1、数学试卷数学试卷一一、 选择题选择题 （本大题共本大题共 1212 小题小题， 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中， 只有一个选项符合题目要求的只有一个选项符合题目要求的） . .1.已知集合1,0,1,2 ,|2xABy y ，则AB （）A.1,0,1B.1,2C.0,1，2D. 1,1，2【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的值域化简集合B，由交集的定义可得结果.【详解】集合1,0,1,2 ,A |20 xBy yy y，所以1,2AB 故选 B【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求
2、满足属于集合A且属于集合B的元素的集合.2.函数2 lg(42 )yxx的定义域为（）A. 2,0)B.(0,2)C. 2,2)D.( 2,2)【答案】C【解析】【分析】由函数可知20420 xx，解不等式组即可得定义域.【详解】由函数2 lg 42yxx，可得20420 xx，解得22x .所以函数的定义域为：2,2.故选 C.【点睛】本题主要考查了具体函数的定义域，属于基础题.3.下列函数中，定义域是 R R 且为增函数的是()A.yexB.13yxC.ylnxD.y|x|【答案】B【解析】【分析】分别判断选项中的函数单调性即可得解.【详解】由所给选项知只有13yx的定义域是 R R 且为
3、增函数.故选 B【点睛】本题主要考查了函数的单调性，属于基础题.4.不等式2320 xx的解集为（ ）A. , 21, B.2, 1C.,12,D.()1,2【答案】D【解析】试题分析：，不等式的解集为()1,2考点：一元二次不等式解法5.函数 243f xaxx的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A.4,00,3B.4,3C.4,3D.4,3【答案】C【解析】【分析】由函数 243f xaxx的定义域为R，转化为2430axx恒成立，再分0a 和0a 的情况讨论，求得a的取值范围.【详解】由题2430axx恒成立，当0a 时，得34x ，不符合题意，当0a 时，则016 120aa ，得4
4、3a .综上可得：43a .故选：C【点睛】本题考查了定义域为R的理解，恒成立问题的分析与处理.6.已知函数2log (3-)yax在0,1上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)(1,3)D.(0,3)【答案】D【解析】【分析】根据对数函数的单调性与定义域，结合一次函数的单调性列不等式求解即可.【详解】设3tax，则2logyt递增，2log3yax在0,1上是x的减函数，3tax 在0,1上是减函数，且3 ax为正，即300aa，解得0 3a，则a的取值范围是0,3,故选 D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复
5、合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.7.设函数 200 xxf xxx，则满足12f xfx的 x 的取值范围是（）A.1，B.1，C.10 ，D.0，【答案】B【解析】【分析】由分段函数的解析式以及指数函数的单调性可得 f x在R上单调递増，原不等式等价于12xx ,解不等式即可得到所求解集.【详解】函数 2 ,0,0 xxf xx x,可得 f x在R上单调递増，12f xfx化为12xx ，解得1
6、x ,12f xfx的解集为1,，故选 B.【点睛】本题考査函数的单调性的判断和运用,属于中档题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容归纳起来，常见的命题探究角度有： （1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小； （3）解函数不等式； （4）求参数的取值范围或值8.已知3log 2a ，9log 5b ，0.13c ，则, ,a b c的大小关系为（）A.abcB.bacC.acbD.bca【答案】A【解析】【分析】利用对数的性质，比较 a,b 的大小，将 b,c 与 1 进行比较，即可得出答案【详解】令9logyx,结合对数函数性质,单调递减,399l
7、og 2log 4log 51ab，0.131c ，abc.【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小问题，结合相应性质，即可得出答案9.已知( )f x在R上是奇函数，且满足(4)( )f xf x，当(0,2)x时，2( )2f xx，则(2019)f（）A. -2B. 2C. -98D. 98【答案】A【解析】【分析】由( )f x在R上是奇函数且周期为 4 可得(2019)(1)ff ，即可算出答案【详解】因为( )f x在R上是奇函数，且满足(4)( )f xf x所以(2019)(504 5 1)( 1)(1)ffff 因为当(0,2)x时，2( )2f xx所以(2019)(1)2f
8、f 故选：A【点睛】本题考查的是函数的奇偶性和周期性，较简单.10.函数log(01)ayx aa且与函数2(1)21yaxx在同一坐标系中的图像可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由二次函数和对数函数的性质，即可判断出结果.【详解】当1a 时，logayx单调递增，2121yaxx开口向上，不过原点，且对称轴101xa，可排除 AB 选项；当1a 时，logayx单调递减，2121yaxx开口向下，可排除 D，故选 C【点睛】本题主要考查函数的图像问题，通过对数函数的单调性，以及二次函数的对称性和开口方向，即可判断出结果，属于基础题型.11.函数 y =|x2-1|与 y =
