1、 四川省德阳市四川省德阳市 2014 年中考数学试卷年中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）在每小题给出的四个选项中，分）在每小题给出的四个选项中， 有且仅有一项是符合题目要求的有且仅有一项是符合题目要求的 1 （3 分） （2014德阳）实数 的相反数是（ ） A 2 B C 2 D |0.5| 考点： 相反数 分析： 根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案 解答： 解： 的相反数是 ， 故选：B 点评： 此题主要考查了相反数，正确把握相反数的概念即可 2 （3 分） （2014德阳）
2、如图，直线 ab，A=38，1=46，则ACB的度数是（ ） A 84 B 106 C 96 D 104 考点： 平行线的性质 分析： 根据两直线平行，内错角相等可得ABC=1，再根据三角形的内角和定理列式计算 即可得解 解答： 解：ab， ABC=1=46， A=38， ACB=180AABC=1803846=96 故选 C 点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键 3 （3 分） （2014德阳）下列运算正确的是（ ） A a2+a=2a4 B a 3a2=a6 C 2a6a2=2a3 D （a2）4=a8 考点： 整式的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂
3、的乘方与积的乘方 专题： 计算题 分析： A、原式不能合并，错误； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断 解答： 解：A、原式不能合并，错误； B、原式=a5，错误； C、原式=2a4，错误； D、原式=a8，正确， 故选 D 点评： 此题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方， 熟练掌握运算法则是解本题的关键 4 （3 分） （2014德阳）如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯 视图是（ ） A B
4、 C D 考点： 简单组合体的三视图 分析： 根据俯视图是从上面看到的图形判定则可 解答： 解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形， 第二横行有 3 个正方形， 第三横行中间有一个正方形 故选 B 点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图 5 （3 分） （2014德阳）如图是某射击选手 5 次设计成绩的折线图，根据图示信息，这 5 次 成绩的众数、中位数分别是（ ） A 7、8 B 7、9 C 8、9 D 8、10 考点： 折线统计图；中位数；众数 分析： 由折线图可知，射击选手五次射击的成绩为：7、7、8、10、9，再根据众数、中位数 的计算方法即可求得 解答：
5、 解：射击选手五次射击的成绩为：7、7、8、10、9， 众数为 7，中位数为 8， 故选：A 点评： 本题考查了折线图的意义和众数、中位数的概念中位数是将一组数据从小到大（或 从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据 的中位数众数是数据中出现最多的一个数 6 （3 分） （2014德阳）已知O1与O2的半径分别是 3cm 和 5cm，两圆的圆心距为 4cm， 则两圆的位置关系是（ ） A 相交 B 内切 C 外离 D 内含 考点： 圆与圆的位置关系 分析： 先求两圆半径的和或差，再与圆心距进行比较，确定两圆位置关系 解答： 解：O1和O2的半径分别为 5cm
6、 和 3cm，圆心距 O1O2=4cm， 5345+3， 根据圆心距与半径之间的数量关系可知O1与O2相交 故选 A 点评： 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半径分别为 R 和 r，且 Rr，圆心距为 P：外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 RrPR+r；内切 P=Rr； 内含 PRr 7 （3 分） （2014德阳）已知 0x，那么函数 y=2x2+8x6 的最大值是（ ） A 10.5 B 2 C 2.5 D 6 考点： 二次函数的最值 分析： 把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值 解答： 解：y=2x2+8x6=2（x2）2+2 该抛物线的对称轴是
