1、 山东省烟台市山东省烟台市 2013 年中考数学试卷年中考数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 36 分）分） 1 （3 分） （2013烟台）6 的倒数是（ ） A B C 6 D 6 考点： 倒数 分析： 根据乘积是 1 的两个数叫做互为倒数解答 解答： 解：（6）（）=1， 6 的倒数是 故选 B 点评： 本题考查了倒数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键 2 （3 分） （2013烟台）以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图 形的是（ ） A B C D 考点： 中心对称图形 分析： 根据中心对称图形
2、的定义，结合选项所给图形进行判断即可 解答： 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选 B 点评： 此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后与原图重合 3 （3 分） （2013烟台）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中 国每年浪费食物总量折合粮食大约是 210000000 人一年的口粮 将 210000000 用科学记数法 表示为（ ） A 2.1109 B 0.21109 C 2.1108 D 21107
3、考点： 科学记数法表示较大的数 分析： 科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当 原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解答： 解：将 210000000 用科学记数法表示为：2.1108 故选：C 点评： 此题考查了科学记数法的表示方法 科学记数法的表示形式为a10n的形式， 其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分） （2013烟台）下列水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是（ ）
4、 A B C D 考点： 简单几何体的三视图 分析： 俯视图是从上往下看得到的视图，分别判断出各选项的俯视图即可得出答案 解答： 解：A、俯视图是一个圆，故本选项错误； B、俯视图是一个圆，故本选项错误； C、俯视图是一个正方形，不是圆，故本选项正确； D、俯视图是一个圆，故本选项错误； 故选 C 点评： 本题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图 5 （3 分） （2013烟台）下列各运算中，正确的是（ ） A 3a+2a=5a2 B （3a3）2=9a6 C a 4a2=a3 D （a+2）2=a2+4 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式 分
5、析： 根据合并同类项的法则、幂的乘方及积的乘方法则、同底数幂的除法法则，分别进行 各选项的判断即可 解答： 解：A、3a+2a=5a，原式计算错误，故本选项错误； B、 （3a3）2=9a6，原式计算正确，故本选项正确； C、a4a2=a2，原式计算错误，故本选项错误； D、 （a+2）2=a2+2a+4，原式计算错误，故本选项错误； 故选 B 点评： 本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是熟练掌握各部 分的运算法则 6 （3 分） （2012青岛） 如图， 将四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位， 再向上平移 2 个单位， 那么点 A 的对应点 A的坐标是（ ）
6、A （6，1） B （0，1） C （0，3） D （6，3） 考点： 坐标与图形变化-平移 专题： 推理填空题 分析： 由于将四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，则点 A 也先向左 平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，据此即可得到点 A的坐标 解答： 解：四边形 ABCD 先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位， 点 A 也先向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位， 由图可知，A坐标为（0，1） 故选 B 点评： 本题考查了坐标与图形的变化平移，本题本题考查了坐标系中点、线段的平移规 律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同平
7、移中点的变化规 律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减 7 （3 分） （2013烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 720，那 么原多边形的边数为（ ） A 5 B 5 或 6 C 5 或 7 D 5 或 6 或 7 考点： 多边形内角与外角 分析： 首先求得内角和为 720的多边形的边数，即可确定原多边形的边数 解答： 解：设内角和为 720的多边形的边数是 n，则（n2）180=720， 解得：n=6 则原多边形的边数为 5 或 6 或 7 故选 D 点评： 本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键 8 （3 分） （2013烟台）将正方形图 1
