1、第 1 页 共 14 页 高中数学竞赛高中数学竞赛第一讲第一讲 复数复数 一、基础知识 1复数的运算法则： 三角形式，若 z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，则 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)； 11 2 22 (0), zr z zr cos(1-2)+isin(1-2)，或记为 z1z2=r1r2 12 ()i e ；. )( 2 1 2 1 21 i e r r z z 2棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn). 3开方：若 n wr(cos+isin)，则) 2 sin 2 (cos n k i
2、n k rw n ，k=0,1,2,n-1。 4方程10(2 n xnnn为自然数，且）的 个根 记为： 22 cossin(0,1,2,1) k kk ikn nn 称为 1 的n次单位根。由棣莫弗定理，全部n次单位 根可表示为 1 1 2 11 1 n ，。 关于单位根，有如下常用性质：)201 1 1 2 11 n n （； 任意两个单位根 ji ,的乘积仍为一个n次单位根，且 （1）的余数）除以是其中时，当njiknji kjijiji ,(； （2）设m为整数，1n，则 的倍数）不是 的倍数），是 nm nmn m n mm (0 ( 1 121 （3）1+z1+z2+zn-1=0；
3、 （4）xn-1+xn-2+x+1=(x-z1)(x-z2)(x-zn-1)=(x-z1)(x- 2 1 z)(x- 1 1 n z ). 特别地：1 的立方根有：1，1 2 3 2 i，-1 2 3 2 i （1）3-31 （2）120 或 1-20 （3）-1 （4）2-，-2 （5）(1i)22i，(34i)2724i 5代数基本定理：在复数范围内，一元 n 次方程至少有一个根。 6实系数方程虚根成对定理：实系数一元 n 次方程的虚根成对出现，即若 z=a+bi(b0)是方程的一个根， 则z=a-bi 也是一个根。 7若 a,b,cR,a0，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0，当=
4、b2-4ac0 时方程的根为 1,2 . 2 bi x a 第 2 页 共 14 页 二、题型归纳 1三角形式的应用三角形式的应用 例 1设 n2000,nN，且存在满足(sin+icos)n=sinn+icosn，那么这样的 n 有多少个？ 解由题设得 ) 2 sin() 2 cos() 2 sin() 2 (cos) 2 sin() 2 cos( ninini n ， 所以 n=4k+1. 又因为 0n2000，所以 1k500，所以这样的 n 有 500 个。 2二项式定理的应用二项式定理的应用 例 2计算： （1） 100 100 4 100 2 100 0 100 CCCC； （2）
5、 99 100 5 100 3 100 1 100 CCCC 解(1+i)100=(1+i)250=(2i)50=-250,由二项式定理 (1+i)100= 100100 100 9999 100 22 100 1 100 0 100 iCiCiCiCC = 100 100 4 100 2 100 0 100 (CCCC)+( 99 100 5 100 3 100 1 100 CCCC)i，比较实部和虚部，得 100 100 4 100 2 100 0 100 CCCC=-250， 99 100 5 100 3 100 1 100 CCCC=0。 5设 n=2001，则)33331 ( 2 1
6、 2000100063422 nnnn n CCCC. 3复数乘法的几何意义复数乘法的几何意义 例 3以定长线段 BC 为一边任作ABC，分别以 AB，AC 为腰，B，C 为直角顶点向外作等腰直角ABM、 等腰直角ACN。求证：MN 的中点为定点。 证明设|BC|=2a，以 BC 中点 O 为原点，BC 为 x 轴，建立直角坐标系，确定复平面，则 B，C 对应的复 数为-a,a,点 A，M，N 对应的复数为 z1,z2,z3,azBAazCA 11 ,，由复数乘法的几何意义得： )( 13 aziazCN，)( 12 aziazBM，由+得 z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.
