1、高考数学中总练习题高考数学中总练习题. . 1.1.已知函数已知函数 ( )ln1()f xaxxaR （1 1）求函数）求函数 ( )f x 的单调区间；的单调区间； （2 2） 当当0a 时时， 对任意的对任意的 1212 ,(0,1,x xxx ， 都有都有 12 12 11 4fxfx xx ， 求实数求实数a的取值范围的取值范围. . 2.2.已知定义在已知定义在 0,上的函数 上的函数 2 1 cos 2 f xxaxx （1 1）若）若 fx为定义域上的增函数，求实数 为定义域上的增函数，求实数a的取值范围；的取值范围； （2 2）若）若1a ， 12 0f xf x ， 12
2、xx ， 0 fx 为为 fx的极小值，求证： 的极小值，求证： 120 2xxx 解解： （1 1）由）由 2 1 cos 2 f xxaxx得：得： sinfxxax fx为为0,上的增函数，上的增函数， sin0fxxax 在在 0,上恒成立， 上恒成立， 即即sinaxx， 令令 sin0g xxx x ，则，则 cos10 xgx ， g x在在0,上单调递减，上单调递减， 00g xg，即，即 max0g x， 0a ，即实数，即实数a的取值范围为的取值范围为0,. . （2 2）当）当1a 时，时， 2 1 cos 2 f xxxx，则，则 1 sinfxxx ， 1 cos0f
3、xx ， fx 在在 0,上单调递增， 上单调递增， 又又 010 f ， 10f ， 0 0,x ，使得使得 0 0fx ，且当且当 0 0,xx 时时， 0fx ；当当 0, xx时 时， 0fx ； fx在 在 0 0,x 上单调递减，在上单调递减，在 0, x 上单调递增，则 上单调递增，则 0 fx 为为 fx的极小 的极小 值值. . 设设 12 xx ， 010f ， 2 10 2 f ， 102 0 xxx ， 设设 00 0F xf xxf xxx ， 00 222sincosFxxxx ， 0 2sinsinFxxx 0 0,x ， 0 sin0 x ，又，又sin0 x
4、， 0Fx ， Fx 在在 0, 上单调递增，上单调递增， 0000000 0222sincos0222sin21 sin20Fxxxxxxfx ， 00FxF ， F x 在在 0, 上单调递增，上单调递增， 00 00F xFf xf x ， 1202002002 2f xf xf xxxf xxxfxx 1 sin20 2222 f ， 02 2 xx ， 020 02xxx ， 又又 fx在 在 0 0,x 上单调递减，上单调递减， 102 2xxx ，即，即 120 2xxx . . 3 3已知函数已知函数 2 1 ( )ln1, 2 f xxxmxxmR . . （1 1）若）若
5、( )f x 有两个极值点，求实数有两个极值点，求实数m m的取值范围；的取值范围； （2 2）若函数）若函数 2 ( )lnlng xxxmxexemx有且只有三个不同的零点，分别记为有且只有三个不同的零点，分别记为 123 ,x xx，且 ，且 3 1 x x 的最大值为的最大值为 2 e，求，求 31 x x的最大值 的最大值. . 解解： （1 1）由题意得）由题意得 lnfxxmx ，x x00 由题知由题知 lnfxxmx =0=0 有两个不等的实数根，有两个不等的实数根， 即即 lnx m x 有两个不等的实数根令有两个不等的实数根令 lnx h x x ，则，则 2 1lnx
6、hx x 由由 h x 00，解得，解得0ex，故，故 h x在 在(0(0，e)e)上单调递增；上单调递增； 由由 h x 0ee，故，故 h x在 在(e(e，+ +) )上单调递减；上单调递减； 故故 h x在 在x x=e=e 处取得极大值处取得极大值 1 e ，且，且 0h e ， 结合图形可得结合图形可得 1 0 e m . . 当函数当函数f f( (x x) )有两个极值点时，实数有两个极值点时，实数m m的取值范围是的取值范围是(0(0， 1 e ) ) （2 2）因为）因为g g( (x x)=)=x xlnlnx x- -mxmx 2 2-eln -elnx+mx+me
7、ex x=(=(x x-e)(ln-e)(lnx x- -mxmx) )， 显然显然x x=e=e 是其零点是其零点 由（由（1 1）知）知 lnlnx x- -mxmx=0=0 的两个根分别在的两个根分别在(0(0，e)e)，(e(e，+ +) )上，上， g g( (x x) )的三个不同的零点分别是的三个不同的零点分别是x x1 1，e e，x x3 3，且，且 00 x x1 1eee 令令 3 1 x t x ，则，则t t 2 1 e ， 则由则由 3 1 33 11 x t x lnxmx lnxmx ， ， ， 解得解得 1 3 ln 1 ln . 1 t lnx t t t
8、lnx t ， 故故 1313 1 ln lnlnln 1 tt x xxx t ，t t 2 1 e ， 令令 1 ln 1 tt t t ，则，则 2 1 2ln 1 tt t t t 令令 1 2lnttt t ，则 ，则 2 2 222 1 2121 10 t tt t tttt 所以所以 t 在区间在区间 2 1 e ， 上单调递增，即上单调递增，即 t 10 所以所以 0t ，即，即 t 在区在区 间间 2 1 e ， 上单调递增，即上单调递增，即 t 2 e = = 2 2 2 e1 e1 ，所以，所以 2 12 2 21 ln 1 e x x e ，即，即x x1 1x x3
9、3 2 2 2 e1 e1 e . . 所以所以x x1 1x x3 3的最大值为的最大值为 2 2 2 e1 e1 e 18.已知函数已知函数xaxexgxaxxf x 4)(, 2ln2)(. （1）求函数求函数)(xf的极值；的极值； （2）当当0a时，证明：时，证明：)2ln(ln2) 1(ln2)(axxxg. 1 19.9.已知函数已知函数 ax fxex（aR，e为自然对数的底数为自然对数的底数） ， ln1g xxmx. （1）若）若 fx有两个零点，求实数有两个零点，求实数a的取值范围；的取值范围； （2）当当1a 时时， x f xxg x 对任意的对任意的0,x恒成立恒成
10、立，求实数求实数m的取值范围的取值范围. 20. 已知函数已知函数xaaxxexf x ln)(. （1）当）当ea 时，求函数时，求函数)(xf的单调区间；的单调区间； （2）若）若1)(xf，求，求a的取值范围的取值范围. 方法七：主元变换方法七：主元变换 例例 9.9.已知正实数已知正实数a，设，设xxaxxfln)( 22 . . （1 1）若）若2a，求函数，求函数)(xf在在, 1 e上的值域；上的值域； （2 2）), 2 1 x，均有，均有12)(xaxf恒成立，求实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围. . 练习练习.（2019 浙江浙江 22）已知实数）已知实数0a ，设函数，设函数( )= ln1,0.f xaxxx （1）当）当 3 4 a 时，求函数时，求函数( )f x的单调区间；的单调区间； （2）对任意）对任意 2 1 ,) e x均有均有( ), 2 x f x a 求求a的取值范围的取值范围.
