1、 2013 年山西省中考试题 数学（解析） （满分（满分 120 分分 考试时间考试时间 120 分钟）分钟） 第第 I 卷卷 选择题（共选择题（共 24 分）分） 一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 24 分。在每个小题给出的四个选项中，只有分。在每个小题给出的四个选项中，只有 一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1（2013 山西，1，2 分）计算 2 （-3）的结果是（ ） A6 B-6 C-1 D5 【答案】B 【解析】异号相乘，得负，所以选 B。 2（2013 山西，2，2 分）
2、不等式组 35 215 x x 的解集在数轴上表示为（ ） 【答案】C 【解析】解（1）得：2x ，解（2）得：x3，所以解集为23x，选 C。 3（2013 山西，3，2 分）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（ ） 【答案】A 【解析】长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B、C 中两个小的与两个大的相邻，错，D 中底面不符合，只有 A 符合。 4 （2013 山西，4，2 分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、 乙两组的平均成绩相同，方差分别是 S2甲=36，S2乙=30，则两组成绩的稳定性：（ ） A甲组比乙组的成绩稳
3、定 B乙组比甲组的成绩稳定 C甲、乙两组的成绩一样稳定 D无法确定 【答案】B 【解析】方差小的比较稳定，故选 B。 5（2013 山西，5，2 分）下列计算错误的是（ ） Ax3+ x3=2x3 Ba6 a3=a2 C122 3= D 1 1 3 3 【答案】B 【解析】a6 a3 6 33 aa ，故 B错，A、C、D 的计算都正确。 6（2013 山西，6，2 分）解分式方程 22 3 11 x xx + += - 时，去分母后变形为（ ） A2+（x+2）=3（x-1）B2-x+2=3（x-1）C2-（x+2）=3（1- x）D 2-（x+2）=3（x-1） 【答案】D 【解析】原方程
4、化为： 22 3 11 x xx ，去分母时，两边同乘以 x1，得：2（x2）3（x 1），选 D。 7（2013 山西，7，2 分）下表是我省 11 个地市 5 月份某日最高气温（）的统计结果： 太原 大同 朔州 忻州 阳泉 晋中 吕梁 长治 晋城 临汾 运城 27 27 28 28 27 29 28 28 30 30 31 该日最高气温的众数和中位数分别是（ ） A27，28 B28，28 C27，27 D28，29 【答案】B 【解析】 28 出现 4 次， 最多， 所以众数为 28， 由小到大排列为： 27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31， 所以，中位数为
5、28，选 B。 8（2013 山西，8，2 分）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（ ） A1 条 B2 条 C4 条 D8 条 【答案】C 【解析】这是一个正八边形，对称轴有 4 条。 9（2013 山西，9，2 分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是 4.25%，若到期 后取出得到本息和（本金+利息）33852 元。设王先生存入的本金为 x 元，则下面所列方程正确 的是（ ） Ax+3 4.25%x=33825 Bx+4.25%x=33825 C3 4.25%x=33825 D3(x+4.25%x)=33825 【答案】A 【解析】一年后产生的利息为 4.25
6、%x，三年后产生的利息为：34.25%x，再加上本金，得到 33852 元，所以，A 是正确的。 10（2013 山西，10，2 分）如图，某地修建高速公路，要从 B地向 C 地修一座隧道（B，C 在 同一水平面上），为了测量 B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从 C 地出发，垂直上升 100m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地的俯角为 30 ，则 BC 两地之间的距离为（ ） A1003m B502m C503m D100 3 3 m 【答案】A 【解析】依题得：AC100，ABC30，tan30 AC BC ，BC100100 3 3 3 ，选 A。 11（2013 山西，11
7、，2 分）起重机将质量为 6.5t 的货物沿竖直方向提升了 2m，则起重机提升 货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg）（ ） A1.3 106J B13 105J C13 104J D1.3 105J 【答案】D 【解析】质量 m=6500kg，G=mg=65000，做功为 W=650,02=130000=1.3 105J，选 D。 12（2013 山西，1，2 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，A=60 ，AB=2，扇形 BEF 的半径 为 2，圆心角为 60 ，则图中阴影部分的面积是（ B ） A 2 3 3 2 B 2 3 3 C 3 2 D3 【答案】B 【解析】扇形 B