7、设 MN 的中点为 P，对应的复数 z=ai zz 2 32 ,为定值，所以 MN 的中点 P 为定点。 例 4设 A，B，C，D 为平面上任意四点，求证：ABAD+BCADACBD。 证 明 用 A ， B ， C ， D 表 示 它 们 对 应 的 复 数 ， 则 (A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D) ， 因 为 |A-B|C-D|+|B-C|A-D|(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所 以 |A-B|C-D|+|B-C|A-D|A-C|B-D|,“=” 成 立 当 且 仅 当)()( DC CB Arg AD AB Arg ， 即 )()( CD
8、CB Arg AB AD Arg =，即 A，B，C，D 共圆时成立。不等式得证。 第 3 页 共 14 页 4复数与轨迹复数与轨迹方程方程 例 5复平面上动点 1 z的轨迹方程为 101 zzz， 0 Z为定点， 0 0Z ；另一动点 Z 满足1 1 zz，求 点 Z 的轨迹，并指明它在复平面上的形状和位置。 （高中联赛，1988） y x Z （x， y） r O 解：由1 1 zz知0z，所以 z z 1 1 ，代入 101 zzz得 z z z 11 0 。变形为 00 1 ) 1 ( zz z， 表示 Z 是以 0 1 z 为中心， 0 1 z 为半径的圆周，但应除去原点。 例 6
9、ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i，底边 BC 在实轴上滑动，且|BC|=2，求ABC 的外心轨迹。 解 设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,yR)，B，C 点对应的复数分别是 b,b+2.因为外心 M 是三边垂直平 第 4 页 共 14 页 分线的交点，而 AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC 的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点 M 对应 的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去 b 解得). 3 4 (6 2 yx 所以ABC 的外心轨迹是轨物线。 例 7. 设 m、n 为非零实数，i 为虚单位，zC，则方程nmizn
10、iz|与 mmizniz|如图，在同一复平面内的图形（F1、F2是焦点）是（） 【分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据 m、n 的取值讨论进行求解. 【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得方程在复平面上表示以点mini,为焦点的椭圆， 0, 0nn故.这表明，至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A）不真. 又由方程，椭圆的长轴之长为 n， |F1F2|0. （1）若. 0, 0mn这时，在坐标平面上，F1（0，n） ，F2（0，m） ，只可能为图象（C） ，但与|F1F2|m|. 故在（B）与（D）中，均有 F1: ni；F2: mi，且 m0. 由方程，双曲线上的点应满足到 F2点的距离小
11、于该点到 F1点的距离. 答案： （B） 【评述】 （1）本题涉及的知识点：复数的几何意义，复平面上的曲线与方程，椭圆，双曲线，共焦点的椭 圆与双曲线，讨论法. （2）本题属于读图题型. 两种解法均为基本方法：解法中前者为定义法；后者为分类讨论法. 5复数与三角复数与三角函数函数 例 8已知 cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，求证：cos2+cos2+cos2=0。 证明令 z1=cos+isin,z2=cos+isin,z3=cos+isin，则 z1+z2+z3=0。所以. 0 321321 zzzzzz又因为|zi|=1,i=1,2,3. 第 5 页 共 14 页 所以
12、 zi i z=1，即. 1 i i z z 由 z1+z2+z3=0 得. 0222 133221 2 3 2 2 2 1 zzzzzzxxx 又. 0)( 111 321321 321 321132321 zzzzzz zzz zzzzzzzzz 所以. 0 2 3 2 2 2 1 zzz 所以 cos2+cos2+cos2+i(sin2+sin2+sin2)=0. 所以 cos2+cos2+cos2=0。 例 9求和：S=cos200+2cos400+18cos18200. 解令 w=cos200+isin200,则 w18=1，令 P=sin200+2sin400+18sin18200