7、 x=2，且在 x2 上 y 随 x 的增大而增大 又0x， 当 x=时，y 取最大值，y最大=2（2）2+2=2.5 故选：C 点评： 本题考查了二次函数的最值确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围， 当自变量取全体实数时， 其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标； 当自变量取某个范围时， 要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值 8 （3 分） （2014德阳）如图所示，边长为 2 的正三角形 ABO 的边 OB在 x 轴上，将ABO 绕原点 O 逆时针旋转 30得到三角形 OA1B1，则点 A1的坐标为（ ） A （，1） B （，1） C （1，） D （2，1
8、） 考点： 坐标与图形变化-旋转；等边三角形的性质 分析： 设 A1B1与 x 轴相交于 C，根据等边三角形的性质求出 OC、A1C，然后写出点 A1 的 坐标即可 解答： 解：如图，设 A1B1与 x 轴相交于 C， ABO 是等边三角形，旋转角为 30， A1OC=6030=30， A1B1x 轴， 等边ABO 的边长为 2， OC=2=， A1C=2=1， 点 A1的坐标为（，1） 故选 B 点评： 本题考查了坐标与图形变化旋转，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解 题的关键 9 （3 分） （2014德阳）下列说法中正确的个数是（ ） 不可能事件发生的概率为 0； 一个对象在实验
9、中出现的次数越多，频率就越大； 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值； 收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率 A 1 B 2 C 3 D 4 考点： 利用频率估计概率；概率的意义 分析： 利用概率的意义、利用频率估计概率的方法对各选项进行判断后即可确定正确的选 项 解答： 解：不可能事件发生的概率为 0，正确； 一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大，正确； 在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，正确； 收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率，错误， 故选 C 点评： 本题考查了用频率估计
10、概率的知识， 解题的关键是了解多次重复试验事件发生的频率 可以估计概率 10（3 分）（2014德阳） 如图， 在 RtABC 中， ACB=90， 点 D 是 AB的中点， 且 CD=， 如果 RtABC 的面积为 1，则它的周长为（ ） A B +1 C +2 D +3 考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线 分析： 根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得 AB=；然后利用勾股定理、三 角形的面积求得（AC+BC）的值，则易求该三角形的周长 解答： 解：如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D 是 AB的中点，且 CD=， AB=2CD= AC2+BC2=5 又 RtABC
11、 的面积为 1， ACBC=1，则 ACBC=2 （AC+BC）2=AC2+BC2+2ACBC=9， AC+BC=3（舍去负值） ， AC+BC+AB=3+，即ABC 的周长是 3+ 故选：D 点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线此题借助于完全平方和公式求得 （AC+BC）的长度，减少了繁琐的计算 11（3 分）（2014德阳） 如图， 四边形 ABCD 中， AB=AD， ADBC， ABC=60， BCD=30， BC=6，那么ACD 的面积是（ ） A B C 2 D 考点： 勾股定理；含 30 度角的直角三角形 分析： 如图，过点 A 作 AEBC 于 E，过点 D 作
12、DFBC 于 F构建矩形 AEFD 和直角三 角形，通过含 30 度角的直角三角形的性质求得 AE 的长度，然后由三角形的面积公 式进行解答即可 解答： 解：如图，过点 A 作 AEBC 于 E，过点 D 作 DFBC 于 F设 AB=AD=x 又ADBC， 四边形 AEFD 是矩形形， AD=EF=x 在 RtABE 中，ABC=60，则BAE=30， BE=AB=x， DF=AE=x， 在 RtCDF 中，FCD=30，则 CF=DFcot30=x 又 BC=6， BE+EF+CF=6，即 x+x+x=6， 解得 x=2 ACD 的面积是： ADDF=xx=22=， 故选：A 点评： 本题