8、 作如下操作：第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得 到 5 个正方形；第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 9 个正方形， 以此类推，根据以上操作，若要得到 2013 个正方形，则需要操作的次数是（ ） A 502 B 503 C 504 D 505 考点： 规律型：图形的变化类 分析： 根据正方形的个数变化得出第 n 次得到 2013 个正方形，则 4n+1=2013，求出即可 解答： 解：第 1 次：分别连接各边中点如图 2，得到 4+1=5 个正方形； 第 2 次：将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3，得到 42+1=9 个正方形， 以此类推，根
9、据以上操作，若第 n 次得到 2013 个正方形，则 4n+1=2013， 解得：n=503 故选：B 点评： 此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键 9 （3 分） （2013烟台）已知实数 a，b 分别满足 a26a+4=0，b26b+4=0，且 ab，则 的值是（ ） A 7 B 7 C 11 D 11 考点： 根与系数的关系 专题： 计算题 分析： 根据已知两等式得到 a 与 b 为方程 x26x+4=0 的两根， 利用根与系数的关系求出 a+b 与 ab 的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式 变形，将 a+b 与 ab
10、的值代入计算即可求出值 解答： 解：根据题意得：a 与 b 为方程 x26x+4=0 的两根， a+b=6，ab=4， 则原式=7 故选 A 点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关 键 10 （3 分） （2013烟台） 如图， 已知O1的半径为 1cm， O2的半径为 2cm， 将O1， O2 放置在直线 l 上，如果O1在直线 l 上任意滚动，那么圆心距 O1O2的长不可能是（ ） A 6cm B 3cm C 2cm D 0.5cm 考点： 圆与圆的位置关系 分析： 根据在滚动的过程中两圆的位置关系可以确定圆心距的关系 解答： 解：O1的半径为 1
11、cm，O2的半径为 2cm， 当两圆内切时，圆心距为 1， O1在直线 l 上任意滚动， 两圆不可能内含， 圆心距不能小于 1， 故选 D 点评： 本题考查了两圆的位置关系，本题中两圆不可能内含 11 （3 分） （2013烟台）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1， 且过点（3，0） 下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（5，y1） ， （，y2）是抛物线上两点，则 y1y2其中说法正确的是（ ） A B C D 考点： 二次函数图象与系数的关系 分析： 根据图象得出 a0，b=2a0，c0，即可判断；把 x=2 代入抛物线的解析式 即可判断
12、，求出点（5，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1） ，根据当 x 1 时，y 随 x 的增大而增大即可判断 解答： 解：二次函数的图象的开口向上， a0， 二次函数的图象 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上， c0， 二次函数图象的对称轴是直线 x=1， =1， b=2a0， abc0，正确； 2ab=2a2a=0，正确； 二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为 x=1，且过点（3，0） 与 x 轴的另一个交点的坐标是（1，0） ， 把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得：y=4a+2b+c0，错误； 二次函数 y=ax2+bx+c 图象的对称轴为 x=1， 点（5
13、，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（3，y1） ， 根据当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 3， y2y1，正确； 故选 C 点评： 本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理 解能力和辨析能力 12 （3 分） （2013烟台）如图 1，E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P 从点 B沿折线 BE EDDC 运动到点 C 时停止，点 Q 从点 B沿 BC 运动到点 C 时停止，它们运动的速度都是 1cm/s若 P，Q 同时开始运动，设运动时间为 t（s） ， BPQ 的面积为 y（cm2） 已知 y 与 t 的函数图象如图 2，则下列结论错误的是
14、（ ） A AE=6cm B sinEBC= C 当 0t10 时，y=t2 D 当 t=12s 时， PBQ 是等腰三角形 考点： 动点问题的函数图象 分析： 由图 2 可知，在点（10，40）至点（14，40）区间， BPQ 的面积不变，因此可推论 BC=BE，由此分析动点 P 的运动过程如下： （1）在 BE 段，BP=BQ；持续时间 10s，则 BE=BC=10；y 是 t 的二次函数； （2）在 ED 段，y=40 是定值，持续时间 4s，则 ED=4； （3）在 DC 段，y 持续减小直至为 0，y 是 t 的一次函数 解答： 解： （1）结论 A 正确理由如下： 分析函数图象可知
15、，BC=10cm，ED=4cm，故 AE=ADED=BCED=104=6cm； （2）结论 B正确理由如下： 如答图 1 所示，连接 EC，过点 E 作 EFBC 于点 F， 由函数图象可知，BC=BE=10cm，S BEC=40=BCEF=10EF，EF=8， sinEBC=； （3）结论 C 正确理由如下： 如答图 2 所示，过点 P 作 PGBQ 于点 G， BQ=BP=t， y=S BPQ=BQPG=BQBPsinEBC=tt=t2 （4）结论 D 错误理由如下： 当 t=12s 时，点 Q 与点 C 重合，点 P 运动到 ED 的中点，设为 N，如答图 3 所示，连 接 NB，NC