13、, 则 S+iP=w+2w2+18w18. 由w 得 w(S+iP)=w2+2w3+17w18+18w19， 由-得(1-w)(S+iP)=w+w2+w18-18w19= 19 18 18 1 )1 ( w w ww ， 所以 S+iP= i w w 2 3 2 1 9 1 18 （计算结果有问题，讲课时要注意） 6复数与多项式复数与多项式 例 10已知 f(z)=c0zn+c1zn-1+cn-1z+cn是 n 次复系数多项式(c00). 求证：一定存在一个复数 z0，|z0|1，并且|f(z0)|c0|+|cn|. 证明记 c0zn+c1zn-1+cn-1z=g(z),令=Arg(cn)-A
14、rg(z0)，则方程 g(z)-c0ei=0 为 n 次方程，其必有 n 个根， 设为 z1,z2,zn，从而 g(z)-c0ei=(z-z1)(z-z2)(z-zn)c0，令 z=0 得-c0ei=(-1)nz1z2znc0，取模得|z1z2zn|=1。所 以 z1,z2,，zn中必有一个 zi使得|zi|1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0ei=cn，所以|f(zi)|=|c0ei+cn|=|c0|+|cn|. 7单位根的应用单位根的应用 例 11证明：自O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2An各个顶点的距离的平方和为定值。 证明取此圆为单位圆， O 为原点， 射线 OAn为实
15、轴正半轴， 建立复平面， 顶点 A1对应复数设为 i n e 2 ， 则 顶 点 A2A3An对 应 复 数 分 别 为 2， 3， ， n. 设 点 p 对 应 复 数 z, 则 |z|=1, 且 第 6 页 共 14 页 =2n- n k kk n k kk n k k n k k zzzzzpA 111 2 1 2 )2()(| =2n-.22 1111 nzznzz n k k n k k n k k n k k 命题得证。 例 12集合 A=1 18 zz和 B=1 48 都是 1 的复数根的集合，集合 C= BAzz,也是一个 1 的复数根集合，集合 C 中有多少个不同的元素。 （
16、美国） 解：个），相异元素18(, 18 2 sin 18 2 cosZk k i k z 个），相异元素48(, 48 2 sin 48 2 cosZk t i t . 144 382 sin 144 382 cos tk i tk z 令ZPZtktkmmP下证,38 （1）设ZPZmtkmPm得故则,38, （2）任取有三种情况：则xZx, PxnxZnnx故则,308,3； PxnxZnnx故则,3318, 13； PxnxZnnx故则,6328, 23。 PZ ，故 Z=P，故集合 C 有 144 个不同元素。 例 13设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依
17、次为, 2021 zzz则复数 1995 20 1995 2 1995 1 ,zzz所对应的不同的点的个数是（） A4B5C10D20 【分析】如题设可知，应设1 20 k z.故解题中应注意分解因式. 【解法 1】因为我们只关心不同的点的个数，所以不失一般性可设1 20 k z.由1 60 k z，有 ., 1, 1 ),)()(1)(1(10 15151515 1515151560 izizzz izizzzz kkkk kkkkk 【答案】A. 【解法 2】由),)()(1)(1(10, 1 55552020 izizzzzz kkkkkk 则 第 7 页 共 14 页 可知 5 k z
18、只有 4 个取值，而 15 k z=（ 5 k z）3取值不会增加，则 B、C、D 均应排除，故应选 A. 【评述】上述两个解法均为基本方法.思维的起点是不失一般性设1 20 k z，于是可用直接法（法 1）和排 除法（法 2）. 8复数与复数与平面平面几何几何 例 14在四边形 ABCD 内存在一点 P，使得PAB，PCD 都是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形。求证： 必存在另一点 Q，使得QBC，QDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 证明以 P 为原点建立复平面，并用 A，B，C，D，P，Q 表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几 何意义知 D=iC,B=iA；取 i i
19、BC Q 1 ，则 C-Q=i(B-Q)，则BCQ 为等腰直角三角形；又由 C-Q=i(B-Q)得 )(Q i A iQ i D ，即 A-Q=i(D-Q)，所以ADQ 也为等腰直角三角形且以 Q 为直角顶点。综上命题得证。 复数的几何意义，为我们解决几何问题提供了有效的方法。 例 15如图，ABC 和ADE 是两个不全等的等腰直角三角形。现固定ABC，而将ADE 绕 A 点在平 面上旋转。试证：不论ADE 旋转到什么位置，线段 EC 上必存在一点 M，使BMD 为等腰直角三角形。 （高中联赛，1987） 证明 1：首先探索 M 点的位置，为此让ADE 绕 A 点旋转 4 ，使 E 点落在 A