13、考查了勾股定理，三角形的面积以及含 30 度角的直角三角形解题的难点是作 出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得ADC 的底边 AD 以及该边上的高 线 DF 的长度 12 （3 分） （2014德阳）已知方程a=，且关于 x 的不等式组只有 4 个 整数解，那么 b 的取值范围是（ ） A 1b3 B 2b3 C 8b9 D 3b4 考点： 分式方程的解；一元一次不等式组的整数解 专题： 计算题 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 a 的值，经检验确定出分式 方程的解，根据已知不等式组只有 4 个正整数解，即可确定出 b 的范围 解答： 解：分式方程去分母得：3a
14、a2+4a=1，即（a4） （a+1）=0， 解得：a=4 或 a=1， 经检验 a=4 是增根，分式方程的解为 a=1， 已知不等式组解得：1xb， 不等式组只有 4 个 3 整数解， 3b4 故选 D 点评： 此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关 键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上） 13 （3 分） （2014德阳）下列运算正确的个数有 1 个 分解因式 ab22ab+a 的结果是 a（b1）2；（2）0=0；3=3 考点： 提公因式法与
15、公式法的综合运用；零指数幂；二次根式的加减法 分析： 先提取公因式 a，再根据完全平方公式进行二次分解；根据任何非零数的零指数 次幂等于 1 解答；合并同类二次根式即可 解答： 解：ab22ab+a， =a（b22b+1） ， =a（b1）2，故本小题正确； （2）0=1，故本小题错误； 3=2，故本小题错误； 综上所述，运算正确的是共 1 个 故答案为：1 点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解， 一个多项式有公因式首先提取公因 式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 14 （3 分） （2014德阳）一组数据 3，4，5，x，7，8 的平均数为
16、6，则这组数据的方差是 考点： 方差；算术平均数 分析： 先由平均数的公式计算出 x 的值，再根据方差的公式计算 解答： 解：3，4，5，x，7，8 的平均数是 6， x=9， s2= （36）2+（46）2+（56）2+（96）2+（76）2+（86）2=28=， 故答案为： 点评： 本题考查方差的定义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之 也成立 15 （3 分） （2014德阳）半径为 1 的圆内接正三角形的边心距为 考点： 正多边形和圆 分析： 作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆 半径和特殊角，可求得边心距 解答： 解：如图，A
17、BC 是O 的内接等边三角形，OB=1，ODBC 等边三角形的内心和外心重合， OB平分ABC，则OBD=30； ODBC， BD=DC， 又OB=1， OD= 故答案是： 点评： 考查了等边三角形的性质注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶 点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径 16 （3 分） （2014德阳）如图，ABC 中，A=60，将ABC 沿 DE 翻折后，点 A 落在 BC 边上的点 A处如果AEC=70，那么ADE 的度数为 65 考点： 翻折变换（折叠问题） 分析： 首先求得AEA，根据折叠的性质可得AED=AED=AEA，在ADE 中利用三角形内角和定理
18、即可求解 解答： 解：AEA=180AEC=18070=110， 又AED=AED=AEA=55，DAE=A=60， ADE=180AEDDAE=1805560=65 故答案是：65 点评： 本题考查了折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键 17 （3 分） （2014德阳）如图，直线 ab，ABC 是等边三角形，点 A 在直线 a 上，边 BC 在直线 b 上，把ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到ABC（如图） ；继续 以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第 100 个图形中等边三角形 的个数是 301 考点： 等边三角形的判定与性质；平移的性质 专题： 规
