.sintanC.costan0D.sincos0【答案】D【解析】【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项.【详解】因为为第二象限角,所以sin0,cos0,tan0A,B,C 对,D 不一定正确.故选:D【点睛】本题考查了三角函数在第二象限的符号,属于基础题.9.若实数0.2log0.3a ，0.3log0.2b ，0.3log2c ，则（）A.cbaB.cabC.abcD.bac【答案】B【解析】【分析】与中间值 0 和 1 比较后可得【详解】因为对数函数0.2logyx是单调递减的，所以0.20.2log0.3log0.21a ，同理，0.30.3log0.2
7、log0.31b ， 所 以01ab ， 而0.30.3log2log10c ， 所 以cab.故选：B.【点睛】本题考查比较对数的大小，对于同底数的对数，可以利用对数函数的单调性比较，不同底数的对数可以与中间值 0，1 等比较后得出结论10.已知函数 312cosfxaxaxbx是定义在3,1aa上的奇函数，则f ab（）A. -2B. -1C. 2D. 5【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得310aa ， 再由 00f， 列方程组求出, a b，进而求出a b代入求函数值即可.【详解】由函数 312cosf xaxaxbx是定义在3,1aa上的奇函数，得3100aa
8、b ，所以10ab， 323f xxx，则 11f abf .故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质，特别的定义域关于原点对称不要忽略，是基础题.11.在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，满足4BEEA ，3AFFD ，连接EF交AC于点M，若23AMABAC ，则1952（）A.32B. 1C.12D.3【答案】C【解析】【分析】由ACABAD ，23AMABAC ，将AM 用向量,AB AD 表示，再由4,3BEEA AFFD ，把向量AM 用向量,AE AF 表示，根据E，F，M三点共线的关系式特征，即可求得结论.【详解】因为ACABAD ，所以2323 ()(23
9、 )3AMABACABABADABAD .因为4,3BEEA AFFD ，所以5(23 )4AMAEAF .因为E，F，M三点共线，所以5(23 )41,10191，所以191522.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性表示和向量基本定理，考查三点共线的向量结构特征，属于中档题.12.设123xxx， ，分别是方程3log3xx，3log2xx，ln4xex的实根，则（）A.123xxxB.213xxxC.231xxxD.321xxx【答案】C【解析】【分析】将方程的根转化为图像交点的横坐标，数形结合，进行分析.【详解】对于3log3xx，其方程的根为3logyx与3yx的图象交点横坐标在同一
10、直角坐标系作出两个函数图像如下：由图可知123x；对于3log2xx，其方程的根为3log2yx与yx的图象交点的横坐标由图可知210 x ；对于ln4xex，其方程的根为4xye与lnyx的图象交点的横坐标，由图可知30,1x 或31,2x .综上所述，故231xxx.故选：C.【点睛】本题考查方程根的转化，注意数形结合，同时考查了作图能力.二、填空题（每题二、填空题（每题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）13.已知tan4 ，则tan2_.【答案】815【解析】【分析】根据正切二倍角公式,代入即可求解.【详解】由正切的二倍角公式,代入即可
11、求解.22tantan21 tan.22481514 故答案为:815【点睛】本题考查了正切函数而倍加公式的简单应用,属于基础题.14.已知向量, 3am，1,3b r.若/ /ab，则m_.【答案】-1【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系,代入即可求得m的值.【详解】根据向量平行的坐标关系可得33 1m ,解得1m .故答案为:1【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标关系及运算,属于基础题.15.已知5sin13，2，则cos6tan_.【答案】4126【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及角的范围,可求得cos,tan,代入即可求解.【详解】由同角三角函数关系式,可知因为5sin13,2
12、,所以2512cos11313 ,5sin513tan12cos1213 ,所以12541cos6tan6131226 .故答案为:4126【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,属于基础题.16.定义在R上的偶函数( )f x满足( )(4)f xfx,且当0,2x时,( )cosf xx,则( )( )lgg xf xx的零点个数为_.【答案】10【解析】【分析】由函数的零点个数与函数图像的交点个数的关系， 函数( )( )lgg xf xx的零点个数等价于函数( )yf x的图像与函数lgyx的图像的交点个数，再结合函数的性质作图观察即可得解.【详解】解：由于定义在R R上的偶函数
13、yf x满足4( )f xfx,所以 yf x的图象关于直线2x 对称,画出0,)x时， yf x部分的图象如图,在同一坐标系中画出lgyx的图象,由图可知：当(0,)x时,有 5 个交点,又lgyx和 yf x都是偶函数,所以在(,0)x 上也是有 5 个交点,所以 lgg xfxx的零点个数是 10，故答案为：10.【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了函数的零点个数与函数图像的交点个数的相互转化，属中档题.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .17.已知集
14、合|2,3Ax xaxa，33|loglog5Bx yxx.（1）当1a 时，求AB；（2）若ABB，求实数a的取值范围.【答案】 （1）|1,0ABx xx （2）37 ，【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于零，求得集合B，再进行并运算；（2）由ABB得BA，根据集合的包含关系，求解参数范围.【详解】 （1）因为0,50,xx所以05x，即|05Bxx，当1a 时，|1,4Ax xx 所以|1,0ABx xx （2）因为ABB，所以BA，由（1）知|05Bxx，则30a或25a，即3a 或7a ，所以实数a的取值范围为37 ，.【点睛】本题考查集合的运算，以及由集合之间的包含关系求参数范
