1、焦作市普通高中焦作市普通高中 2019201920202020 学年（下）高一年级期中考试学年（下）高一年级期中考试数学数学一、选择题一、选择题1.sin315的值是（）A.22B.12C.22D.32【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式将角度转换成锐角再计算即可.【详解】2sin315sin 36045sin45sin452 .故选：A【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用.属于基础题.2.已知集合2 ,xAy yxR，2Bx x 或3x ，则ABR（）A.2,0B.2,0C.,3D.,3【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再根据并集和补集的定义求解即可【详解】解：2 ,0,xAy y
2、xR，2Bx x 或3x ，, 20,AB ，2,0AB R，故选：B【点睛】本题主要考查集合的并集和补集运算，考查指数函数的值域，属于基础题3.已知扇形的圆心角为4,面积为2,则该扇形的弧长为（）A.12B.6C.D.2【答案】C【解析】【分析】设扇形的半径为R,再根据扇形的面积公式以及弧长公式求解即可.【详解】设扇形的半径为R,则21224SR,所以4R ,所以弧长4=4l.故选：C【点睛】本题考查任意角的弧度制以及扇形弧长和面积公式.属于基础题.4.已知第二象限角的终边上一点sin,tanP，则角的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析
3、】根据第二象限横纵坐标的正负值判断得sin0,tan0,再判断角的象限即可.【详解】因为点sin,tanP在第二象限，所以有sin0,tan0,所以是第三象限角.故选：C【点睛】本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题.5.已知O是ABC所在平面内一点，P为线段AB的中点，且30OABOOC ，那么（）A.2=3COOP B.1=3COOP C.3=2COOP D.1=2COOP 【答案】A【解析】【分析】所给等式可整理为3OAOBCO ，再由P为AB的中点得2OAOBOP ，推出32COOP ，得解.【详解】因为30OABOOC ，所以3OAOBCO ，因为P为AB的中点，所以2OAOBO
4、P ，则32COOP 23COOP .故选: A【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.6.已知函数 fx满足 0f xfx,且在区间,4 2 上单调递减,则 fx的解析式可能是（）A. sinf xxB. sin2fxxC. cosf xxD. cos2f xx【答案】D【解析】【分析】根据 f xfx可得直线2x是 fx图象的对称轴,再根据 fx在区间,4 2 上单调递减对各选项进行排除即可.【详解】 由题意 f xfx,所以直线2x是 fx图象的对称轴,可以排除选项 B,C.又因为 fx在区间,4 2 上单调递减,排除 A.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质判定,属于基础题
5、.7.边长为 6 的等边ABC中,D是线段BC上的点,4BD ,则=AB AD （）A. 12B. 24C. 30D. 48【答案】B【解析】【分析】利用基底向量的方法,将AD用,AB BC 表达,再根据数量积的运算公式求解即可.【 详 解 】 因 为6AB ,4BD , 所 以23BDBC , 所 以23ADABBC , 所 以22222166 6243332AB ADABABBCABAB BC .故选：B【点睛】本题考查向量线性运算以及数量积.属于基础题.8.若函数 22cossin22sincosfxxxxx xR，则 fx是（）A. 最小正周期为的偶函数B. 最小正周期为的奇函数C.
6、最小正周期为2的偶函数D. 最小正周期为2的奇函数【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式将函数 22cossin22sin cosf xxxxx化为1sin42x， 利用三角函数的周期公式求出最小正周期【详解】解： 22cossin22sin cosf xxxxx22cossin2sin2xxx22cos1 sin2xxsin2 cos2xx1sin42x所以最小正周期为242T且为奇函数，故选：D【点睛】 本题考查二倍角公式、 三角函数周期性的求法， 求最小周期公式2T是解题关键，属于基础题9.已知非零向量, a b ，满足2ab，且()abb，则a与b的夹角为（）A.6B.4C.34D.