8、EF 的面积为：S1= 604 360 = 2 3 ， 菱形 ABCD 的面积为 SABCD= 1 2232 3 2 ， 如右图，连结 BD，易证：BDPBCQ，所以，BCQ 与BAP 的 面积之和为BAD 的面积为：3，因为四边形 BPDQ 的面积为3， 阴影部分的面积为： 2 3 3 第第卷卷 非选择题（共非选择题（共 96 分）分） 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分。把答案写在题中的横线上） 13（2013 山西，13，3 分）分解因式： 【答案】（） 【解析】原式提取公因式 a 即可，本题较简单。 14（2013 山西，14，3 分）四川雅安发生地震后，某
9、校九（1）班学生开展献爱心活动，积极 向灾区捐款。如图是该班同学捐款的条形统计图，写出一条你从图中所获得的信息： 【答案】该班有 50 人参与了献爱心活动（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分） 【解析】能得到的信息较多，答案不唯一，读图可得各组的人数分别为：20、5、10、15，加起 来等于 50。 15（2013 山西， 15， 3 分） 一组按规律排列的式子： ， 4 3 a ， 6 5 a , 8 7 a ,.则第 n 个式子是_ 【答案】 2 21 n a n- （n 为正整数） 【解析】已知式子可写成： 2 1 a ， 4 3 a ， 6 5 a , 8 7 a ，分母为奇数，可
10、写成 2n-1，分子中字母 a 的指 数为偶数 2n。 16 （2013 山西， 16， 3 分） 如图， 矩形 ABCD 在第一象限，AB在 x 轴正半轴上， AB=3，BC=1， 直线 y= 1 2 x-1 经过点 C 交 x 轴于点 E，双曲线 k y x =经过点 D，则 k 的值为_. 【答案】1 【解析】显然 C 点的纵坐标为 1，将 y=1 代入，直线方程 y= 1 2 x-1，得 x=4，即 OB=4， 又 AB=3，所以，OA=1，所以 D 点坐标为(1,1)，代入双曲线方程，可得 k=1。 17（2013 山西，1，2 分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=12，BC=
11、5，点 E 在 AB上，将 DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A处，则 AE 的长为_. 第 17 题 【答案】 10 3 【解析】由勾股定理求得：BD=13， DA=DA=BC=5，DAE=DAE=90，设 AE=x，则AE=x，BE=12x，BA=1358， 在 RtEAB 中， 222 (12)8xx，解得：x 10 3 ，即 AE 的长为10 3 18（2013 山西，18，3 分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥 面相交于 A，B 两点，桥拱最高点 C 到 AB的距离为 9m，AB=36m，D，E 为桥拱底部的两点， 且 DEAB，
12、点 E 到直线 AB的距离为 7m，则 DE 的长为_m. 【答案】48 【解析】以 C 为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得 B（18，9）， 设抛物线方程为： 2 yax， 将 B点坐标代入， 得 a 1 36 ， 所以， 抛物线方程为： 2 1 36 yx ， E 点纵坐标为 y16， 代入抛物线方程， 16 2 1 36 x， 解得： x24， 所以， DE 的长为 48m。 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（本题共 2 个小题，每小题 5 分，共 10 分） （1）（2013 山西，19(1)，5 分）计算： 0
13、 1 2cos45 3 . 【解析】解：原式= 2 21 2 =1-1=0 （2）（2013 山西，19(2)，5 分）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问 题。 2 262(2)6 24(2)(2)(2)(2) xxx xxxxxx - -=- +-+-+- 第一步 =2（x-2）-x-6第二步 =2x-4-x+6第三步 =x+2第四步 小明的解法从第 （2 分）步开始出现错误，正确的化简结果是 。（3 分） 【答案】二 1 2x- 20（2013 山西，20，7 分）（本题 7 分）解方程：（2x-1）2=x(3x+2)-7 【解析】解：原方程可化为：4x2-4x+1=3
14、x2+2x-7 x2-6x+8=0 (x-3)2=1 x-3= 1 x1=2 x2=4 21（2013 山西，21，8 分）（本题 8 分）如图，在 ABC 中，AB=AC，D 是 BA 延长线上的 一点，点 E 是 AC 的中点。 （1）实践与操作实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作 法）。 作DAC 的平分线 AM。连接 BE 并延长交 AM 于点 F。 【解析】解：作图正确，并有痕迹。 连接 BE 并延长交 AM 于点 F。 （2）猜想与证明猜想与证明：试猜想 AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。 【解析】解：AFBC 且 A