9、a 的图象有 4 个交点，则实数 a 的取值范围是（） A. (0，)B. (-1，1)C. (0，1)D. (1，)【答案】C【解析】【分析】作函数21yx图象，根据函数图像确定实数 a 的取值范围.【详解】作函数21yx图象，根据函数图像得实数 a 的取值范围为（0，1） ，选 C.【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合的思想求解.12.已知函数 2243,2f xxg xkxx，若对任意的11,2x ，总存在21, 3x，使得12g xf
10、 x，则实数k的取值范围是（）A.1,12B.1 2,3 3C.112，D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】对任意的 x11，2，总存在 x213 ，使得 g（x1）f（x2） ，可得 g（x1）minf（x2）min，根据基本不等式求出 f（x2）min=1，再分类讨论，求出 g（x）min，即可求出 k 的范围【详解】对任意的 x11，2，总存在 x213 ，使得 g（x1）f（x2） ，g（x1）minf（x2）min，f（x）=x2+24x32224xx3=43=1，当且仅当 x=2时取等号，f（x2）min=1，当 k0 时，g（x）=kx+2，在 x1，2为增函数，g（x）m
11、in=f（1）=2k，2k1，解得 0k1当 k0 时，g（x）=kx+2，在 x1，2为减函数，g（x）min=f（2）=2k+2，2k+21，解得12k0，当 k=0 时，g（x）=2，21 成立，综上所述 k 的取值范围为（12，1）故选 A【点睛】本题考查了函数恒成立问题和存在性问题，以及基本不等式，属中档题二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 4 小题）小题）13.若函数 24logxf xx，则 1f的值为_.【答案】4【解析】【分析】代入法求函数值.【详解】 1214log 1f4.故答案为：4【点睛】直接用代入法求函数值.14.若集合 |210Axx ， | 1Bxx，
12、则AB=.【答案】1,12【解析】【详解】1,2A，( 1,1)B ，AB=1,12.15.函数12yxx的值域是_.【答案】1,2【解析】【分析】先求函数定义域，再根据函数单调性求值域.【详解】由1 20 x得12x ，因为函数12yxx为定义域单调递增函数，所以12y ，即值域是1,.2【点睛】求函数值域最根本的方法为单调性方法，注意先讨论函数的定义域.16.关于函数( )ln(1)ln(1)f xxx,有下列结论:( )f x的定义域为(-1, 1);( )f x的值域为(ln2,ln2);( )f x的图象关于原点成中心对称;( )f x在其定义域上是减函数;对( )f x的定义域中任
13、意x都有22()2 ( )1xff xx.其中正确的结论序号为_.【答案】【解析】【分析】根据对数函数的定义求得函数的定义域，得到正确，根据对数函数的奇偶性的定义，判定正确，根据函数单调性的定义求得不正确，根据对数函数的性质求得不正确；根据对数的运算性质可判定正确.【详解】由题意，函数( )ln(1)ln(1)f xxx，所以1010 xx，解得11x ，所以函数 fx的定义域为1,1，所以是正确的；由1( )ln(1)ln(1)ln1xf xxxx，令11xux，则11uxu，令1111uu ，解得0u，所以函数1( )ln1xf xx的值域为 R，所以是不正确；因为 ()ln(1)ln(1
14、)ln(1)ln(1)fxxxxxf x ，所以函数 fx为奇函数，图象关于原点对称，所以是正确的；设1,1x ，且12xx，则1212112212(1)(1)()()ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)(1)xxf xf xxxxxxx因为1211xx ，1211xx ，所以1212(1)(1)1(1)(1)xxxx，所以1212(1)(1)ln0(1)(1)xxxx，即12()()f xf x，所以函数定义域上的单调递增函数，所以不正确；由222222122211()ln(1)ln(1)ln2ln2ln(1)ln(1)2111111xxxxxxfxxxxxxxx，所以是正确的
15、；【点睛】本题主要考查了函数的定义域与值域，对数的运算性质，以及函数的的单调性与奇偶性的定义的判定与应用，其中熟记函数的定义域，以及对数函数的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. .17.已知全集15UxZx，集合2680Ax xx，集合3,4,5B .（1）求AB；（2）求UAB.【答案】 （1）2,3,4,5AB（2）3,5UAB 【解析】【分析】先化简求得集合,U B，再根据集合的交并补运算求解.【详解】解
16、： （1）2680 xx，解得2x 或 4，2,4A ，2,3,4,5AB；（2）15UxZx1,2,3,4,5，故3,5UAB .【点睛】本题考查了集合的交并补运算，属于容易题.18.化简求值：（1）222lg2lg2 lg5lg2lg2 1（2）20.53221820.756427.【答案】 （1）1（2）1【解析】【分析】（1）22lg2lg2 1lg21 ，然后21lg2lg2 11 lg21lg22 ，然后可算出答案；（2）1220.52232332218331220.75642724363，然后算出答案即可.【详解】 （1）22lg2lg2 1lg21 ；21lg2lg2 11 l