16、此时 AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=，NC=， BC=10， BCN 不是等腰三角形，即此时 PBQ 不是等腰三角形 点评： 本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动 过程突破点在于正确判断出 BC=BE=10cm 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 13 （3 分） （2013烟台）分解因式：a2b4b3= b（a+2b） （a2b） 考点： 提公因式法与公式法的综合运用 分析： 先提取公因式 b，再根据平方差公式进行二次分解平方差公式：a2b2=（a+b） （a b） 解答：
17、 解：a2b4b3=b（a24b2） =b（a+2b） （a2b） 故答案为 b（a+2b） （a2b） 点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分 解，注意分解要彻底 14 （3 分） （2013烟台）不等式的最小整数解是 x=3 考点： 一元一次不等式组的整数解 分析： 先求出一元一次不等式组的解集，再根据 x 是整数得出最小整数解 解答： 解：， 解不等式，得 x1， 解不等式，得 x2， 所以不等式组的解集为 x2， 所以最小整数解为 3 故答案为：x=3 点评： 此题考查的是一元一次不等式组的整数解， 正确解出不等式组的解集是解决本题的关 键求
18、不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间 找，大大小小解不了 15 （3 分） （2013烟台）如图，四边形 ABCD 是等腰梯形，ABC=60，若其四边满足长 度的众数为 5，平均数为，上、下底之比为 1：2，则 BD= 考点： 等腰梯形的性质；算术平均数；众数 分析： 设梯形的四边长为 5，5，x，2x，根据平均数求出四边长，求出 BDC 是直角三角形， 根据勾股定理求出即可 解答： 解：设梯形的四边长为 5，5，x，2x， 则=， x=5， 则 AB=CD=5，AD=5，BC=10， AB=AD， ABD=ADB， ADBC， ADB=DBC， ABD=DBC
19、， ABC=60， DBC=30， 等腰梯形 ABCD，AB=DC， C=ABC=60， BDC=90， 在 Rt BDC 中，由勾股定理得：BD=5， 故答案为：5 点评： 本题考查了梯形性质，平行线性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性 质等知识点的应用，关键是求出 BC、DC 长和得出三角形 DCB是等腰三角形 16 （3 分） （2013烟台）如图，ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O点 E 是 CD 的中点，BD=12，则 DOE 的周长为 15 考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质 分析： 根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB=O
20、D，又因为 E 点是 CD 的 中点，可得 OE 是 BCD 的中位线，可得 OE=BC，所以易求 DOE 的周长 解答： 解：ABCD 的周长为 36， 2（BC+CD）=36，则 BC+CD=18 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=12， OD=OB=BD=6 又点 E 是 CD 的中点， OE 是 BCD 的中位线，DE=CD， OE=BC， DOE 的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即 DOE 的周长为 15 故答案是：15 点评： 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质解题时，利用了“平行四边形对 角线互相平分”
21、、“平行四边形的对边相等”的性质 17 （3 分） （2013烟台）如图， ABC 中，AB=AC，BAC=54，BAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点 O，将C 沿 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好 重合，则OEC 为 108 度 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题） 分析： 连接 OB、OC，根据角平分线的定义求出BAO，根据等腰三角形两底角相等求出 ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 OA=OB，根据 等边对等角可得ABO=BAO，再求出OBC，然后判断出点 O 是 ABC 的外心， 根
22、据三角形外心的性质可得 OB=OC， 再根据等边对等角求出OCB=OBC， 根据翻 折的性质可得 OE=CE，然后根据等边对等角求出COE，再利用三角形的内角和定 理列式计算即可得解 解答： 解：如图，连接 OB、OC， BAC=54，AO 为BAC 的平分线， BAO=BAC=54=27， 又AB=AC， ABC=（180BAC）=（18054）=63， DO 是 AB的垂直平分线， OA=OB， ABO=BAO=27， OBC=ABCABO=6327=36， DO 是 AB的垂直平分线，AO 为BAC 的平分线， 点 O 是 ABC 的外心， OB=OC， OCB=OBC=36， 将C 沿