15、F=BC 理由如下：AB=AC,ABC=CDAC=ABC+C=2C 由作图可知：DAC=2FAC C=FAC.AFBC. E 是 AC 的中点， AE=CE, AEF=CEB AEFCEB AF=BC. 22（2013 山西，22，9 分）（本题 9 分）小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形 状及背面完全相同）：太原以南的壶口瀑布和平遥古城，太原以北的云岗石窟和五台山。他与爸 爸玩游戏：把这四张图片背面朝上洗匀后，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到两个 景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，只能去一个景点 旅游。请你用列表或画树状图的方法求小勇
16、能去两个景点旅游的概率（四张图片分别用（H，P， Y，W 表示）。 【解析】解：列表如下： 或画树状图如下： 由列表（或画树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有 12 种，而且每种结果出现的可能性 都相同，其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果共有 4 种。 P（小能力能到两个景点旅游）= 4 12 = 1 3 23（2013 山西，23，9 分）（本题 9 分）如图，AB 为的直径，点 C 在O 上，点 P 是直径 AB上的一点（不与 A，B重合），过点 P 作 AB的垂线交 BC 的延长线于点 Q。 （1）在线段 PQ 上取一点 D，使 DQ=DC，连接 DC，试判断 CD 与O 的
17、位置关系，并说明理 由。 （2）若 cosB= 3 5 ，BP=6，AP=1，求 QC 的长。 解析】解：（1）CD 是O 的切线, 理由如下：连接 OC,OC=OB,B=1.又DC=DQ,Q=2 PQAB,QPB=90 B+Q=90 1+2=90 DCO=QCB-(1+2)=180 -90 , OCDC,OC 是O 的半径CD 是O 的切线 (2)连接 AC,AB是O 的直径,ACB=90 . 在 Rt ABC 中, BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(1+6) 3 5= 21 5 . 在 Rt BPQ 中 BQ=cos BP B= 6 3 5=10 QC=BQ-BC=10= 2
18、1 5 = 29 5 24（2013 山西，24，8 分）（本题 8 分）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷 厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两 种印刷方式的费用 y（元）与印刷份数 x（份）之间的函数关系如图所示： （1）填空：甲种收费方式的函数关系式是 . 乙种收费方式的函数关系式是 . （2）该校某年级每次需印制 100450（含 100 和 450）份学案，选择哪种印刷方式较合算。 【解析】（1）y=0.1x+6 y=0.12x （2）解：由 0.1x+60.12x，得 x300 由 0.1x+6=0.12x，得 x=300
19、 由 0.1x+60.12x，得 x300 由此可知：当 100x300 时，选择乙种方式较合算； 当 x=300 时，选择甲乙两种方式都可以； 当 300x450 时，选择甲种方式较合算。 25（2013 山西，25，13 分）（本题 13 分）数学活动数学活动求重叠部分的面积。求重叠部分的面积。 问题情境问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图，将两块全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 叠放在一起，其中ACB=E=90 ， BC=DE=6，AC=FE=8，顶点 D 与边 AB的中点重合，DE 经过点 C，DF 交 AC 于点 G。 求重叠部分（ DCG）的面积。 （1）独立
20、思考：请解答老师提出的问题。 【解析】解：ACB=90 D 是 AB的中点, DC=DB=DA,B=DCB G E F C B A D 又ABCFDE，FDE=B FDE=DCB,DGBCAGD=ACB=90 DGAC 又DC=DA,G 是 AC 的中点, CG= 1 2 AC= 1 2 8=4,DG= 1 2 BC= 1 2 6=3 SDCG= 1 2 CG DG= 1 2 4 3=6 （2） 合作交流： “希望”小组受此问题的启发， 将 DEF 绕点 D 旋转， 使 DEAB交 AC 于点 H， DF 交 AC 于点 G，如图(2)，你能求出重叠部分( DGH)的面积吗？请写出解答过程。
21、【解析】解法一：ABCFDE,B=1 3 2 1 G H E FC B A D C=90 ,EDAB,A+B=90 , A+2=90 , B=2,1=2 GH=GD A+2=90 ,1+3=90 A=3,AG=GD，AG=GH 点 G 是 AH 的中点， 在 Rt ABC 中，AB= 10 （25 题 （1） ） （25 题 （2） ） D 是 AB的中点，AD= 1 2 AB=5 在 ADH 与 ACB中，A =A，ADH=ACB=90 , ADHACB, AD AC = DH CB , 5 8=6 DH ,DH= 15 4, S DGH 1 2 S ADH 1 2 1 2 DH AD= 1
