1、九师联盟九师联盟 2022 届高三上学期届高三上学期 8 月开学考月开学考 数学数学 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 。 4.本卷命题范围高考范围。 一、 选择题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小
2、题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A=x|x2+2x-30，B=x|-2x0，且 11 ab ，则下列不等式一定成立的有 A.a0，b0）的渐近线方程为2yx ，则 C 的离心率为 _。 14.已知向量 a，b 满足|a|=2，|2b ，且(2)baa，则 cos（a，b）=。 15.已知随机变量N（0， 2 ） ，且 P（0，则 P（-ab0）的左、右焦点分别为 F1， F2， 2 (1,) 2 P是 C 上一点，且 PF2与 x 轴垂直。 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若过点 6 (,0) 3 Q 的直线 l 交 C 于 A，B 两点，证明 22 11 |
3、AQBQ 为定值. 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）=a（lnx+2）- x。 （1）当 a=1 时，求 f（x）的最大值； （2）设点 A（x1，f（x1） ）和 B（x2，f（x2） ）是曲线 y= f（x）上不同的两点，且 f（x1） =f（x2） ，若 akx1+x2恒成立，求实数 k 的取值范围. 高三数学参考答案提示及评分细则高三数学参考答案提示及评分细则 1.B 因为 A=x|x-3 或 x1，B=x|-2x1 时，二者有 1 个交点；曲线 y= ln x 在点（1，0）处的切线方程为 y=x-1，当 x1 时，二者若有 2 个交点，由图知，必有 k1，故选
4、B. 8.A 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（x0，y0） ，则 120 120 2, 2. xxx yyy 又 2 11 2 22 4 , 4, yx yx 两式相减得 121212 ()()4()yyyyxx，则 12 12120 42yy k xxyyy 。设圆心为 C（5，0） ，则 kOM= 0 0 5 y x ， 因为直线 l 与圆相切， 所以 0 00 2 1 5 y yx ， 解得 x0=3， 代入 22 (5)9xy 得 0 0 222 5 5, 55 yk y ，故选 A. 9.ABD 因为 ab0，且 11 ab ，所以由不等式的基本性质，得 11 aba
5、b ab ，即 ba，则 A 正确；由 aa，且 ab0，可得 a 与 b 同 号，所以 a2与 b2的大小未知，则 C 错误；对于选项 D，由 ba，且 ab0，可得 a 与 b 同号， 所以0 a b ，0 b a ，且 ab ba ，则22 aba b bab a ，则 D 正确.故选 ABD. 10.ACD 由题意 ，得 3 , 22 , 42 kkZ 即 21 , 33 02, kkZ 解得 1 3 ，1，5 3 ， . 故选 ACD. 11.ABC 由题意可知图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润.根据折线统计图可知 1 月至 6 月的相对高度的总量要比 7 月至 12 月的相对高
6、度总量少，A 正确；由图可知 BC 正 确；由图可知 11 月的相对高度比 7 月、8 月都要小，D 错误.故选 ABC. 12. BC 以 A 为原点，分别以,AB AD AE 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐 标系，可得 A（0，0，0） ， B（1，0，0） ，C（1，2，0） ，D（0，1，0） ，E（0，0，2） ，F （1，2， 8 7 ） ，BD =（-1，1，0） ，EC =（1，2，-2） ，BD EC 10，则 BD，EC 不垂 直， 则 A 错误；AB （1， 0， 0） 是平面 ADE 的法向量， 又BF =（0， 2， 8 7 ） ， 可得BF A