23、 EF（E 在 BC 上，F 在 AC 上）折叠，点 C 与点 O 恰好重合， OE=CE， COE=OCB=36， 在 OCE 中，OEC=180COEOCB=1803636=108 故答案为：108 点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质， 等腰三角形三线 合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作 辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键 18 （3 分） （2013烟台）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 BC 上，四边形 EFGB 也是正方形， 以 B为圆心， BA 长为半径画， 连结 AF， CF， 则图中阴影部
24、分面积为 4 考点： 正方形的性质；整式的混合运算 分析： 设正方形 EFGB的边长为 a，表示出 CE、AG，然后根据阴影部分的面积=S扇形ABC+S 正方形EFGB+S CEFS AGF，列式计算即可得解 解答： 解：设正方形 EFGB的边长为 a，则 CE=4a，AG=4+a， 阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+S CEFS AGF =+a2+a（4a）a（4+a） =4+a2+2aa22aa2 =4 故答案为：4 点评： 本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，扇形的面积计算，引入小正方形的边长 这一中间量是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题
25、，满分个小题，满分 46 分）分） 19 （6 分） （2013烟台）先化简，再求值：，其中 x 满足 x2+x2=0 考点： 分式的化简求值 专题： 计算题 分析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 x 的值，把 x 的值代入进行计算 即可 解答： 解：原式= = =， 由 x2+x2=0，解得 x1=2，x2=1， x1， 当 x=2 时，原式= 点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 20 （6 分） （2013烟台）如图，一艘海上巡逻船在 A 地巡航，这时接到 B地海上指挥中心 紧急通知：在指挥中心北偏西 60方向的 C 地，有一艘渔船
26、遇险，要求马上前去救援此时 C 地位于北偏西 30方向上，A 地位于 B地北偏西 75方向上，A、B两地之间的距离为 12 海里求 A、C 两地之间的距离（参考数据：1.41，1.73，2.45，结果精确到 0.1） 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题 分析： 过点 B作 BDCA 交 CA 延长线于点 D，根据题意可得ACB和ABC 的度数，然 后根据三角形外角定理求出DAB的度数，已知 AB=12 海里，可求出 BD、AD 的长 度，在 Rt CBD 中，解直角三角形求出 CD 的长度，继而可求出 A、C 之间的距离 解答： 解：过点 B作 BDCA 交 CA 延长线于点 D， 由题意
27、得，ACB=6030=30， ABC=7560=15， DAB=DBA=45， 在 Rt ABD 中，AB=12，DAB=45， BD=AD=ABcos45=6， 在 Rt CBD 中，CD=6， AC=666.2（海里） 答：A、C 两地之间的距离为 6.2 海里 点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数 的知识求解相关线段的长度，难度一般 21 （7 分） （2013烟台）如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合， A、C 分别在坐标轴上，点 B的坐标为（4，2） ，直线 y=x+3 交 AB，BC 分别于点 M，N， 反比
28、例函数 y=的图象经过点 M，N （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 y 轴上，且 OPM 的面积与四边形 BMON 的面积相等，求点 P 的坐标 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题 分析： （1）求出 OA=BC=2，将 y=2 代入 y=x+3 求出 x=2，得出 M 的坐标，把 M 的坐标 代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）求出四边形 BMON 的面积，求出 OP 的值，即可求出 P 的坐标 解答： 解： （1）B（4，2） ，四边形 OABC 是矩形， OA=BC=2， 将 y=2 代入 y=x+3 得：x=2， M（2，2） ， 把 M 的坐标代入 y=得
29、：k=4， 反比例函数的解析式是 y=； （2）S四边形BMON=S矩形OABCS AOMS CON =424=4， 由题意得： OPAM=4， AM=2， OP=4， 点 P 的坐标是（0，4）或（0，4） 点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问 题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的 能力，题目比较好，难度适中 22 （9 分） （2013烟台）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦 点为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果 共分为四个等级：A非常了解；B比
