1、 2013 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷数学试卷 解析解析 满分 120 分，考试时间 120 分钟来源 从而抛物线必过点4 , 1.来源: 中% # & 教网 24在ABC 中，AB=AC，BAC=（600），将线段 BC 绕点 B逆时针旋转 60得到线段 BD。 （1）如图 1，直接写出ABD 的大小（用含的式子表示）； （2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结 DE，若DEC=45，求的值。 解析：【解析】（1） 1 30 2 （2）ABE为等边三角形 证明连接AD、CD、ED 线段BC绕点B逆时针旋转60得到线
2、段BD 则BCBD，60DBC 又60ABE 1 6030 2 ABDDBEEBC 且BCD为等边三角形. 在ABD与ACO中 ABAC ADAD BDCD ABDACD（SSS） 11 22 BADCADBAC 150BCE 11 180(30)150 22 BEC 在ABD与EBC中 BECBAD EBCABD BCBD ABDEBC（AAS） ABBE ABE为等边三角形 （3）60BCD，150BCE 1506090DCE 又45DEC DCE为等腰直角三角形 DCCEBC 150BCE (180150 ) 15 2 EBC 而 1 3015 2 EBC 30 【点评】本题是初中数学重
3、要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模 型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的. 25 对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和C， 给出如下定义： 若C 上存在两个点 A， B， 使得APB=60，则称 P 为C 的关联点。 已知点 D（ 2 1 ， 2 1 ），E（0，-2），F（32，0） （1）当O 的半径为 1 时， 在点 D，E，F 中，O 的关联点是_； E A BC D 过点 F 作直线交y轴正半轴于点 G，使GFO=30，若直线上的点 P（m，n） 是O 的关联点，求m的取值范围； （2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取
4、值范围。 解析：【解析】(1) ED、； 由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点； 需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹 的角度为60； 由图1可知60APB，则30CPB， 连接BC，则rBC CPB BC PC22 sin ； 若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足rd20； 由上述证明可知， 考虑临界位置的P点， 如图 2； 点P到原点的距离212OP； 过O作x轴的垂线OH，垂足为H； 3 2 32 tan OG OF OGF； 60OGF； 360sinOGOH； 2 3 sin OP OH OPH； 60OPH； 易得点 1 P与点G重合，过 2 P作xMP 2 轴
5、于点M； 易得30 2OM P； 330cos 2 OPOM； 从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段 21P P上； 图1 C B A P x y M P2 G(P1) 图2 H OF 30m； (2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段EF的中点； 考虑临界情况，如图 3； 即恰好FE、点为圆K的关联时，则2 2 1 2EFKNKF； 此时1r； 故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联 点， 这个圆的半径r的取值范围为1r. 【点评】 “新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开 头部分的解析，可以看
6、出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍 半 径的点. 了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了. 20132013 年北京市中考数学试题难点解析年北京市中考数学试题难点解析 2013 年北京市中考试卷数学试题整体难度较 2012 年有所下降。从近四年 （2009-2012）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数 学整体大小年的规 律。2013 年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。 本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，更加重视对数学思想方法和学生综合素质 能 力的考察， 体现了“实践与操作， 综合与探究， 创新与应用”的命题特点， 与中考考试
7、说明 中 C 级要求相呼应。 一、试题的基本结构： 整个试卷五道大题、25 个题目，总分 120 分。 其中包括选择题选择题（共 8 个题目，共 32 分）、 x y 图3 N K E F 填空题填空题（共 4 个题目，共 16 分）、 解答题解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题；共 13 个 题目，共 72 分）。 1. 题型与题量题型与题量 选择题 填空题 解答题 题数 分值 题数 分值 题数 分值 8 32 4 16 13 72 2. 考查的内容及分布考查的内容及分布 中中 国教 育国教 育* 出出& 版版 % 网网 从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学课程标准所列的主要知识点，并
