1、 2013 年浙江省杭州市中考数学试卷 一一选择题选择题（本题有（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确 的注意可以用多种不同的方法来选取正确答案的注意可以用多种不同的方法来选取正确答案 1 （2013 杭州）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ） A B C D 考点：轴对称图形 分析：根据轴对称的定义，结合各选项进行判断即可 解答：解：A不是轴对称图形，故本选项错误； B不是轴对称图形，故本选项错误； C不是轴对称图形，故本选项错误； D是轴对称图形，故本选项正确；
2、 故选 D 点评：本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题 2 （2013 杭州）下列计算正确的是（ ） Am3+m2=m5 Bm3m2=m6 C （1m） （1+m）=m21 D 考点：平方差公式；合并同类项；同底数幂的乘法；分式的基本性质 分析：根据同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质即可判断 解答：解：A不是同类项，不能合并，故选项错误； Bm3m2=m5，故选项错误； C （1m） （1+m）=1m2，选项错误； D正确 故选 D 点评：本题考查了同类项的定义，以及同底数的幂的乘法法则，平方差公式，分式的基本性质，理解平方 差公式
3、的结构是关键 3 （2013 杭州）在ABCD 中，下列结论一定正确的是（ ） AACBD BA+B=180 CAB=AD DAC 考点：平行四边形的性质 分析：由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 ADBC，即可证得A+B=180 解答：解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， A+B=180 故选 B 点评：此题考查了平行四边形的性质此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用 4 （2013 杭州）若 a+b=3，ab=7，则 ab=（ ） A10 B40 C10 D40 考点：完全平方公式 专题：计算题 分析：联立已知两方程求出 a 与 b 的值，即可求出 ab 的值 解答：解：
4、联立得：， 解得：a=5，b=2， 则 ab=10 故选 A 点评：此题考查了解二元一次方程组，求出 a 与 b 的值是解本题的关键 5 （2013 杭州）根据 20082012 年杭州市实现地区生产总值（简称 GDP，单位：亿元）统计图所提供的 信息，下列判断正确的是（ ） A20102012 年杭州市每年 GDP 增长率相同 B2012 年杭州市的 GDP 比 2008 年翻一番 C2010 年杭州市的 GDP 未达到 5500 亿元 D20082012 年杭州市的 GDP 逐年增长 考点：条形统计图 分析：根据条形统计图可以算 2010 年2011 年 GDP 增长率，2011 年201
5、2 年 GDP 增长率，进行比较可 得 A 的正误；根据统计图可以大约得到 2012 年和 2008 年 GDP，可判断出 B的正误；根据条形统计图可 得 2010 年杭州市的 GDP，可判断出 C 的正误，根据条形统计图可直接得到 20082012 年杭州市的 GDP 逐年增长 解答：解：A2010 年2011 年 GDP 增长率约为：= ，2011 年2012 年 GDP 增长率约为 =，增长率不同，故此选项错误； B2012 年杭州市的 GDP 约为 7900，2008 年 GDP 约为 4900，故此选项错误； C2010 年杭州市的 GDP 超过到 5500 亿元，故此选项错误； D
6、20082012 年杭州市的 GDP 逐年增长，故此选项正确， 故选：D 点评：本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条 形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 6 （2013 杭州）如图，设 k=（ab0） ，则有（ ） Ak2 B1k2 C D 考点：分式的乘除法 专题：计算题 分析：分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可 解答：解：甲图中阴影部分面积为 a2b2， 乙图中阴影部分面积为 a（ab） ， 则 k=1+ ， ab0， 0 1， 故选 B 点评：本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的
7、关键 7 （2013 杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ） A若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直 B若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有 4 个公共点 C若两条弦 所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点 D若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小 于圆的半径 考点：直线与圆的位置关系；命题与定理 分析：根据直线与圆的位置关系进行判断即可 解答：解：A圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故本选项错误； B当两圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点； C两条平行弦所在直线没有交点，故本选项正确； D两