30、较了解；C基本了解；D不了解根据调查统计 结果，绘制了不完整的三种统计图表 对雾霾了解程度的统计表： 对雾霾的了解程度 百分比 A非常了解 5% B比较了解 m C基本了解 45% D不了解 n 请结合统计图表，回答下列问题 （1）本次参与调查的学生共有 400 人，m= 15% ，n= 35% ； （2）图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是 126 度； （3）请补全图 1 示数的条形统计图； （4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和 小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上 数字 1，2，
31、3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人 再从剩下的三个球中随机摸出一个球若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则 小刚去请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平 考点： 游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法 分析： （1）根据“基本了解”的人数以及所占比例，可求得总人数；在根据频数、百分比之 间的关系，可得 m，n 的值； （2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的 度数与 360的比可得出统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角； （3）根据 D 等级的人数为：40035%=140；可得（3）的答案； （4）
32、用树状图列举出所有可能，进而得出答案 解答： 解： （1）利用条形图和扇形图可得出：本次参与调查的学生共有：18045%=400； m=100%=15%，n=15%15%45%=35%； （2）图 2 所示的扇形统计图中 D 部分扇形所对应的圆心角是：36035%=126； （3）D 等级的人数为：40035%=140； 如图所示： ； （4）列树状图得： 所以从树状图可以看出所有可能的结果有 12 种，数字之和为奇数的有 8 种， 则小明参加的概率为：P=， 小刚参加的概率为：P=， 故游戏规则不公平 故答案为：400，15%，35%；126 点评： 此题主要考查了游戏公平性，涉及扇形统计图
33、的意义与特点，即可以比较清楚地反映 出部分与部分、部分与整体之间的数量关系 23 （8 分） （2013烟台）烟台享有“苹果之乡”的美誉甲、乙两超市分别用 3000 元以相同 的进价购进质量相同的苹果甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果 400 千克，以进价的 2 倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价 10%销售乙超市的销售方案 是： 不将苹果按大小分类， 直接包装销售， 价格按甲超市大、 小两种苹果售价的平均数定价 若 两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利 2100 元（其它成本不计） 问： （1）苹果进价为每千克多少元？ （2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算 考
34、点： 分式方程的应用 分析： （1） 先设苹果进价为每千克 x 元， 根据两超市将苹果全部售完， 其中甲超市获利 2100 元列出方程，求出 x 的值，再进行检验即可求出答案； （2）根据（1）求出每个超市苹果总量，再根据大、小苹果售价分别为 10 元和 5.5 元，求出乙超市获利，再与甲超市获利 2100 元相比较即可 解答： 解： （1）设苹果进价为每千克 x 元，根据题意得： 400x+10%x（400）=2100， 解得：x=5， 经检验 x=5 是原方程的解， 答：苹果进价为每千克 5 元 （2）由（1）得，每个超市苹果总量为：=600（千克） ， 大、小苹果售价分别为 10 元和
35、5.5 元， 则乙超市获利 600（5）=1650（元） ， 甲超市获利 2100 元， 甲超市销售方式更合算 点评： 此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系，根据两超市 将苹果全部售完，其中甲超市获利 2100 元列出方程，解方程时要注意检验 24 （2013烟台）如图，AB是O 的直径，BC 是O 的切线，连接 AC 交O 于点 D，E 为上一点，连结 AE，BE，BE 交 AC 于点 F，且 AE2=EFEB （1）求证：CB=CF； （2）若点 E 到弦 AD 的距离为 1，cosC=，求O 的半径 考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质 分析： （1）如图
36、 1，通过相似三角形（ AEFAEB）的对应角相等推知，1=EAB； 又由弦切角定理、对顶角相等证得2=3；最后根据等角对等边证得结论； （2）如图 2，连接 OE 交 AC 于点 G，设O 的半径是 r根据（1）中的相似三角形 的性质证得4=5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点 E 是弧 AD 的中点， 则 OEAD； 然后通过解直角 ABC 求得 cosC=sinGAO=， 则以求 r 的值 解答： （1）证明：如图 1， AE2=EFEB， = 又AEF=AEB， AEFAEB， 1=EAB 1=2，3=EAB， 2=3， CB=CF； （2）解：如图 2，连接 OE 交 AC 于