8、且对初中数学 的主要内容都作了重点考查。 内容 数与代数 图形与空间 统计与概率 分值 60 47 13 3. 每道题目所考查的知识点每道题目所考查的知识点 题型 题号 考查知识点 选 择 题 1 科学记数法 2 有理数的概念（倒数） 3 概率 4 平行线的性质 5 相似三角形 6 轴对称、中心对称 7 平均数 8 圆中的动点的函数图像 填 空 题 9 因式分解（提公因式法、公式法） 10 抛物线的解析式 11 矩形、中位线 12 函数综合找规律（循环规律） 解 答 题 一 13 三角形全等证明 14 实数运算（0 次幂、-1 次幂、绝对值、特殊角三角函数） 15 解一元一次不等式组 16 代
9、数式化简求值（整体代入） 17 列分式方程解应用题 18 一元二次方程（判别式、整数解） 解 答 题 二 19 梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质） 20 圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质） 21 统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表） 22 操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形） 解 答 23 代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、 数形结合思想、二次函数解析式的确定） 题 三 24 几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角） 25 代几综合（“新定义”、特殊直角三角形
10、的性质、圆、特殊角三角形函数、 数形结合） 二、命题主要特点： 第 8、 12、 22、 23、 24、 25 题依旧是比较难的题型， 其他题型属于基础或者中档题。 近四年北京中考数学试题这几道题考查分布： 题型年份 2010 2011 2012 2013 第第 8 8 题题 （创新题） 立体立体图图形形展展开开 图图 动点动点函函数数图图象象 动点动点函函数数图图象象 动点动点函函数数图图象象 第第 2222 题题 （操作与探究） 轴对称、 正方形 平移、 等积变换 几何坐标化、 方 程与方程组 正方形、等边三 角形、全等三角 形 第第 2323 题题 （综合题） （代（代数数综综合合） 反
11、比例函数、旋 转、恒等变形 （代（代数数综综合合） 二次函数、 一次 函数、等腰直角 三角形、数形结 合 （代（代数数综综合合） 二次函数、一 次 函数、 一元二 次 方程、 函数图 象 平移、 数形结 合 （代（代数数综综合合） 一次函数、 二次 函数、 图形对称 数形结合 第第 2424 题题 （综合题） （代（代几几综综合合） ） 二次函数、等腰 直角三角形、分 类讨论、数形结 合 （几（几何何综综合合） ） 旋转、等腰直角 三角形、等边三 角形、直角三角 形、平行四边形 （几（几何何综综合合） 轴对称、等腰三 角形、倒角 （几（几何何综综合合） 等边三角形、等 腰直角三角形、 旋转、倒
12、角 第第 2525 题题 （综合题） （几（几何何综综合合） 等腰三角形、轴 对称、倒角 （代（代几几综综合合） 一次函数、圆、 平行四边形、分 类讨论 （代代几几综综合合） “新定义”、 一次 函数、圆、相似 （代（代几几综综合合） 一次函数、 圆、 特殊直角三角形 特点一、特点一、题目总体难度降低，23 题代数综合和 25 题代几综合等压轴题理解题意仍有一 定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。 特点二、特点二、题型设置上较以往有微调，例如第 1、 2 题位置调整；第 18 题的一次函数综合 体换成了一元二次方程；第 19 题回归对梯形的考察；第 20 题第(1)问没
13、有考察切线的证明 等。 特点三、特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了 25 题中的新定义“关联点”之外， 其他题都较为常规，较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。 特点四、特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小，去年中考第 25 题占了一整页纸， 阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。 特点五、特点五、计算量大幅下降，去年计算题 19 题、20 题是几何计算题，有一定的难度，计 算量普遍大，但今年的 19 题、20 题不论解题难度还是计算难度都骤降。 特点六、特点六、填空第 12 题考察循环规律，与前 2 年的递进规律类型有所不同，当然如果重 视观察能力和
14、精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到 1 A。 特点八、特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第 8 题、解答题 第 20 题。解答题第 25 题都涉及圆的知识。 特点九、特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第 23 题第三小问，重 点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。 三、重难易错题目点评： 1. 易错题目易错题目 易错题号 错误原因 8 易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像 12 前 2 年均为递进规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律（循环规律） 17 分式方程应用题忘记检验 2. 难题难题 来源来源: #z zst *e p. com % 难题题号 不得分原因 22 没看懂题，不理解图 2 的作用是什么 23 利用对称来进行数形结合练得比较少，抓不住第(3)问的关键 24 对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造三角形全等；倒角证 明三角形全等也是本题的难点 25 题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的 2 倍 总体来看，2013 年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生 上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信 2014 年也会是 这种形式。