20、B 边上，不难证明，在这一 特殊位置时，M 点恰好是 EC 的中点。 下面再用复数证明一般情况下，M 点仍是 EC 的中点（图 4.5.7） 。 建立如图 4.5.8 的复平面，使0 A z。不妨设2 C z， 则Ryxyixziz DB ,1， 则 iyxyxyixizez D i E 12 4 。 E D C B A 第 8 页 共 14 页 由中点公式iyxyx zz z EC M 2 2 1 2 ， 又因为i xyyx zz mD MD 22 2 ， i yxxy zz mB MB 2 2 2 ， 故 MBMD 且 MBMD i。故BMD 是以点 M 为直角顶点的等腰直角 三角形。 D
21、 M E C B A y x A E D C B M 证明 2通过复数方法直接计算后确定 M 点的位置。为此仍将ABC 置于复平面，设 A，B，C 所对应的 复数分别为 0， 4 , 21 i aea a ，AD 长为 1，则 D，E 对应的复数分别为 i i ee 4 2, （这里 是 AD 的旋转角） 。再以 DB 为斜边作等腰直角三角形 DMB 于是 DBD ii DBDm zzzeaezzzz 44 2 2 2 1 . ii eae 44 2 2 2 1 , 所以 EC i m zzeaz 2 1 22 2 1 4 。 由此可知 M 点是线段 EC 的中点，命题得证。 证明 3通过建立
22、恰当的坐标系简化证明。由于 ABAD，因而不论ADE 旋转到什么位置，B，D 均不会 重合，因而可取 BD 所在的直线为横坐标，BD 中点为原点（如图 4.5.9） ，设azaz DB ,， 于是 iazizzzz ADADE ，故iazaz AE ， 同理iazaz AC ，则线段 EC 的中点 M 的值为aizzz AEM 2 1 ， E CA y xOBD 第 9 页 共 14 页 而aizazaz MDB ,，恰好对应等腰三角形的三个顶点，即三角形 BDM 是等腰直角三角形。 例 16若四边形 ABCD 内部有一点 P，使四个三角形PAB，PBC，PCD，PDA 等积，求证 P 点必
23、在对角线 AC 或 BD 上。 （瑞典，1982） 分析：用复数表示三角形面积，形式非常简单。设 21 2211 , ii erzerz， 则 2121 sin 2 1 21 rrS zOz 。 由于 2121212121 Im 2 1 ,sincos 21 zzSirrzz zOz 。 本题取 P 为复平面的原点，A、B、C、D 对应复数 DCBA zzzz,，则由四个三角形等积， 得 ADDCCBBA zzzzzzzzImImImIm， 又因为 i zzzz zz i zzzz zz CBCB CB BABA BA 2 Im, 2 Im ， 所以 CBCBBABA zzzzzzzz，即 C
24、ABCA zzzzzz B 。 同理可得 CACCAC zzzzzz， 若0 CA zz，则 CA zz，这说明 P 点为 AC 的中点， 若0 CA zz，则 C B C B z z z z ，这说明 P 点为 BD 的中点，所以 P 点必在 AC 或 BD 上。 例 17平面上给定A1A2A3及点 p0，定义 As=As-3,s4，构造点列 p0,p1,p2,使得 pk+1为绕中心 Ak+1顺时针旋 转 1200时 pk所到达的位置，k=0,1,2,若 p1986=p0.证明：A1A2A3为等边三角形。 证明令 u= 3 i e，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，
25、则 p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, u2+(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得 p6=w+p3=2w+p0,p1986=662w+p0=p0，所以 w=0，从而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1=（A2-A1）u，这说 明A1A2A3为正三角形。 三、基础训练题 1满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有_组。 2若 zC 且 z2=8+6i,且 z3-16z- z 100 =_。 第 10 页 共 14 页
26、 3.复数 z 满足|z|=5，且(3+4i)z 是纯虚数，则z_。 4已知 i z 31 2 ，则 1+z+z2+z1992=_。 5.设复数 z 使得 2 1 z z 的一个辐角的绝对值为 6 ，则 z 辐角主值的取值范围是_。 6设 x 是模为 1 的复数，则函数3 1 )( 2 2 x xxf的最小值为 （） A5B1C2D3 7若复数 z 满足关系zizz则,12|4|2| 22 对应的复平面的点 Z 的轨迹是 （） A圆B椭圆C双曲线D直线 8已知复数 z 满足关系式3|2|z，则复数 z 的辐角主值的范围是（） A 3 , 0 B2 , 3 5 C2 , 3 5 3 , 0 D2