37、点 G，设O 的半径是 r 由（1）知， AEFAEB，则4=5 = OEAD， EG=1 cosC=，且C+GAO=90， sinGAO=， =，即=， 解得，r=，即O 的半径是 点评： 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质解答（2）题的难点是推知点 E 是弧 AD 的中点 25 （10 分） （2013烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB上一动点（不与 A，B 重合） ，分别过 A，B向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为斜边 AB的中点 （1）如图 1，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 AEBF ，QE 与 QF 的数 量关系式
38、 QE=QF ； （2）如图 2，当点 P 在线段 AB上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予 证明； （3）如图 3，当点 P 在线段 BA（或 AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？ 请画出图形并给予证明 考点： 全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 分析： （1）证 BFQAEQ 即可； （2）证 FBQDAQ，推出 QF=QD，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可； （3）证 AEQBDQ，推出 DQ=QE，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 解答： 解： （1）AEBF，QE=QF， 理由是：如图 1，Q 为 AB中点， AQ=BQ，
39、BFCP，AECP， BFAE，BFQ=AEQ， 在 BFQ 和 AEQ 中 BFQAEQ（AAS） ， QE=QF， 故答案为：AEBF，QE=QF （2）QE=QF， 证明：如图 2，延长 FQ 交 AE 于 D， AEBF， QAD=FBQ， 在 FBQ 和 DAQ 中 FBQDAQ（ASA） ， QF=QD， AECP， EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线， QE=QF=QD， 即 QE=QF （3） （2）中的结论仍然成立， 证明：如图 3， 延长 EQ、FB交于 D， AEBF， 1=D， 在 AQE 和 BQD 中 ， AQEBQD（AAS） ， QE=QD， BFCP，
40、FQ 是斜边 DE 上的中线， QE=QF 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意： 全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是：全 等三角形的对应边相等，对应角相等 26 （2013烟台）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，二次 函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A，B，与 x 轴分别交于点 E，F，且点 E 的坐标为（，0） ， 以 0C 为直径作半圆，圆心为 D （1）求二次函数的解析式； （2）求证：直线 BE 是D 的切线； （3）若直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P，
41、M 是线段 CB上的一个动点（点 M 与点 B，C 不重合） ，过点 M 作 MNBE 交 x 轴与点 N，连结 PM，PN，设 CM 的长为 t， PMN 的 面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围S 是否存在着最大值？若 存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题 分析： （1）根据题意易得点 A、B的坐标，然后把点 A、B、E 的坐标分别代入二次函数解 析式，列出关于 a、b、c 的方程组，利用三元一次方程组来求得系数的值； （2）如图，过点 D 作 DGBE 于点 G，构建相似三角形 EGDECB，根据它的 对应边成比例得到=，由此求
42、得 DG=1（圆的半径是 1） ，则易证得结论； （3）利用待定系数法求得直线 BE 为：y=x+则易求 P（1， ） 然后由相似三角形 MNCBEC 的对应边成比例，线段间的和差关系得到 CN=t，DN=t1所以 S=S PND+S梯形PDCMS MNC=+t（0t2） 由抛物线的性质可以求得 S 的最 值 解答： 解： （1）由题意，得 A（0，2） ，B（2，2） ，E 的坐标为（，0） ， 则， 解得， 该二次函数的解析式为：y=x2+x+2； （2）如图，过点 D 作 DGBE 于点 G 由题意，得 ED=+1=，EC=2+=，BC=2， BE= BEC=DEG，EGD=ECB=90
43、， EGDECB， =， DG=1 D 的半径是 1，且 DGBE， BE 是D 的切线； （3）由题意，得 E（，0） ，B（2，2） 设直线 BE 为 y=kx+h（k0） 则 ， 解得， 直线 BE 为：y=x+ 直线 BE 与抛物线的对称轴交点为 P，对称轴直线为 x=1， 点 P 的纵坐标 y=，即 P（1， ） MNBE， MNC=BEC C=C=90， MNCBEC， =， =，则 CN=t， DN=t1， S PND=DNPD=（t1）=t S MNC=CNCM=tt=t2 S梯形PDCM=（PD+CM）CD=（+t）1=+t S=S PND+S梯形PDCMS MNC=+t（0t2） 抛物线 S=+t（0t2）的开口方向向下， S 存在最大值当 t=1 时，S最大= 点评： 本题考查了二次函数综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析 式，相似三角形的判定与性质以及二次函数最值的求法注意配方法在（3）题中的 应用