19、律型 分析： 先证出阴影的三角形是等边三角形， 又观察图可得， 第 n 个图形中大等边三角形有 n+1 个，小等边三角形有 2n 个，据此求出第 100 个图形中等边三角形的个数 解答： 解：如图 ABC 是等边三角形， AB=BC=AC， ABAB，BB=BC=BC， BO=AB，CO=AC， BOC 是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形 又观察图可得，第 1 个图形中大等边三角形有 2 个，小等边三角形有 2 个， 第 2 个图形中大等边三角形有 3 个，小等边三角形有 4 个， 第 3 个图形中大等边三角形有 4 个，小等边三角形有 6 个， 依次可得第 n 个图形中大等边三角形
20、有 n+1 个，小等边三角形有 2n 个 故第 100 个图形中等边三角形的个数是：100+1+2100=301 故答案为：301 点评： 本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规 律 18 （3 分） （2014德阳）在四边形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，AB=BC，E 为 AB 边上一点，BCE=15，且 AE=AD连接 DE 交对角线 AC 于 H，连接 BH下列结论正确 的是 （填番号） ACDE；=；CD=2DH；= 考点： 直角梯形；全等三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 分析： 在等腰直角ADE 中，根据等腰三
21、角形三线合一的性质可得 AHED，即 ACED， 判定正确； 进而可判定； 因为CHE 为直角三角形， 且HEC=60所以 EC=2EH， 因为ECB=15，所以 EC4EB，所以不成立错误；根据全等三角形对应边相 等可得 CD=CE，再求出CED=60，得到CDE 为等边三角形，判定正确；过 H 作 HMAB于 M，所以 HMBC，所以AHMABC，利用相似三角形的性质以 及底相等的三角形面积之比等于高之比即可判定正确 解答： 解：BAD=90，AB=BC， BAC=45， CAD=BADBAC=9045=45， BAC=CAD， AHED， 即 ACED，故正确； CHE 为直角三角形，且
22、HEC=60 EC=2EH ECB=15， EC4EB， EH2EB；故错误 ：BAD=90，AB=BC， BAC=45， CAD=BADBAC=9045=45， BAC=CAD， 在ACD 和ACE 中， ， ACDACE（SAS） ， CD=CE， BCE=15， BEC=90BCE=9015=75， CED=180BECAED=1807545=60， CDE 为等边三角形， DCH=30， CD=2DH，故正确； 过 H 作 HMAB于 M， HMBC， AHMABC， ， DH=AH， ， BEH 和CBE 有公共底 BE， ，故正确， 故答案为： 点评： 此题考查了直角梯形的性质、全
23、等三角形的判定与性质、相似三角形的判定好性质、 等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质此题难度较大，注意掌握数形结 合思想的应用熟记各性质是解题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 19 （6 分） （2014德阳）计算：25+（） 1| 8|+2cos60 考点： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 专题： 计算题 分析： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值 的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果 解答： 解：原式=32+
24、24+1=33 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20 （11 分） （2014德阳）为增强环境保护意识，争创“文明卫生城市”，某企业对职工进行 了依次“生产和居住环境满意度”的调查，按年龄分组，得到下面的各组人数统计表： 各组人数统计表 组号 年龄分组 频数（人） 频率 第一组 20x25 50 0.05 第二组 25x30 a 0.35 第三组 35x35 300 0.3 第四组 35x40 200 b 第五组 40x45 100 0.1 （1）求本次调查的样本容量及表中的 a、b 的值； （2）调查结果得到对生产和居住环境满意的人数的频率分布直方图如图，政策规
25、定：本次 调查满意人数超过调查人数的一半，则称调查结果为满意如果第一组满意人数为 36，请 问此次调查结果是否满意；并指出第五组满意人数的百分比； （3） 从第二张和第四组对生产和居住环境满意的职工中分别抽取 3 人和 2 人作义务宣传员， 在这5人中随机抽取 2人介绍经验， 求第二组和第四组恰好各有 1人被抽中介绍经验的概率 考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法 分析： （1）根据第一组的人数是 50，频率是 0.05 即可求得总人数，则根据频率公式即可求 得 a、b 的值； （2）根据第一组的频数是 36 人，频率是 0.06 据此即可求得调查的总人数，则满意度
