1、2018201820192019 学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 4040 分）分）1.已知全集1,2,3,4,5,6U ，集合A1，3，5，集合B2，4，5，则集合()UC AB =（）A. 2，4，5，6B. 5C. 1，3，5，6D. 2，4【答案】D【解析】【分析】先求出2,4,6UAC,根据交集定义即可得出结果.【详解】因为A1，3，5,所以2,4,6UAC,所以()2,4UC AB=.故选:D.【点睛】本题考查了集合的运算,属基础题.2.已知函数2
2、,0( )31,0 xxf xxx，则( 1)(2)ff的值为（）A. 6B. 5C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】由分段函数解析式依次代入求出函数值即可得出结果.【详解】10 ,2111f ,20, 23 2 15f ,.( 1)(2)=6ff.故选:A.【点睛】本题考查分段函数的函数值的求法,考查学生的解析式的理解辨析能力,属于基础题.3.若幂函数( )af xx=的图象过点(4,2)P，则函数( )f x的在其定义域内（）A. 先增后减B. 先减后增C. 单调递增D. 单调递减【答案】C【解析】【分析】将(4,2)P代入解析式,即可得出幂函数为yx,由函数图象和性质即可得出结果.
3、【详解】因为幂函数( )af xx=的图象过点(4,2)P,所以24a,解得12a ,即幂函数为yx,由幂函数的图象和性质可知,在定义域内单调递增.故选:C.【点睛】本题考查幂函数的图象和性质,考查学生对知识点的理解能力,属于基础题.4.下列三角函数值为正数的是（）A.tan300B.sin240C.2cosD.5sin()3【答案】D【解析】【分析】通过诱导公式和三角函数在各象限的符号,依次判断即可得出结果.【详解】tan300 =tan 36060tan603 ;3sin240 =sin 18060sin602 ;22,2 为第二象限角,所以cos20;553sin()=sin(2 )=s
4、in=3332.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式在求三角函数值中的应用,考查三角函数值在各象限的符号,属于基础题.5.在ABC中，点D在BC边上，且BD=2DC，则（）A.ADABAC B.1233ADABAC C.1233ADABAC D.1233ADABAC 【答案】B【解析】【分析】由向量的加减法及平面向量的基本定理,以,AB AC为基底表示AD即可.【详解】由向量的加减法可得:22123333ADAB BDABBCABACABABAC.故选:B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理,考查向量的加减法,属于基础题.6.已知a是第一象限角，那么2a是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C.
5、 第一或第二象限角D. 第一或第三象限角【答案】D【解析】【分析】根据象限角写出2a的取值范围，讨论即可知2a在第一或第三象限角【详解】依题意得22()2kakkZ，则()24akkkZ，当2knnZ，时，2a是第一象限角当2 +1knnZ，时，2a是第三象限角【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题7.已知1.10.322 ,2,log 0.3abc，则, ,a b c的大小关系为（）A.abcB.cbaC.cabD.bca【答案】B【解析】【分析】由2xy 在定义域内为增函数,比较, a b,运用中间量 0 比较, b c.【详解】2xy 在定义域内为增函数,1.10.302221.2log
6、yx在定义域内为增函数,22log 0.3log 10.cba 故选:B.【点睛】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.8.已知单位向量m和单位向量n的夹角为 60，则2mnm的值是（）A. 0B. 1C. 2D.2【答案】A【解析】【分析】先利用平面向量的数量积公式求出m n ,再利用数量积的运算化简2mnm将m n 代入,结合单位向量的模为 1,即可得结果.【详解】11| | 1,1 122mnm n ,22=2=1 1=0mnmmn m .故选:A.【点睛】本题考查了定义法求平面向量数量积的运算,属于基础题.9.已知函数( )
7、3sincos ,(0, )f xxx x，若直线yb与( )f x的图象恰有两个交点，则实数b的取值范围是（）A. （-2，2）B. （-1，2）C. （1，2）D. （0，2）【答案】C【解析】【分析】化简函数解析式为( )2sin6f xx,做出函数的图象,数形结合可得b的取值范围.【详解】因为( )3sincos ,(0, )f xxx x,所以( )2sin,(0, )6f xxx.由(0, )x,5(,)666x 做出5( )2sin ,(,)66f xt t 的图象如图所示:直线yb与( )f x的图象恰有两个交点,只需满足52sin = ,(,)66t b t 有两个解.即12
8、b即可.故选:C.【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性,函数sin()yAx的图象变换规律,正弦函数的图象特征,体现了转化、数形结合的数学思想,属于中档题.10.已知函数( )()yf x xR满足(2)( )f xf x，且( 1,1x 时，2( )f xx，则4( )log |yf xx的零点个数为（）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知可得( )()yf x xR为周期为 2 的函数,通过且( 1,1x 时，2( )f xx,做出函数图象,4( )log |yf xx的零点个数即为( )yf x与4log |yx图象交点个数,通过数形结合即可得到答案.