27、 , 3 5 3 , 0 9若虚数 z 满足22, 8 233 zzzz那么的值是. 10若关于 x 的方程042 22 aaaxx至少有一个模为 3 的根，则实数 a 的值是 . 11 给正方体的 8 个顶点染上 k 个红点，k8个蓝点 （81 k） .凡两端为红色的棱记上数字, 2 31i 凡两端为蓝色的棱记上数字, 2 31i 凡两端异色的棱记上数字 1，这 12 个数字之积的所有可取值 为. 12N 个复数 z1,z2,zn成等比数列，其中|z1|1，公比为 q,|q|=1 且 q1,复数 w1,w2,wn满足条件： wk=zk+ k z 1 +h， （其中 k=1,2,n，h 为已知
28、实数） ，求证：复平面内表示 w1,w2,wn的点 P1,P2,Pn都在一 第 11 页 共 14 页 个焦距为 4 的椭圆上。 13若 ak0,k=1,2,n，并规定 an+1=a1，使不等式 n k k n k kkkk aaaaa 11 2 11 2 恒成立的实数的最大 值为_。 14若 nN，且 n3,则方程 zn+1+zn-1=0 的模为 1 的虚根的个数为_。 15设(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+anxn，则 2222 54 3 21 0 aa a aa a+a3k- n kk a aa 22 2313 _。 16设复数 z1,z2满足 z10 2
29、12 zAzAz,其中 A0，AC。证明： （1）|z1+A|z2+A|=|A|2；（2）. 2 1 2 1 Az Az Az Az 17若 zC,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值，并求取得最大值、最小值时的复数 z. 四、联赛训练题 1已知复数 z 满足. 1| 1 2| z z则 z 的辐角主值的取值范围是_。 第 12 页 共 14 页 2设复数 z=cos+isin(0)，复数 z,(1+i)z，2z在复平面上对应的三个点分别是 P，Q，R，当 P，Q， R 不共线时，以 PQ，PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S，则 S 到原点距离的最大值
30、为_。 3 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,z20,则复数 1995 20 1995 2 1995 1 ,zzz 所对应的不同点的个数是_。 4已知复数 z 满足|z|=1，则|z+iz+1|的最小值为_。 5设iw 2 3 2 1 ，z1=w-z,z2=w+z,z1,z2对应复平面上的点 A，B，点 O 为原点，AOB=900，|AO|=|BO|， 则OAB 面积是_。 6设 5 sin 5 cos iw，则(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展开式为_。 7已知(i3)m=(1+i)n(m,nN+)，则 mn 的最小值是_。 8复平面上，
31、非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心，1 为半径的圆上， 1 zz2的实部为零，z1的辐角主值为 6 ，则 z2=_。 9.当 nN,且 1n100 时， n i 1) 2 3 ( 7 的值中有实数_个。 10已知复数 z1,z2满足 2 1 1 2 z z z z ，且 3 1 Argz， 6 2 Argz， 8 7 3 Argz，则 3 21 z zz Arg 的值是 _。 11集合 A=z|z18=1,B=w|w48=1,C=zw|zA,wB，问：集合 C 中有多少个不同的元素？ 12证明：如果复数 A 的模为 1，那么方程A ix ix n ) 1 1 (的所有根都是不相等的实根（n
32、N+）. 第 13 页 共 14 页 13.对于适合|z|1 的每一个复数 z，要使 0|z+|2 总能成立，试问：复数，应满足什么条件？ 14设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5满足 ,)( 4 1 5432154321 4 5 3 4 2 3 1 2 Saaaaaaaaaa a a a a a a a a 其中 S 为实数且|S|2，求证：复数 a1,a2,a3,a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上。 15求证：)2( 2 ) 1( sin 2 sinsin 1 n n n n nn n 。 16 已知 p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+cn是复变量 z 的实系数多项式， 且|p(i)|1， 求证： 存在实数 a,b,使得 p(a+bi)=0 且(a2+b2+1)24b2+1. 17运用复数证明：任给 8 个非零实数 a1,a2,a8，证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8中至少有一个是非负数。 第 14 页 共 14 页 18已知复数 z 满足 11z10+10iz9+10iz-11=0，求证：|z|=1. 19设 z1,z2,z3为复数，求证：|z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。