7、56【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的公式与数量积公式求解即可.【 详 解 】 设a与b的 夹 角 为, 因 为()abb, 所 以2()0ab ba bb , 即2cosabb.又2ab,所以222coscos2b bb.故4.故选：B【点睛】本题主要考查了垂直的数量积表示以及数量积的公式等.属于基础题.10.如图为一直径为6m的水轮,水轮圆心O距水面2m,已知水轮每分钟转 2 圈,水轮上的点P到水面的距离y（m）与时间x（s）满足关系sin()2,0,0,0yAxAy是表示P表示在水面下,则有（）A.,315AB.2,315AC.,615AD.2,615A【答案】A【解析】【分析】根
8、据题意可得出A的值,以及该函数的最小正周期,利用周期公式可求得的值,进而得出结论.【详解】由题意可知A为水轮的半径 3,又水轮每分钟转 2 圈,故该函数的最小正周期为 60302Ts,所以215T.故选：A.【点睛】本题考查三角函数解析式中参数的计算,考查计算能力,属于基础题.11.设函数 9sin 20,48f xxx ,若函数 yf xa aR恰有三个零点1x,2x,3x（123xxx）,则1232xxxa的取值范围是（）A.3 23,42B.3 23,42C.30,2D.30,2【答案】B【解析】【分析】画出 9sin 20,48f xxx 的图像,再根据函数的对称轴可求得1223,xx
9、 xx的 值 , 再 根 据 函 数 yf xa aR恰 有 三 个 零 点 得 出212a, 进 而 求 得1232xxxa的范围即可.【 详 解 】 函 数 9sin 20,48f xxx , 其 图 象 如 下 图 所 示 , 由 此 可 知12284xx,2355284xx,212a.所以 1231223532442xxxxxxx,所以1233 232,42xxxa .故选：B【点睛】本题考查三角函数的图象与性质,包括对称性的运用以及数形结合根据函数零点的个数求解参数范围的问题.属于中档题.12.已知ABC内接于圆O，且线段AB的延长线与线段OC的延长线相交.设OCOAOB ，则的取值
10、范为是（）A.1,1B.()1,0-C.()0,1D.1 1,2 2【答案】C【解析】【分析】设线段AB的延长线与线段OC的延长线的交点为D，因为A，B，D共线，所以1ODmOAm OB ，然后设1ODnOC n，从而可得1mmOCOAOBnn ，然后得出10,1n即可.【详解】设线段AB的延长线与线段OC的延长线的交点为D.因为A，B，D共线，所以1ODmOAm OB .因为点D在线段OC的延长线上，所以1ODnOC n.所以1nOCmOAm OB ，所以1mmOCOAOBnn ，对比条件可得mn，1 mn，10,1n.故选：C【点睛】, ,A B C三点共线，若OCOAOB ，则1.二、填
11、空题二、填空题13.已知am，e为单位向量，a与e的夹角为34，且3 2a e ，则m_.【答案】6【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义直接算出即可.【详解】由题意得1e ，32cos3 242a emm ，所以6m .故答案为：6【点睛】本题考查平面向量的数量积，较简单.14.已知直线l：230axya与圆C：22124xy相交于P，Q两点， 则PQ的最小值为_.【答案】2 2【解析】【分析】首先求出直线所过定点M的坐标，当PQMC时，PQ取得最小，再根据弦长公式计算可得；【详解】解：因为230axya，所以230 xay，令2030 xy，所以23xy，故直线恒过定点2,3M，又因为2
12、22 13224，故点2,3M在圆内，当PQMC时，PQ取得最小，因为222 1322MC 所以22min22 422 2PQrMC故答案为：2 2【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式、两点间的距离公式的应用，关键是掌握直线与圆的位置关系以及应用，属于中档题15.在平面直角坐标系xOy中，已知点()1,0A和点3,4B ，若点C在AOB的平分线上，且5OC ，则OC的坐标为_.【答案】1,2【解析】【分析】设,C x y，由5OC 得225xy，由点C在AOB的平分线上可得AOCBOC ，然后可得OC OAOC OBOCOAOCOB ，从而得到2yx，然后解出即可.【详解】设,(0,0