26、 即可求得； （3）用 A 表示从第二组抽取的人，用 B表示从第四组抽取的人，利用列举法即可求 解 解答： 解： （1）调查的总人数：500.05=1000（人） ， 则 a=10000.35=350， b=0.2； （2）满意的总人数是：360.06=600（人） ， 则调查的满意率是：=0.6，则此次调查结果为满意； 第五组的满意的人数是：6000.16=96（人） ， 则第五组的满意率是：100%=96%； （3）用 A 表示从第二组抽取的人，用 B表示从第四组抽取的人 ， 总共有 20 种情况，则第二组和第四组恰好各有 1 人被抽中的概率是：= 点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和
27、利用统计图获取信息的能力； 利用统计图获取信 息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 21 （10 分） （2014德阳）如图，已知矩形 OABC 的一个顶点 B的坐标是（4，2） ，反比例 函数 y=（x0）的图象经过矩形的对称中心 E，且与边 BC 交于点 D （1）求反比例函数的解析式和点 D 的坐标； （2）若过点 D 的直线 y=mx+n 将矩形 OABC 的面积分成 3：5 的两部分，求此直线的解析 式 考点： 矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式 分析： （1） 根据中心对称求出点 E 的坐标， 再代入反比例函数解析式求
28、出 k， 然后根据点 D 的纵坐标与点 B的纵坐标相等代入求解即可得到点 D 的坐标； （2）设直线与 x 轴的交点为 F，根据点 D 的坐标求出 CD，再根据梯形的面积分两种 情况求出 OF 的长，然后写出点 F 的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出 直线解析式即可 解答： 解： （1）矩形 OABC 的顶点 B的坐标是（4，2） ，E 是矩形 ABCD 的对称中心， 点 E 的坐标为（2，1） ， 代入反比例函数解析式得， =1， 解得 k=2， 反比例函数解析式为 y=， 点 D 在边 BC 上， 点 D 的纵坐标为 2， y=2 时， =2， 解得 x=1， 点 D 的坐标为（
29、1，2） ； （2）如图，设直线与 x 轴的交点为 F， 矩形 OABC 的面积=42=8， 矩形 OABC 的面积分成 3：5 的两部分， 梯形 OFDC 的面积为8=3， 或8=5， 点 D 的坐标为（1，2） ， 若（1+OF）2=3， 解得 OF=2， 此时点 F 的坐标为（2，0） ， 若（1+OF）2=5， 解得 OF=4， 此时点 F 的坐标为（4，0） ，与点 A 重合， 当 D（1，2） ，F（2，0）时， 解得， 此时，直线解析式为 y=2x+4， 当 D（1，2） ，F（4，0）时， 解得， 此时，直线解析式为 y=x+， 综上所述，直线的解析式为 y=2x+4 或 y=
30、x+ 点评： 本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解 析式， （1） 根据中心对称求出点 E 的坐标是解题的关键， （2） 难点在于要分情况讨论 22 （11 分） （2014德阳）为落实国家“三农”政策，某地政府组织 40 辆汽车装运 A、B、C 三种农产品共 200 吨到外地销售，按计划，40 辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产 品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题： 农产品种类 A B C 每辆汽车的装载量（吨） 4 5 6 （1）如果装运 C 种农产品需 13 辆汽车，那么装运 A、B两种农产品各需多少辆汽车？ （2） 如果装运每种农
31、产品至少需要 11 辆汽车， 那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运 方案 考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用 分析： （1）设装运 A、B两种农产品各需 x、y 辆汽车等量关系：40 辆车都要装运，A、 B、C 三种农产品共 200 吨； （2）关系式为：装运每种农产品的车辆数11 解答： 解： （1）设装运 A、B两种农产品各需 x、y 辆汽车则 ， 解得 答：装运 A、B两种农产品各需 13、14 辆汽车； （2）设装运 A、B两种农产品各需 x、y 辆汽车则 4x+5y+6（40xy）=200， 解得：y=2x+40 由题意可得如下不等式组：，即， 解得：11x14.