15、围，涉及对数函数定义域.18.已知向量1,3a ， 1,3b ，,2c.（1）若3ambc，求实数m，的值；（2）若2abbc，求a与2bc的夹角的余弦值.【答案】 （1）01m （2）3 1010【解析】【分析】（1）根据向量的数乘运算及坐标加法运算,可得方程组,解方程组即可求得m,的值.（2）根据向量坐标的加减法运算,可得2,ab,bc结合向量垂直的坐标关系,即可求得的值.进而表示出2bc,即可由向量的坐标运算求得夹角的余弦值.【详解】 （1）由3ambc,得 1,3,33 ,6m m ,即13336mm ,解得01m .（2）21,9ab,1,1bc .因为2abbc,所以190 ,即8
16、.令26,8dbc ,则303 1010cos10 10a da d .【点睛】本题考查了向量的坐标的数乘运算和加减运算,向量垂直时的坐标关系,根据向量数量积求夹角的余弦值,属于基础题.19.已知函数 2cos02f xx的图象过点02，.（1）求函数 fx的解析式，并求出 fx的最大值、最小值及对应的x的值；（2）求 fx的单调递增区间.【 答 案 】（ 1 ） 2cos4f xx；12,4xkkZ时 ， max2f x；32,4xkkZ时， min2f x （2）512,244kkkZ【解析】【分析】（1）将图像所过点的坐标代入解析式，求得参数，即可得解析式；再利用余弦型函数的性质求解最值
17、；（2）将x整体代入函数的单调区间，解不等式即可.【详解】 （1）因为 f x过点02，得2cos 02，2cos2.02，4，故 2cos4f xx.当24xk，即124xkkZ时， max2f x；当24xk，即324xkkZ时， min2fx .（2）由（1）知 2cos4f xx，当224kxkkZ时， fx单调递增，解得：x512,244kkkZ故 fx的单调递增区间为512,244kkkZ.【点睛】本题考查余弦型函数的解析式求解，涉及单调性、最值，属基础题.20.已知函数 fx是定义在R上的奇函数，当0,x时， 232f xxaxa .（1）求 fx的解析式；（2）若 fx是R上的
18、单调函数，求实数a的取值范围.【答案】 （1） 2232 ,00,032 ,0 xaxa xfxxxaxa x ； （2）30,2【解析】【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；（2）由分段函数解析式知，函数在R上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围即0 x 时要是增函数，且端点处函数值不小于 0.【详解】解： （1）因为函数 fx是定义在R上的奇函数，所以 00f，当0 x 时，0 x ，则232fxxaxa 232xaxaf x ，所以 2320 xaxaf xx ，所以 2232 ,00,032 ,0 xaxa xfxxxaxa x .（2）若 fx是R上的单调函
19、数，且 00f，则实数a满足02320aa，解得302a，故实数a的取值范围是30,2.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系21.已知函数( )2sin()f xx06,|2，( )f x的图象的一条对称轴是3x，一个对称中心是7,012.（1）求( )f x的解析式；（2）已知ABC是锐角三角形，向量m,2124Bff，n,233BffB，且mn，3sin5C ，求cos A.【答案】 （1）( )2sin 26f xx（2）3 3410【解析】【分析】（1）根据函数的对称中心，结合的取值范围，即可容易求得
20、；结合函数对称轴，即可求得；（2） 根据 （1） 中所求， 结合向量垂直的坐标运算， 即可容易求得B， 结合C角， 即可求得cosA.【详解】 （1）设( )f x的最小正周期为T，( )f x图象的一个对称中心是7,012，7(21)1234Tk，*kN，21Tk*kN，221k，*kN，42k，*kN.06，2( )f x图象的一条对称轴是3x，232k，k Z，6k ，k Z.|2，6 .( )2sin 26f xx.（2）因为mn，m(2sin, 3)B， n (2cos,2cos2 )BB，m n 4sincos2 3cos22sin22 3cos2BBBBB4sin 203B，23
21、Bk，k Z，62kB ，k Z，又B是锐角，3B.3sin5C ，4cos5C，3 34coscos()(coscossinsin)10ABCBCBC .【点睛】本题考查由正弦型三角函数的性质求函数解析式，向量垂直的坐标表示，利用正余弦的倍角公式进行三角恒等变换，属综合性中档题.22.已知函数22( )3xxeef x，其中e为自然对数的底数.(1)证明: fx在(0,)上单调递增；(2)函数25( )3g xx，如果总存在1, (0)xa a a ，对任意212,xR f xg x都成立，求实数a的取值范围.【答案】 （1）证明见解析； （2）ln2,)【解析】【分析】（1）用增函数定义证
22、明；（2）分别求出( )f x和( )g x的最大值，由( )f x的最大值不小于( )g x的最大值可得a的范围【详解】 （1）设120 xx，则11221222()()()()33xxxxf xf xeeee1212211()()3xxxxeeee1212122()(1)xxxxxxeee ee e，120 xx，12xxee，121xxe e，12()0(f xf x，即12()()f xf x，( )f x在(0,)上单调递增；（2） 总存在1, (0)xa a a ， 对任意212,xR f xg x都成立， 即maxmax( )( )f xg x，25( )3g xx的最大值为ma
23、x5( )3g x，22( )3xxeef x是偶函数，在(0,)是增函数，当, xa a 时，max22( )( )3aaeef xf a，22533aaee，整理得22520aaee，(2)(21)0aaee，0a ， 1ae ， 即210ae ， 20ae ， ln2a 即a的取值范围是ln2,)【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题单调性的证明只能按照定义的要求进行证明而不等式恒成立问题要注意问题的转化，本题中问题转化为maxmax( )( )f xg x，如果把量词改为： 对任意1x， 总存在2x， 使得12()()f xg x成立， 则等价于minmin( )( )f xg x，如果把量词改为： 对任意1x， 任意2x， 使得12()()f xg x恒成立， 则等价于minmax( )( )f xg x，如果把量词改为：存在1x，存在2x，使得12()()f xg x成立，则等价于maxmin( )( )f xg x.（12,x x的范围均由题设确定）