13、)C x yxy，由5OC 得225xy因为点C在AOB的平分线上，所以AOCBOC 所以OC OAOC OBOCOAOCOB ，所以345xyx，即2yx联立方程可解得12xy或12xy （舍）故OC的坐标为1,2故答案为：1,2【点睛】本题考查的是平面向量数量积的应用，属于基础题.16.已知函数 3sin4coscosf xxxx在0 xx处取得最小值，则0sin2x _.【答案】3-5【解析】【分析】首 先 分cos0 x 和cos0 x 两 种 情 况 讨 论 ， 得 出 当 函 数 fx取 得 最 小 值 时 ，022xk，然后即可得出答案.【详解】当cos0 x 时， 2353si
14、n cos4cossin22cos22cos 2222f xxxxxxx ，其中4cos5，3sin5.所以 min59222fx .当cos0 x 时， 2353sin cos4cossin22cos22cos 2222f xxxxxxx ，其中4cos5，3sin5.所以 min5192222f x ，所以当函数 fx取得最小值时，022xk，kZ，所以022,xkkZ，所以03sin2sin 2sin5xk .【点睛】本题考查三角函数的性质以及倍角公式，解决本类问题时首先要将三角函数化成基本型.三、解答题三、解答题17.已知向量3,2a ，1,bm，且ba与2,1c 共线.（1）求m的值
15、；（2）若ab与2ab垂直，求实数的值.【答案】 （1）4m ， （2）3 .【解析】【分析】（1）4,2bam，然后利用ba与c共线求出答案即可（2）利用数量积的相关知识直接计算即可.【详解】 （1）4,2bam因为ba与c共线，所以4 1 220m ，解得4m .（2）由（1）知1,4b ，所以13,17,3 12 45aba b 由ab与2ab垂直，得 2222120ababaa bb ，所以265 1 2170，解得3 .【点睛】本题考查共线向量、向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题.18.已知sin3cos3，且0,.（1）求sin，cos的值；（2）求2011sincossi
16、n362的值.【答案】 （1）3sin5，4cos5， （2）75.【解析】【分析】（1）联立方程sin3cos3和22sincos1求解即可.（2）首先利用三角函数的诱导公式化简，然后再利用其和差公式求解即可.【详解】 （1）由条件可得sin33cos，又因为22sincos1，联立得25cos9cos40.解得4cos5或cos1，又因为0，所以4cos5.又因为sin3cos3，所以3sin5.（2）由（1）知20112sincossinsin 6cos 2cos36236 sincoscossincoscos3636 13317sincoscossincossincos22225 .【
17、点睛】本题考查的是同角三角函数的基本关系以及利用诱导公式和和差公式求值，属于基础题.19.已知函数 2sin2cos6f xxx，将函数 fx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12， 纵坐标保持不变， 得到函数 sin0,0,22g xAxA的图象.（1）求和的值；（2）求函数 g x在区间0,上的单调递减区间.【答案】 （1）2，6 （2）5,36【解析】【分析】（1）先将 fx化简转化为： 2sin6fxx.根据三角函数的图象的伸缩变换得到 =2sin 26g xx，从而得到，.（2）根据正弦函数的单调性，令3222262kxkkZ，化简求解，然后与0,取交集.【详解】 （1）因为 312
18、sincos2cos22fxxxx，3sincosxx，2sin6x.将函数 fx得图象得横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数 g x的图象，则 =2sin 26g xx，所以2，6 .（2）由3222262kxkkZ，得536kxkkZ.又因为55,0,3636kkkZ，所以 g x在区间0,上的单调递减区间为5,36.【点睛】本题主要考查三角函数得图象与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图所示在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形，PA 平面ABCD，2PA ，AC与BD交于点O，点Q在棱PC上.（1）证明：平面BDQ 平面PAC；（2）若/P