32、5 因为 x 是正整数， 所以 x 的值可为 11，12，13，14；共 4 个值，因而有四种安排方案 方案一：11 车装运 A，18 车装运 B，11 车装运 C 方案二：12 车装运 A，16 车装运 B，12 车装运 C 方案三：13 车装运 A，14 车装运 B，13 车装运 C 方案四：14 车装运 A，12 车装运 B，14 车装运 C 点评： 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题 意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定 x 的范围，得到装载的几种方案 是解决本题的关键 23 （14 分） （2014德阳）如图，O 中，FG、AC 是直径
33、，AB是弦，FGAB，垂足为点 P，过点 C 的直线交 AB的延长线于点 D，交 GF 的延长线于点 E，已知 AB=4，O 的半径 为 （1）分别求出线段 AP、CB的长； （2）如果 OE=5，求证：DE 是O 的切线； （3）如果 tanE=，求 DE 的长 考点： 切线的判定 专题： 证明题 分析： （1）根据圆周角定理由 AC 为直径得ABC=90，在 RtABC 中，根据勾股定理可 计算出 BC=2，再根据垂径定理由直径 FGAB得到 AP=BP=AB=2； （2）易得 OP 为ABC 的中位线，则 OP=BC=1，再计算出=，根据相似三 角形的判定方法得到EOCAOP，根据相似的
34、性质得到OCE=OPA=90，然 后根据切线的判定定理得到 DE 是O 的切线； （3）根据平行线的性质由 BCEP 得到DCB=E，则 tanDCB=tanE=，在 Rt BCD 中，根据正切的定义计算出 BD=3，根据勾股定理计算出 CD=，然后根据 平行线分线段成比例定理得=，再利用比例性质可计算出 DE= 解答： （1）解：AC 为直径， ABC=90， 在 RtABC 中，AC=2，AB=4， BC=2， 直径 FGAB， AP=BP=AB=2； （2）证明：AP=BP， OP 为ABC 的中位线， OP=BC=1， =， 而=， =， EOC=AOP， EOCAOP， OCE=OP
35、A=90， OCDE， DE 是O 的切线； （3）解：BCEP， DCB=E， tanDCB=tanE= 在 RtBCD 中，BC=2，tanDCB=， BD=3， CD=， BCEP， =，即=， DE= 点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切 线也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质 24 （14 分） （2014德阳）如图，已知抛物线经过点 A（2，0） 、B（4，0） 、C（0，8） （1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标； （2）直线 CD 交 x 轴于点 E，过抛物线上在对称轴的右边的点 P，作 y 轴的平行线交
36、 x 轴 于点 F，交直线 CD 于 M，使 PM=EF，请求出点 P 的坐标； （3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段 EM 总有交点，那么抛物线向上 最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度 考点： 二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；待定系数法求一次函 数解析式；待定系数法求二次函数解析式 专题： 综合题 分析： （1）由于抛物线与 x 轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：y=a（x+2） （x4） ，然后将点 C 的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成顶点 式，即可得到顶点坐标 （2）先求出直线 CD 的解析式，再求出
37、点 E 的坐标，然后设点 P 的坐标为（m，n） ， 从而可以用 m 的代数式表示出 PM、EF，然后根据 PM=EF 建立方程，就可求出 m， 进而求出点 P 的坐标 （3）先求出点 M 的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为 y=x22x8+c，然后 只需考虑三个临界位置（向上平移到与直线 EM 相切的位置，向下平移到经过点 M 的位置，向下平移到经过点 E 的位置）所对应的 c 的值，就可以解决问题 解答： 解： （1）根据题意可设抛物线的解析式为 y=a（x+2） （x4） 点 C（0，8）在抛物线 y=a（x+2） （x4）上， 8a=8 a=1 y=（x+2） （x4） =x22x
38、8 =（x1）29 抛物线的解析式为 y=x22x8，顶点 D 的坐标为（1，9） （2）如图， 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b 解得： 直线 CD 的解析式为 y=x8 当 y=0 时，x8=0， 则有 x=8 点 E 的坐标为（8，0） 设点 P 的坐标为（m，n） ， 则 PM=（m22m8）（m8）=m2m，EF=m（8）=m+8 PM=EF， m2m=（m+8） 整理得：5m26m8=0 （5m+4） （m2）=0 解得：m1=，m2=2 点 P 在对称轴 x=1 的右边， m=2 此时，n=22228=8 点 P 的坐标为（2，8） （3）当 m=2 时，y=28=10 点
39、 M 的坐标为（2，10） 设平移后的抛物线的解析式为 y=x22x8+c， 若抛物线 y=x22x8+c 与直线 y=x8 相切， 则方程 x22x8+c=x8 即 x2x+c=0 有两个相等的实数根 （1）241c=0 c= 若抛物线 y=x22x8+c 经过点 M， 则有 22228+c=10 c=2 若抛物线 y=x22x8+c 经过点 E， 则有（8）22（8）8+c=0 c=72 综上所述：要使抛物线与（2）中的线段 EM 总有交点，抛物线向上最多平移个单位 长度，向下最多平移 72 个单位长度 点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、 解一元二次方程、根的判别式、抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线 相切的问题转化为一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的关键， 有一定的综合性