8、条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径，故本选项错误， 故选 C 点评：本题考查了直线与圆的位置关系、命题与定理，解题的关键是熟悉直线与圆的位置关系 8 （2013 杭州）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A B C D 考点：由三视图判断几何体 分析：由三视图可看出：该几何体是个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为 6，高是 2根据正六棱 柱的体积=底面积高即可求解 解答：解：由三视图可看出：该几何体是个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为 6，高是 2， 所以该几何体的体积=6622=108 故选 C 点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问
9、题的关键 9 （2013 杭州）在 Rt ABC 中，C=90，若 AB=4，sinA= ，则斜边上的高等于（ ） A B C D 考点：解直角三角形 专题：计算题 分析：在直角三角形 ABC 中，由 AB与 sinA 的值，求出 BC 的长，根据勾股定理求出 AC 的长，根据面 积法求出 CD 的长，即为斜边上的高 解答：解：根据题意画出图形，如图所示， 在 Rt ABC 中，AB=4，sinA= ， BC=ABsinA=2.4， 根据勾股定理得：AC=3.2， S ABC= ACBC= ABCD， CD= 故选 B 点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以
10、及三角形的面积求法， 熟练掌握定理及法则是解本题的关键 10 （2013 杭州）给出下列命题及函数 y=x，y=x2和 y= 如果，那么 0a1； 如果，那么 a1； 如果，那么1a0； 如果时，那么 a1 则（ ） A正确的命题是 B错误的命题是 C正确的命题是 D错误的命题只 有 考点：二次函数与不等式（组） ；命题与定理 分析：先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1） ，再根据二次函数与不等式组的关系求解即可 解答：解：易求 x=1 时，三个函数的函数值都是 1， 所以，交点坐标为（1，1） ， 根据对称性，y=x 和 y= 在第三象限的交点坐标为（1，1） ， 如果，那么 0a1 正确
11、； 如果，那么 a1 或1a0，故本小题错误； 如果，那么 a 值不存在，故本小题错误； 如果时，那么 a1 正确 综上所述，正确的命题是 故选 A 点评：本题考查了二次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标，并准确识图是解题的关 键 二二填空题填空题（本题有（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容， 尽量完整地填写答案尽量完整地填写答案 11 （2013 杭州）323.14+3（9.42）= 考点：有理数的混合运算 分析：根据 323.14+3（9.42）=39.
12、423（9.42）即可求解 解答：解：原式=39.423（9.42）=0 故答案是：0 点评：本题考查了有理数的混合运算，理解运算顺序是关键 12 （2013 杭州）把 7 的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 考点：实数大小比较 专题：计算题 分析：先分别得到 7 的平方根和立方根，然后比较大小 解答：解：7 的平方根为，；7 的立方根为， 所以 7 的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为 故答案为： 点评：本题考查了实数大小比较：正数大于 0，负数小于 0；负数的绝对值越大，这个数越小 13（2013杭州） 在Rt ABC中， C=90， AB=2BC， 现给出下列结论： sinA=；
13、cosB= ； tanA=； tanB=，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号） 考点：特殊角的三角函数值；含 30 度角的直角三角形 专题：探究型 分析：先根据题意画出图形，再由直角三角形的性质求出各角的度数，由特殊角的三角函数值即可得出结 论 解答：解：如图所示：在 Rt ABC 中，C=90，AB=2BC， sinA= ，故错误； A=30， B=60， cosB=cos60= ，故正确； A=30， tanA=tan30=，故正确； B=60， tanB=tan60=，故正确 故答案为： 点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 14 （2
14、013 杭州）杭州市某 4 所高中近两年的最低录取分数线如下表（单位：分） ，设 4 所高中 2011 年和 2012 年的平均最低录取分数线分别为，则= 分杭州市某 4 所高中最低录取 分数线统计表 学校 2011 年 2012 年 杭州 A 中 438 442 杭州 B 中 435 442 杭州 C 中 435 439 杭州 D 中 435 439 考点：算术平均数 分析：先算出 2011 年的平均最低录取分数线和 2012 年的平均最低录取分数线，再进行相减即可 解答：解：2011 年的平均最低录取分数线=（438+435+435+435）4=435.75（分） ， 2012 年的平均最