19、A平面BDQ，求三棱锥PBDQ的体积.【答案】 （1）证明见解析； （2）23【解析】【分析】（1）根据PA 平面ABCD，得到PABD，易得ACBD，再由线面垂直的判定定理得到BD 平面PAC，然后利用面面垂直的判定定理证明.（2）连接OQ，根据/PA平面BDQ，由线面平行的性质定理得到/PA OQ，则OQ 平面ABCD，OQ即为三棱锥Q-BCD的高，再利用P BDQP ABCDP ABDQ BCDVVVV求解.【详解】 （1）因为PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PABD因为底面ABCD是正方形，所以ACBD.又因为PAACA，所以BD 平面PAC.因为BD 平面BDQ，所以平面
20、BDQ 平面PAC.（2）如图，连接OQ，则OQ是平面BDQ与平面PAC的交线.因为/PA平面BDQ，所以/PA OQ，所以OQ 平面ABCD.又O是AC的中点，所以12OQPA.所以1182 4333P ABCDABCDVPA S ，1142 2333P ABDABDVPA S ，1121 2333Q BCDBCDVOQS ，所以84223333P BDQV.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理，以及空间几何体的体积计算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.如图所示，在ABC中，点D为AB边的中点，点E为BC上靠近点B的三等分点，线段AE与CD交于点P.（1）设
21、+APmAB nAC ，求mn的值；（2）若3AB ，2AC ，2=3BAC，求CP .【答案】 （1）15（2）2 375【解析】【分析】（ 1 ） 过 点D作/ /DFBC， 交AE于 点F， 根 据DF是ABE的 中 位 线 ， 得 到1,2AFFE DFBE， 再 由2CEBE， 由 比 例 性 质 得 到14FPEP， 从 而 得 到:5:1:4AF FP PF ，然后再利用平面向量的基本定理求解.（2）根据（1）得到14DPPC，从而4424=+=5555CPCDCA ADABAC ，然后利用向量的数量积运算求解.【详解】 （1）如图所示：过点D作/ /DFBC，交AE于点F，则D
22、F是ABE的中位线，所以1,2AFFE DFBE.又因为2CEBE，所以14DFCE，所以14FPEP，所以:5:1:4AF FP PF .所以3355APAEABBE 31315555ABBCABACAB 2155ABAC 所以21=55mn ，所以1=5mn.（2）由（1）可知，14DPPC，所以444224=+=555555CPCDCA ADCAABABAC .所以22222441616=+55252525CPABACABAB ACAC ，416116148=93 2+4=252522525 .所以2 37=5CP .【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的
23、能力，属于中档题.22.已知函数 sin0,2f xx的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点的距离为13.（1）求函数 fx的解析式；（2）若将函数 fx的图象向左平移 1 个单位长度后得到函数 g x的图象，关于x的不等式 22g xaa在0,3x上有解，求a的取值范围.【答案】 （1） sin36f xx（2）22-11+22，【解析】【分析】（1）易知： fx的最大值为 1，最小值为-1. 根据相邻的两个最值点的距离为13，由222132T，求得T，进而得到，然后由 fx的图象经过点10,2，求得，得到函数 fx的解析式.（2）利用三角函数图象的平移变换得到 sin36g xx，利用正弦
24、函数的性质求得其值域， 然后根据关于x的不等式 22g xaa在0,3x上有解， 则由 2min2aag x求解.【详解】 （1）依题意得 fx的最大值为 1，最小值为-1.设 fx的最小正周期为T，则222132T，解得6T .又2T，所以3.所以 sin3fxx.因为 fx的图象经过点10,2，所以 10sin2f ，又因为2，所以6 ，所以函数 fx的解析式为 sin36f xx.（2）因为将函数 fx的图象向左平移 1 个单位后得到函数 g x的图象，所以 sin1sin3636g xxx.当0,3x时，7,3666x，则1sin,1362x .因为关于x的不等式 22g xaa在0,3x上有解，所以2122aa ，解得212a 或212a .综上可得a的取值范围是22-11+22，.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