17、g21lg22 ；原式2111lg 2lg2 lg5lg2 122211lg2 lg2lg5lg2 1122 .（2）20.53221820.75642712223233312243632233122436339192163641.【点睛】本题考查的是指数幂和对数的运算，属于基础题.19.已知幂函数 yf x的图象过点2,2.（1）求函数( )f x的解析式，并求出它的定义域；（2）试求满足13fafa的实数a的取值范围.【答案】 （1） fxx；定义域为0,.（2）1,3【解析】【分析】（1）设出 fx的解析式，代入点2,2求得 fx的解析式，进而求得 fx的定义域.（2）根据 fx的定义域
18、和单调性，解不等式13fafa，求得a的取值范围.【详解】 （1）设 fxx，代入点2,2得22，解得12，即 12fxxx.故函数 fx的定义域为0,.（2）由于 fx的定义域为0,，且在0,上递增，由已知13fafa可得103013aaaa故a的范围是1,3.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数的定义域、单调性，属于基础题.20.已知函数12( )21xxf xm是奇函数，（1）求实数 m 的值；（2）判断函数( )f x的单调性并用定义法加以证明；（3）若函数( )f x在2log,3a上的最小值为16a，求实数 a 的值【答案】 （1）m=-1； （2）见解析； （3）
19、2a 或3a 【解析】【分析】（1）由奇函数满足 00f，即可求解 m，再检验是否为奇函数即可；（2）利用定义法证明：设12,x x是定义在区间, 上的任意两个数，且12xx， 12f xf x化简和 0 比较大小即可；（3）由（2）可知函数为增函数，所以当2logxa时 f x有最小值，代入解方程即可.【详解】 （1）由 00f，得1m ，经检验符合题意.本题也可用 0fxf x恒成立求解.（2）函数 f x是区间, 上的增函数.下面用定义法证明：设12,x x是定义在区间, 上的任意两个数，且12xx，则1212122211122 2222212121 21xxxxxxxxf xf x.因
20、为12xx，得1222xx，12220 xx.显然有1221210 xx，从而有 120f xf x.因为当12xx时，有 12f xf x成立，所以 f x是区间, 上的增函数.（3）由单调性知，当2logxa时 f x有最小值，则22log1log221112116aaaaa ，即2560aa，解得2a 或3a .【点睛】本题主要考查了奇偶性的应用及利用定义证明函数的单调性，属于中档题.21.已知函数( )1f xxx（1）求( )f x单调区间（2）求0, xa时，函数的最大值.【答案】 （1）单调增区间是11,2， 和,单调减区间为112（ ， ）；（2）当10a2时，函数的最大值为
21、2f aaa .，当112a22时，函数的最大值为11f24，当12a2时，函数的最大值为 2f aaa【解析】【分析】（1）对函数 f x去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断（2）令 12fxf（1x ） ，解出122x，对实数a的范围分类讨论求解【详解】 （1） 22,1f x,1xx xxx x， 由分段函数的图象知,函数的单调增区间是11,2， 和,单调减区间为112（ ， ）.（2）当10a2时，函数的最大值为 2f aaa 当112a22时，函数的最大值为11f24；当12a2时，函数的最大值为 2f aaa.【点睛】 （1）考查了分段函数单调性问题，结合分段
22、函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22.已知( )f x定义域为R,对任意x,yR都有()( )( )1f xyf xf y,当0 x 时,( )1f x ,(1)0f.（1）求( 1)f ;（2）试判断( )f x在R上的单调性,并证明;（3）解不等式:2(232)2 ( )4fxxf x.【答案】 （1）( 1)2f （2）( )f x在R上单调递减，证明见解析； （3）1|12xx【解析】【分析】（1） 令xy0， 得 f 01， 令x1,y1 ， 得 f 0f 1f11， 即可求解
23、f1的值；（2）利用函数的单调性的定义，即可证得函数为R上单调递减函数，得到结论.（3）令yx，得 2f xf 2x1，进而化简得2f 2xx22，再根据函数的单调性，得到不等式22xx21 ，即可求解.【详解】 （1）由题意，令xy0，得 f 0f 0f 01，解得 f 01令x1,y1 ，得 f 0f 1f11，所以f12.（2）函数 f x在R上单调递减，证明如下：任取12x ,xR，且12xx，可得1212111211f xf xf xf xxxf xf xxf x1211 f xx ，因为21xx0，所以21f xx1，所以12f xf x0即12f xf x，所以 f x在R上单调递减.（3）令yx，得 f 2xf xf x1， 2f xf 2x1 222f 2x3x22f xf 2x3x2f 2x1f 2x3x22x24 2f 2xx22，又 f x在R上的单调且f122f 2xx2f1，22xx21 .1x12，即不等式解集为1x |x12.【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值问题，以及函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟练应用抽象函数的赋值法求值，以及熟记函数的单调性的定义证明及应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