7、B =0， 又因为直线 BF平面 ADE，所以 BF/平面 ADE，则 B 正确；设 m=（a，b，c）为平面 BDF 的一个法向量，则 .0, .0, m BD m BF 即 0, 8 20, 7 ab bc 令 b=1，可得 7 (1,1,) 4 m ，.依题意， BD =（-1，1，0） ，BE =（-1，0，2） ，CE =（-1.-2.2）.设 n=（x，y，z）为平面 BDE 的 法向量，则 .0, .0, n BD n BE 即 0, 20, xy xz 令 z=1，可得 n=（2，2，1）.所以| cos（m， n|= |1 |3 m n m n ，.则 C 正确； 4 cos
8、, 9| CE n CE n CEn ，则 D 错误.故选 BC。 13.5由题意，得2 b a ，所以 2222 22 222 1125, cabb e aaa ，故 C 的离心率为 5. 14. 2 2 由 已 知 得 （ 2b- a ） a=0 ， 即 2ab=a2， 即2 22 cos( , )4a b ， 则 2 cos, 2 a b 15.2m-1P（0）= 1 2 ，则 P（0a）=m- 1 2 ，P（-aa）=2P（0a）=2（m- 1 2 ） =-2m-1。 16.1090 解法一由题意可知，m=4，q=3，且 an+4=3an，所以 21159131721261014183
9、711151948121620 ()()()()Saaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 6555 1 (1 3 )1 (1 3 )2 (1 3 )3(1 3 ) 364 1 31 31 31 3 121 +242+ 363=1090. 解法二 4 1 1 1237 i i a ， 84 51 33 7 ii ii aa ， 128 2 95 33 (3 7)37 ii ii aa 1612 3 139 337, ii ii aa ， 2016 4 1713 337 ii ii aa ， 32345 211713951 33333243.aaaaaa. 所以 4 21 234 1 1 33
10、 73 737373724372431090. 1 3 i i a 17.证明选择，设数列an的公差为 d， 由 S7=49，a5=9，得 1 1 7 6 749, 2 49, ad ad ， 解得 1 1, 2, a d 所以 an=2n-1. . 5 分 又因为 1 11111 (), (21)(21)2 2121 n nn b a annnn 所以 123 11111111 (1) 2335572121 nn Tbbbxb nn 所以 111 (1) 2212 n T n 选择，设数列an的公差为 d， 因为 58 10Sa，所以 1 4310,ad，又 1 49ad， 解得 d=2，
11、a1=1， 所以 an=2n-1. . 5 分 又因为 1 11111 () (21)(21)2 2121 n nn b a annnn 所以 123 11111111 (1) 2335572121 nn Tbbbb nn 所以 111 (1) 2212 n T n . 10 分 选择，设数列an的公差为 d，因为 86 28SS，即 78 28aa， 又因为 a5=9，所以 2a5+5d= 28，解得 d=2， 所以 15 494 21aad ， 所以 an=2n-1. . 5 分 又因为 1 11111 (), (21)(21)2 2121 n nn b a annnn 所以 123 11
12、111111 (1) 2335572121 nn Tbbbb nn 所以 111 (1) 2212 n T n 18. （1）解在ADC 中，AD=5，AC=7，DC=3， 由余弦定理，得 cosADC= 925491 2 3 52 所以ADC= 120.即ADB=60. . 3 分 在ABD 中，AD=5，B=45，ADB= 60， 由正弦定理，得 5 sin45sin60 AB ， 解得 5 6 . 2 AB . 6 分 （2）证明设 BD= DC=x.在ABD 中，cosADB= 2 25 19 25 x x . 在ADC 中，c0sADC= 2 2549 25 x x 因为ADC+AD
13、B= 180 ，所以 22 25 192549 0 2525 xx xx 解得 x=3 所以 925491 cos 2 3 52 ADC ，所以ADC= 120，从而ADB= 60， 故ADC=2ADB. . 12 分 19.解 （1）由题意，得（0.005+0. 01+0. 015+a+0.045） 10= 1，解得 a=0. 025. .2 分 不低于50分考生的平均成绩估计为550.1+650.25+750.45+ 850.15+950. 05=73 （分） . . 4 分 （2）在90，100上的频率为 0.00510=0.05，由条件得总人数为 3 60 0.05 ， 所以在50，