15、低录取分数线=（442+442+439+439）4=440.5（分） ， 则=440.5435.75=4.75（分） ； 故答案为：4.75 点评：此题考查了算术平均数，掌握平均数的计算公式是解题的关键，是一道基础题，比较简单 15 （2013 杭州）四边形 ABCD 是直角梯形，ABCD，ABBC，且 BC=CD=2，AB=3，把梯形 ABCD 分别绕直线 AB，CD 旋转一周，所得几何体的表面积分别为 S1，S2，则|S1S2|= （平方单位） 考点：圆锥的计算；点、线、面、体；圆柱的计算 分析： 梯形 ABCD 分别绕直线 AB， CD 旋转一周所得的几何体的表面积的差就是 AB和 CD
16、 旋转一周形成 的圆柱的侧面的差 解答：解：AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：223=12； AC 旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：222=8， 则|S1S2|=4 故答案是：4 点评：本题考查了图形的旋转，理解梯形 ABCD 分别绕直线 AB，CD 旋转一周所得的几何体的表面积的 差就是 AB和 CD 旋转一周形成的圆柱的侧面的差是关键 16 （2013 杭州）射线 QN 与等边 ABC 的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且 ACQN，AM=MB=2cm， QM=4cm 动点 P 从点 Q 出发， 沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动， 经过 t 秒， 以点 P 为圆心，
17、cm 为半径的圆与 ABC的边相切 （切点在边上） ， 请写出 t 可取的一切值 （单 位：秒） 考点：切线的性质；等边三角形的性质 专题：分类讨论 分析：求出 AB=AC=BC=4cm，MN= AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60，分为三种情况：画出图 形，结合图形求出即可； 解答：解：ABC 是等边三角形， AB=AC=BC=AM+MB=4cm，A=C=B=60， QNAC，AM=BM N 为 BC 中点， MN= AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60， 分为三种情况：如图 1， 当P 切 AB于 M时，连接 PM， 则 PM=cm，PMM=90， PMM=BMN=60， MM
18、=1cm，PM=2MM=2cm， QP=4cm2cm=2cm， 即 t=2； 如图 2， 当P 于 AC 切于 A 点时，连接 PA， 则CAP=APM=90，PMA=BMN=60，AP=cm， PM=1cm， QP=4cm1cm=3cm， 即 t=3， 当当P 于 AC 切于 C 点时，连接 PC， 则CPN=ACP=90，PNC=BNM=60，CP=cm， PN=1cm， QP=4cm+2cm+1cm=7cm， 即当 3t7 时，P 和 AC 边相切； 如图 1， 当P 切 BC 于 N时，连接 PN3 则 PN=cm，PMNN=90， PNN=BNM=60， NN=1cm，PN=2NN=
19、2cm， QP=4cm+2cm+2cm=8cm， 即 t=8； 故答案为：t=2 或 3t7 或 t=8 点评：本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质，切线的 性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊 三三解答题（本题有（本题有 7 个小题，共个小题，共 66 分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤如果觉得有的题分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤如果觉得有的题 目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以 17 （2013 杭州）如图，四边形 ABCD
20、 是矩形，用直尺和圆规作出A 的平分线与 BC 边的垂直平分线的 交点 Q（不写作法，保留作图痕迹） 连结 QD，在新图形中，你发现了什么？请写出一条 考点：作图复杂作图 分析：根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出 Q 点位置，进而利用垂直平分线的作法得出答 案即可 解答：解：如图所示：发现：DQ=AQ 或者QAD=QDA 等等 点评：此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识，熟练应用其性质得出系等量关 系是解题关键 18 （2013 杭州）当 x 满足条件时，求出方程 x22x4=0 的根 考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组 分析：通过解一元一次方程
21、组求得 2x4然后利用求根公式 x=求得方程程 x22x 4=0 的根，由 x 的取值范围来取舍该方程的根 解答：解：由求得 ， 则 2x4 解方程 x22x4=0 可得 x1=1+，x2=1， 23， 31+4，符合题意 x=1+ 点评：本题考查了解一元二次方程公式法，解一元一次不等式组要会熟练运用公式法求得一元二次 方程的解 19 （2013 杭州）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，线段 AG，BG 分别交 CD 于点 E，F，DE=CF 求证： GAB是等腰三角形 考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定 专题：证明题 分析： 由在等腰梯形ABCD中， AB