22、 4 15 4 5= 75 16 解法二：同解法一，G 是 AH 的中点， 3 2 1 G H E FC B A D 连接 BH，DEAB，D 是 AB的中点，AH=BH，设 AH=x 则 CH- 在 Rt BCH 中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得 x= S ABH=AH BC= 1 2 25 4 6= 75 4 S= 1 2 S ADH= 1 2 1 2 S ABH= 1 4 75 4 = 75 16 . 3 2 1 N M G H E F C B A D 解法三：同解法一，1=2 连接 CD，由（1）知，B=DCB=1，1=2=B=DCB， DGHBDC, 作
23、DMAC 于点 M，CNAB于点 N，D 是 AB的中点，ACB=90 CD=AD=BD，点 M 是 AC 的中点，DM= 1 2BC= 1 2 6=3 在 Rt ABC 中，AB= 2222 86ACBC+=+=10， 1 2 AC BC= 1 2 AB CN， （25 题 （2） ） （25 题 （2） ） CN 8 624 105 ACBC AB 创 =. DGHBDC, 2 DGH BCDC SDM SCN , 2 DGHBCDC DM SS CN = 2 1 2 DM BD CN CN 2 312575 5 25 2416 4 DGH S （3）提出问题提出问题：老师要求各小组向“希
24、望”小组学习，将 DEF 绕点 D 旋转，再提出一个求重叠 部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将 DEF 绕点 D 旋转，DE，DF 分别交 AC 于点 M，N，使 DM=MN 求重叠部分( DMN)的面积、 任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出 DMN 的面积是 请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母， 不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。 N M E F C B A D N M E F C B A D 【答案】 75 16 注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得 1 分，画图正确得 1 分，重叠部
25、分未涂阴影不扣 分。 示例： 如图， 将 DEF 绕点 D 旋转， 使 DEBC 于点 M， DF 交 AC 于点 N， 求重叠部分 （四 边形 DMCN）的面积。 26（2013 山西，26，14 分）（本题 14 分）综合与探究：如图,抛物线 2 13 4 42 yxx=-与 x 轴交于 A,B两点(点 B在点 A 的右侧)与 y 轴交于点 C,连接 BC,以 BC 为一边,点 O 为对称中心作 菱形 BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点 P 的坐标为（m，0），过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物 （25 题 （3） ） （25 题 （4） ） 线于点 Q （1）求点 A,B
26、,C 的坐标。 （2）当点 P 在线段 OB上运动时，直线 l 分别交 BD，BC 于点 M,N。试探究 m 为何值时，四边 形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM 的形状，并说明理由。 （3）当点 P 在线段 EB上运动时，是否存在点 Q，使 BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写 出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 解析：（1）当 y=0 时， 2 13 40 42 xx-=，解得， 12 2,8xx=-= 点 B在点 A 的右侧， 点 A,B的坐标分别为：（-2，0），（8，0） 当 x=0 时，y=-4 点 C 的坐标为（0，-4）， （2）由菱形的对称性可知，
27、点 D 的坐标为（0，4）. 设直线 BD 的解析式为 ykxb，则 4 80 b kb = += .解得，k= 1 2 -，b=4. 直线 BD 的解析式为 1 4 2 yx=-+. lx 轴，点 M，Q 的坐标分别是（m， 1 4 2 m-+），（m， 2 13 4 42 mm-） 如图，当 MQ=DC 时，四边形 CQMD 是平行四边形. （ 1 4 2 m-+）-( 2 13 4 42 mm-)=4-(-4) 化简得： 2 40mm-=.解得，m1=0，（舍去）m2=4. 当 m=4 时，四边形 CQMD 是平行四边形. 此时，四边形 CQBM 是平行四边形. 解法一：m=4，点 P
28、是 OB中点.lx 轴，ly 轴. BPMBOD. 1 2 BPBM BOBD =.BM=DM. 四边形 CQMD 是平行四边形，DMCQBMCQ.四边形 CQBM 为平行四边形. 解法二：设直线 BC 的解析式为 y=k1x+b1，则 1 11 4 80 b kb =- += .解得，k1= 1 2 ，b1=-4 直线 BC 的解析式为 y= 1 2 x-4 又lx 轴交 BC 于点 N.x=4 时，y=-2. 点 N 的坐标为（4，-2）由上面可知，点 M,Q 的坐 标分别为：（4，2），Q(4,-6). MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.MN=QN. 又四边形 CQMD 是平行四边形.DBCQ，3=4， 又1=2，BMNCQN.BN=CN. 四边形 CQBM 为平行四边形. （3）抛物线上存在两个这样的点 Q，分别是 Q1（-2，0），Q2（6，-4）.