14、60内的人数为 600.1=6，. 6 分 每次抽取，取出黄金搭档组”的概率 11 63 2 9 C C1 C2 p 因此 1 (4, ) 2 XB。. 004 4 111 (0)( )(1) 2216 P XC 113 4 111 (1)( )(1) 224 P XC 222 4 113 (2)( )(1) 228 P XC 331 4 111 (3)( )(1) 224 P XC 440 4 111 (4)( )(1) 2216 P XC. 10 分 X 的分布列为 1 ()42. 2 E Xnp 20. （1）证明取 B1C1的中点 G，连接 DG，EF，FG，如图 1， 则 DG/A1
15、B1，且 11 1 2 DGAB；EF/AB，且 1 2 EFAB， .2 分 又 AB/A1B1，AB=A1B1，所以 EF/DG，且 EF= DG， 所以 DEFG 为平行四边形，所以 DE/GF. . 又DE 平面 11, B BCC GF 平面 11 B BCC， 所以 DE/平面 11 B BCC （注本题也可以取 A1B1的中点 H，连接 DH，HE，利用平面 DEH/平面 B1BCC1来证 DE/ 平面 B1BCC1，如图 2） （2）解设 1 ,ABa ACb AAc ，由已知，得|a|=|b|=|c|=2，且0,a cb c， 则 1 2 AFac ， 111 11111 2
16、2222 EDFGBBBCcba 因为 AFDE， 所以 1111 () () 2222 AF EDaccba 22 111 2cos10 224 a bacBAC ， 解得 1 cos 2 BAC，即60 .BAC 又 AB=AC，则ABC 为等边三角形， 直三棱柱 ABC-AIBC 外接球的球心为ABC 与A1B1C1中心连线 O1O2的中点 O，如图 3， 连接 1111 ,AO AO AO为直三棱柱 ABC-A1B1C1外接球的半径. 因为 11 22 2sin603 AO ， 1 1OO ，所以 222 1111 7 3 AOAOOO， 所以直三棱柱 111 ABCABC外接球的表面
17、积为 2 28 4 3 R .12 分 21. （1）解由题意，得 F2（1，0） ，F1（-1，0） ，且 c=1， .1 分 则 22 12 22 2|(1 1)(0)2 2 22 aPFPF，即2a ， .2 分 所以 22 1bac 故椭圆 C 的方程为 2 2 1 2 x y. （2）证明当直线 AB 的斜率为零时.点 A，B 为椭圆长轴的端点， 则 22 22 1111 |66 (2)( 2) 33 AQBQ 22 22 664 ( 2)( 2)4 333 3 24 (2)( ) 33 ； . 6 分 当直线 AB 不与 x 轴重合时，设直线 AB 的方程为 6 3 xty，点 1
18、122 ( ,), (,)A x yB xy， 联立 2 2 6 , 3 1, 2 xty x y 消去 x，得 22 2 64 (2)0, 33 t tyy， 则 22 816 (2)0 33 tt 恒成立， 由韦达定理，得 12 2 2 6 3(2) t yy t ， 12 2 4 3(2) y y t 所以 222 121212 222222222222 121212 ()21111 |(1)(1)(1)(1) yyyyy y AQBQtytyty yty y 22 22222 22 2222 8816(1) 1693(2)3(2)3(2) 3. 1616 316 (1)(1) 9(2)
19、9(2) tt ttt tt tt 综上， 22 11 3 |AQBQ 为定值. . 12 分 22.解 （1）当 a=1 时，f（x）=ln x+2- x，f（x）的定义域为（0， +） ， 11 ( )1 x fx xx 当 0 x0；当 x1 时，f（x）0，从而当 t1 时，h（t）0， 所以 2 ( ) ( )0 (1) h t g t t t ，于是 g（t）在（1， +）上是减函数， 所以 g（t）g（1）=0，此时适合题意. .8 分 （ii）当 0k2 时，0，则 h（t）0 恒成立，从而 2 ( ) ( )0 (1) h t g t t t ，所以 g（t）在 （1， +）上是减函数，于是 g（t）2 时，考察 h（t）的图像，其对称轴方程为 t=k-1，且 h（1）=4- 2k0， 所以存在 t0（k-1，2k） ，使得 h（t0）=0， 于是 h（t）在（k-1，+）内只有一个零点 t0， 所以当 0 1tt 时，h（t）g（1）=0，此时不适合题意. 综上，实数 k 的取值范围是（ -，2. . 12 分