22、DC， DE=CF， 利用SAS， 易证得 ADEBCF， 即可得DAE=CBF， 则可得GAB=GBA，然后由等角对等边，证得： GAB是等腰三角形 解答：证明：在等腰梯形中 ABCD 中，AD=BC， D=C，DAB=CBA， 在 ADE 和 BCF 中， ， ADEBCF（SAS） ， DAE=CBF， GAB=GBA， GA=GB， 即 GAB为等腰三角形 点评：此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定此题难度不大，注 意掌握数形结合思想的应用 20 （2013 杭州）已知抛物线 y1=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于点 A，B（点 A，B在原点 O
23、 两侧） ，与 y 轴相交于点 C，且点 A，C 在一次函数 y2= x+n 的图象上，线段 AB长为 16，线段 OC 长为 8，当 y1随着 x 的增大而减小时，求自变量 x 的取值范围 考点：二次函数的性质；抛物线与 x 轴的交点 专题：分类讨论 分析：根据 OC 的长度确定出 n 的值为 8 或8，然后分n=8 时求出点 A 的坐标，然后确定抛物线开口 方向向下并求出点 B的坐标，再求出抛物线的对称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求出 x 的取值范 围；n=8 时求出点 A 的坐标，然后确定抛物线开口方向向上并求出点 B的坐标，再求出抛物线的对 称轴解析式，然后根据二次函数的增减性求
24、出 x 的取值范围 解答：解：根据 OC 长为 8 可得一次函数中的 n 的值为 8 或8 分类讨论：n=8 时，易得 A（6，0）如图 1， 抛物线经过点 A、C，且与 x 轴交点 A、B在原点的两侧， 抛物线开口向下，则 a0， AB=16，且 A（6，0） ， B（10，0） ，而 A、B关于对称轴对称， 对称轴直线 x=2， 要使 y1随着 x 的增大而减小，则 a0， x2； （2）n=8 时，易得 A（6，0） ，如图 2， 抛物线过 A、C 两点，且与 x 轴交点 A，B在原点两侧， 抛物线开口向上，则 a0， AB=16，且 A（6，0） ， B（10，0） ，而 A、B关于对
25、称轴对称， 对称轴直线 x=2， 要使 y1随着 x 的增大而减小，且 a0， x2 点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，难 点在于要分情况讨论 21 （2013 杭州）某班有 50 位学生，每位学生都有一个序号，将 50 张编有学生序号（从 1 号到 50 号）的 卡片（除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取 1 张卡片 （1）在序号中，是 20 的倍数的有：20，40，能整除 20 的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数，20 只 计一次） ，求取到的卡片上序号是 20 的倍数或能整除 20 的概率； （2）若规定：取
26、到的卡片上序号是 k（k 是满足 1k50 的整数） ，则序号是 k 的倍数或能整除 k（不重复 计数）的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由； （3）请你设计一个规定，能公平地选出 10 位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的 考点：游戏公平性 分析： （1）由在序号中，是 20 的倍数的有：20，40，能整除 20 的有：1，2，4，5，10（为了不重复计数， 20 只计一次） ，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）由无论 k 取何值，都能被 1 整除，则序号为 1 的学生被抽中的概率为 1，即 100%，而很明显抽到其 他序号学生概率不为 100%可知此游戏不公
27、平； （3）可设计为：先抽出一张，记下数字，然后放回若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记 数，放回，重新抽取不断重复，直至抽满 10 个不同的数字为止 解答：解： （1）在序号中，是 20 的倍数的有：20，40，能整除 20 的有：1，2，4，5，10（为了不重复 计数，20 只计一次） ， 是 20 倍数或者能整除 20 的数有 7 个， 则取到的卡片上序号是 20 的倍数或能整除 20 的概率为：； （2）不公平， 无论 k 取何值，都能被 1 整除，则序号为 1 的学生被抽中的概率为 1，即 100%， 而很明显抽到其他序号学生概率不为 100% 不公平； （3）先抽出一张，记