9、【详解】 因为( )()yf x xR为周期为 2 的函数,通过且( 1,1x 时，2( )f xx,做出函数图象如图所示:4( )log |yf xx的零点个数即为( )yf x与4log |yx图象交点个数,由图象可知共有6 个交点.故选:B.【点睛】本题考查函数的图象和性质,考查函数的零点个数问题,考查学生数形结合的能力,属于中档题.二、填空题（共二、填空题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，满分分，满分 2020 分）分）11.5log 25 _【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算法则,求解即可.【详解】2555log 25log 52log 52.故答案为:2.【
10、点睛】本题考查对数的运算,属于较易题.12.已知tan3，则2sinsincos的值为_【答案】32【解析】【分析】2sinsincos上下同除以cos即可求解.【详解】2sincos2tan2 363=sincoscostan13 142.故答案为:32.【点睛】本题考查同角三角函数基本求法,属于基础题.13.已知( )f x是定义域在R上的奇函数，且当0 x 时，( ) |1|f xx，则( 2)f _，(2)f_【答案】(1). 1(2). -1【解析】【分析】由已知可求得( 2)2 1 =1f ,由奇函数的性质得( 2)(2)ff ,即可求得(2)f.【详解】0 x 时,( ) |1|
11、f xx,2 1(12)=f ;由奇函数的性质得( 2)(2)ff ,(2)( 2)= 1ff .故答案为:1,-1.【点睛】本题考查函数的奇函数性质,属于简单题.14.已知如下变换：将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标保持不变；将图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标保持不变；将图像整体向右平移3个单位长度；将图像整体向右平移6个单位长度；将图像整体向左平移3个单位长度；将图像整体向左平移6个单位长度；要得到函数sin(2)3yx的图象，只需将函数sinyx的图象经过变换_（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序）【答案】或(填一种即可)【解析】【分析】利用三角函数图象
12、变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论.【详解】sinyx经过变换可得到sin2yx,再经过变换可得sin(2)3yx;或者sinyx经过变换可得到sin()3yx,再经过变换可得sin2yx.故答案为: 或(填一种即可).【点睛】本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对 x 而言,属于中档题.15.已知函数21( )(0,1)2xf xxaaa，若( )0f x 在 1,1上恒成立， 则实数a的取值范围为_【答案】1,1(1,2)2【解析】【分析】( )0f x 转化为21
13、2xxa,借助函数2yx=和12xya的图象研究恒成立时需满足的条件,计算即可得出结果.【详解】( )0f x 即212xxa.分类讨论,当1a 时,分别作出2yx=和12xya的图象,如图所示:由图可知,若使 1,1x 均满足212xxa,只需保证21211( 1)2112aa,解得:1,2a同理,当01a时,需保证21211( 1)2112aa,解得:1,12a.综上,a的取值范围是1,1(1,2)2.故答案为：1,1(1,2)2【点睛】本题主要考查指数函数的图象及其应用,考查恒成立时求解参数求值范围问题,难度较难.三、解答题三、解答题16.已知函数( ),( 1,)1xf xxx ，试判
14、断函数( )f x的单调性，并证明.【答案】函数在( 1,) 上单调递增,证明见解析.【解析】【分析】根据单调性的定义,利用定义法证明函数的单调性.【详解】因为1( )=111xf xxx所以( )( 1,)yf xx ，为单调递增函数.证明:设任意12,( 1,)x x ,且12xx,则1212221112111111=111111xxf xf xxxxxxx,121,1xx 且12xx,120f xf x所以函数( ),1xf xx在( 1,) 上单调递增.【点睛】本题考查函数的单调性的判断与证明,属于基础题,解题时要注意定义法的合理运用.17.在直角坐标系xOy中，已知锐角和的顶点都在坐
15、标原点始边都与x轴非负半轴重合，且终边与单位圆交于点3( , )5P m和点5(, )13Qn，求sin()的值.【答案】6365【解析】【分析】由锐角和可知,m n均大于 0,3( , )5P m和点5(, )13Qn在单位圆上,即可求得,m n,根据三角函数的定义即可求出对应的三角函数值,由三角函数的和角公式即可得出结果.【详解】因为锐角和终边与单位圆交于点3( , )5P m和点5(, )13Qn,所以412,513mn.则3sin5,4cos5,12sin13,5cos13,所以63sin()=sincos+cossin=65.【点睛】本题考查利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,