28、下数字，然后放回若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复，则不记数，放回， 重新抽取不断重复，直至抽满 10 个不同的数字为止 （为保证每个数字每次被抽到的概率都是） 点评：本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否 则就不公平 22 （2013 杭州） （1）先求解下列两题：如图，点 B，D 在射线 AM 上，点 C，E 在射线 AN 上，且 AB=BC=CD=DE，已知EDM=84，求A 的度数； 如图，在直角坐标系中，点 A 在 y 轴正半轴上，ACx 轴，点 B，C 的横坐标都是 3，且 BC=2，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1，若反比例函数
29、的图象经过点 B，D，求 k 的值 （2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出 考点：等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 分析： （1）根据等边对等角可得A=BCA，CBD=BDC，ECD=CED，再根据三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和可得A+BCA=CBD，A+CDB=ECD， A+CED=EDM，然后用A 表示出EDM，计算即可求解； 先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点 B的坐标，再表示出点 C 的坐标，然后根据 ACx 轴可得点 C、D 的纵坐标相同，从而表示出点 D 的坐标，再代入反比例函数解析式进行计算即可得解 （2）从数学思想上考虑
30、解答 解答：解： （1）AB=BC=CD=DE， A=BCA，CBD=BDC，ECD=CED， 根据三角形的外角性质，A+BCA=CBD，A+CDB=ECD，A+CED=EDM， 又EDM=84， A+3A=84， 解得，A=21； 点 B在反比例函数 y= 图象上，点 B，C 的横坐标都是 3， 点 B（3， ） ， BC=3， 点 C（3， +2） ， ACx 轴，点 D 在 AC 上，且横坐标为 1， A（1， +2） ， 点 A 也在反比例函数图象上， +2=k， 解得，k=3； （2）用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法 （开放题） 点评：本题考查了等腰三角形两底角
31、相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性 质，以及反比例函数图象上点的坐标特征，是基础题 23 （2013 杭州）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对称中心为点 P，点 F 为 BC 边上一个动点，点 E 在 AB边上，且满足条件EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线 AC 成轴对称，设它们的面积和为 S1 （1）求证：APE=CFP； （2）设四边形 CMPF 的面积为 S2，CF=x， 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围，并求出 y 的最大值； 当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时，求 y 的值 考点：四边形综合题 分析： （1
32、）利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论； （2）本问关键是求出 y 与 x 之间的函数解析式 首先分别用 x 表示出 S1与 S2，然后计算出 y 与 x 的函数解析式这是一个二次函数，求出其最大值； 注意中心对称、轴对称的几何性质 解答： （1）证明：EPF=45， APE+FPC=18045=135； 而在 PFC 中，由于 PF 为正方形 ABCD 的对角线，则PCF=45， 则CFP+FPC=18045=135， APE=CFP （2）解：APE=CFP，且FCP=PAE=45， APECPF，则 而在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，则 AC=AB=， 又P 为对称中
33、心，则 AP=CP=， AE= 如图，过点 P 作 PHAB于点 H，PGBC 于点 G， P 为 AC 中点，则 PHBC，且 PH= BC=2，同理 PG=2 S APE= 2 = ， 阴影部分关于直线 AC 轴对称， APE 与 APN 也关于直线 AC 对称， 则 S四边形AEPN=2S APE=； 而 S2=2S PFC=2=2x， S1=S正方形ABCDS四边形AEPNS2=162x， y=+ 1 E 在 AB上运动，F 在 BC 上运动，且EPF=45， 2x4 令 =a，则 y=8a2+8a1，当 a= ，即 x=2 时，y 取得最大值 而 x=2 在 x 的取值范围内，代入 x=2，则 y最大=421=1 y 关于 x 的函数解析式为：y=+ 1（2x4） ，y 的最大值为 1 图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称， 而此两块图形也关于直线 AC 成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线 BD 对称， 则 EB=BF，即 AE=FC， =x，解得 x=， 代入 x=，得 y=2 点评：本题是代数几何综合题，考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换 （轴对称与中心对称） 、图形面积的计算等知识点，涉及的考点较多，有一定的难度本题重点与难点在 于求出 y 与 x 的函数解析式，在计算几何图形面积时涉及大量的计算，需要细心计算避免出错