16、考查学生的三角函数定义的理解辨析能力,属于基础题.18.已知3cos,(,0)52 .（1）求cos2的值；（2）求tan()4的值.【答案】(1)725;(2)17【解析】【分析】(1)由二倍角公式2cos2 =2cos1,已知条件代入即可得出答案;(2)利用三角函数的平方关系和商数关系求出sin,tan,将tan()4展开代入即可.【详解】(1)2237cos2 =2cos1=21=-525;(2)3cos,(,0)52 ,44sin=tan53 ，,41tantan1tan134tan()=441tan71tantan143 【点睛】本题考查二倍角的余弦公式,考查同角三角函数的关系,考查
17、正切的和角公式,考查三角函数值的求法,属于基础题.19.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过 10 万元时，按销售利润的 15%进行奖励；当销售利润超过 10 万元时，前 10 万元按销售利润的 15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按5log (21)t 进行奖励.记奖金为y（单位：万元） ，销售利润为x（单位：万元）.（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；（2）如果业务员小王获得 3.5 万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【答案】(1)50.15 ,0101.5219 ,10 xxylogxx;(2)22 万元.【解析】【分析】（1）根据奖励方案,可得分
18、段函数；（2）确定10 x ,利用函数解析式,即可得到结论.【详解】 （1）当销售利润不超过 10 万元时,按销售利润的 15%进行奖励;当销售利润超过 10万元时，前 10 万元按销售利润的 15%进行奖励，若超出部分为t万元，则超出部分按5log (21)t 进行奖励.010 x 时，0.15yx;10 x时,551.5101 =1.5219ylogxlogx2奖金y关于销售利润x的关系式50.15 ,0101.5219 ,10 xxylogxx;（2）3.510yx， ，51.5219 =3.5logx,解得22x .小王的销售利润是 22 万元.【点睛】本题以实际问题为载体,考查函数模
19、型的构建,考查学生的计算能力,属于中档题.四、阅读与探究（共四、阅读与探究（共 1 1 小题，满分小题，满分 8 8 分）分）20.在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:cos()coscossinsin具体过程如下：如图， 在平面直角坐标系xOy内作单位圆O， 以Ox为始边作角，.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则(cos ,sin),(cos,sin)OAOB由向量数量积的坐标表示，有：coscossinsinOA OB设,OA OB的夹角为，则|coscoscoscossi
20、nsinOA OBOA OB另一方面，由图 3.13（1）可知，2k；由图可知，2k.于是2,kkZ.所以cos()cos，也有cos()coscossinsin，所以，对于任意角, 有：cos()coscossinsin（C）此公式给出了任意角, 的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C.有了公式C以后， 我们只要知道cos,cos,sin,sin的值， 就可以求得cos()的值了.阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点） ，采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：（1）判断1OCOMOM是否正确？（不需要证明）（2）证明：s
21、insin2sincos22（3）利用以上结论求函数( )sin2sin(2)3f xxx的单调区间.【答案】(1)正确;(2)见解析;(3)单调递增区间为,()36kkkZ，( )f x的单调递减区间为2,()63kkkZ【解析】【分析】(1) 因为对1|nn是n方向上的单位向量,又1OC且OM与OC共线,即可判断出正确;(2)在OAM中,| | coscos22OMOA,又1OCOMOM,表示出OC,OM的坐标,由纵坐标对应相等化简即可证得结论;即sinsin2sincos22(3)由(2)结论化简可得222233( )sin2sin 22sincos3sin 23226xxxxf xxx
22、x借助正弦型函数的性质即可求得结果.【详解】(1) 因为对于非零向量1,|nnn是n方向上的单位向量,又1OC且OM与OC共线,所以1OCOMOM正确;(2) 因为 M 为 AB 的中点,则OMAB,从而在OAM中,| | coscos22OMOA,又1OCOMOM,又cos,sin22OC,coscossinsin22OM,所以1sinsinsin22cos2,即sinsin2sincos22(3) 因为222233( )sin2sin 22sincos3sin 23226xxxxf xxxx令222262kxk,解得:36kxk所以( )f x的单调递增区间为,()36kkkZ令3222262kxk,解得:263kxk所以( )f x的单调递减区间为2,()63kkkZ【点睛】本题考查向量在证明三角恒等式中的应用,考查类比推理,考查正弦型函数的单调性,难度较难.
