1、 1 南京市南京市 2017 届高三年级学情调研届高三年级学情调研 数数 学学 2016.09 注意事项注意事项： 1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两 部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡 上对 应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 参考公式：参考公式： 柱体的体积公式：VSh，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高 锥体的体积公式：V1 3Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，
2、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置答题卡相应位置 上上 1已知集合 A0，1，2，Bx|x2x0，则 AB 2 设复数 z 满足(zi)i34i (i 为虚数单位)， 则 z 的模为 3为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段 公路的 200 辆汽车的时速，所得数据均在区间40，80中，其频率 分布直方图如图所示，则在抽测的 200 辆汽车中，时速在区间40， 60)内的汽车有 辆 4若函数 f(x)sin(x 6) (0)的最小正周期为 ，则 f( 3)的值是 5右图是一个算法的流程图，则输出 k 的值是 6设向量 a
3、(1，4)，b(1，x)，ca3b若 ac，则实数 x 的值是 7某单位要在 4 名员工（含甲、乙两人）中随机选 2 名到某、地出差，则甲、乙两人中， 至少有一人被选中的概率是 8在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C：x 2 a2 y2 4 1（a0）的一条渐近线与直线 y2x1 平行，则实数 a 的值是 9在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1)2(ya)216 相交于 A，B 两点，且 ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是 k1 开始 输出 k 结束 S80 S1 Y N S2Sk kk1 （第 5 题） （第 3 题） 0.04 0.03 0.
4、02 0.01 40 50 60 70 80 时速/km 频率 组距 2 10已知圆柱 M 的底面半径为 2，高为 6；圆锥 N的底面直径和母线长相等若圆柱 M 和 圆锥 N 的体积相同，则圆锥 N 的高为 11各项均为正数的等比数列an，其前 n 项和为 Sn若 a2a578，S313，则数列 an的通项公式 an 12已知函数 f(x) 12xx3， x0， 2x，x0 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。当 x(，m 时，f(x)的 取值范围为 16，)，则实数 m 的取值范围是 13.在 ABC 中，已知 AB3，BC2，D 在 AB 上，AD 1 3 AB 若DB DC3，则 AC
5、 的 长是 14已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， 且 f(x)g(x)(1 2) x错误 错误!未找到引未找到引 用源。用源。若存在 x01 2，1，使得等式 af(x0)g(2x0)0 成立，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6小题，共计小题，共计 90分请在分请在答题卡指定区域内答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的终边分别 与单位圆交于点 A
6、，B若点 A 的横坐标 是3 10 10 ，点 B 的纵坐标 是2 5 5 （1）求 cos()的值； （2）求 的值 x O y A B （第 15 题） 3 16 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M，N 分别为线段 A1B，AC1的中点 （1）求证：MN平面 BB1C1C； （2）若 D 在边 BC 上，ADDC1，求证：MNAD 17 （本小题满分 14 分） 如图，某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域（以 O 为圆心，AB 为直径），现 计划对其进行改建在 AB 的延长线上取点 D，OD80 m，在半圆上选定一点 C，改建后 的绿化区域由
7、扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2设AOCx rad （1）写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围； （2）试问AOC 多大时，改建后的绿化区域面积 S 取得最大值 A B O C D （第 17 题） A B C D M N A1 B1 C1 （第 16 题） 4 18 （本小题满分 16 分） 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、 右焦点分别为 F1， F2，P 为椭圆上一点（在 x 轴上方） ，连结 PF1并延长交椭圆于另一点 Q，设PF1 F 1Q （1）若点 P 的坐标为
8、 (1，3 2)，且 PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程； （2）若 PF2垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e1 2， 2 2 ，求实数 的取值范围 （第 18 题） x O y P F1 F2 Q 5 19 （本小题满分 16 分） 已知数列an是公差为正数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a2a315，S416 （1）求数列an的通项公式； （2）数列bn满足 b1a1，bn1bn 1 anan+1 求数列 bn的通项公式； 是否存在正整数 m，n(mn)，使得 b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出 m，n 的值；若不存在，请说明理由 6 20 （本小题满分 16
9、分） 已知函数 f(x)ax2bxlnx，a，bR （1）当 ab1 时，求曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程； （2）当 b2a1 时，讨论函数 f(x)的单调性； （3）当 a1，b3 时，记函数 f(x)的导函数 f (x)的两个零点是 x1和 x2 (x1x2) 求证：f(x1)f(x2)3 4ln2 7 南京市南京市 2017 届高三年级学情调研届高三年级学情调研 数学附加题数学附加题 2016.09 21 【选做题】在 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在 答卷卡指定区域内答卷卡指定
10、区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 41：几何证明选讲几何证明选讲 如图， AB 为 圆 O 的一条弦，C 为圆 O 外一点 CA，CB 分别交圆 O 于 D，E 两点 若 ABAC，EFAC 于点 F，求证：F 为线段 DC 的中点 B选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 已知矩阵 A 2 2 1 3 ，B 1 0 0 1 ，设 MAB （1）求矩阵 M ； （2）求矩阵 M 的特征值 C选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 的极坐标方程为 sin( 6)m
11、若直 线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求实数 m 的值 （第 21 题 A） A B C D E F O 8 D选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 解不等式 |x1|2|x|4x 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内 作答解作答解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，点 E 是线段 PC 的中点 （1）求异面直线 AP 与 B
12、E 所成角的大小； （2）若点 F 在线段 PB 上，使得二面角 FDEB 的正弦值为 3 3 ，求PF PB的值 23 （本小题满分 10 分） 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有人获胜或每 人都已投球 3 次时结束设甲每次投篮命中的概率为 2 5，乙每次投篮命中的概率为 2 3，且 各次投篮互不影响现由甲先投 （1）求甲获胜的概率； （2）求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望 A B C D F P E （第 22 题） 9 南京市南京市 2017 届高三年级学情调研届高三年级学情调研 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 说明：说明： 1本解答
13、给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果 后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分.） 10，1 22 5 380 41 2 55 64 75 6 81 9.1 106 113 n1
14、122，8 13 10 142 2，5 2 2 二、解答题（二、解答题（本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 （本小题满分 14 分） 解：解： 因为锐角 的终边与单位圆交于 A，且点 A 的横坐标是3 10 10 ， 所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos3 10 10 ， 从而 sin 1cos2 10 10 2 分 因为钝角 的终边与单位圆交于点 B，且点 B 的纵坐标是2 5 5 ， 所以 sin2 5 5
15、 ，从而 cos 1sin2 5 5 4 分 （1）cos()coscossinsin 3 10 10 ( 5 5 ) 10 10 2 5 5 2 10 8 分 （2）sin()sincoscossin 10 10 ( 5 5 )3 10 10 2 5 5 2 2 11 分 10 因为 为锐角， 为钝角，故 ( 2， 3 2 )， 所以 3 4 14 分 16 （本小题满分 14 分） 证明证明： （1）如图，连结 A1C 在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 AA1C1C 为平行四边形 又因为 N 为线段 AC1的中点， 所以 A1C 与 AC1相交于点 N， 即 A1C 经过点 N，且
16、N 为线段 A1C的中点 2 分 因为 M 为线段 A1B 的中点， 所以 MNBC 4 分 又 MN平面 BB1C1C，BC平面 BB1C1C， 所以 MN平面 BB1C1C 6 分 （2）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1平面 ABC 又 AD平面 ABC，所以 CC1AD 8 分 因为 ADDC1，DC1平面 BB1C1C，CC1平面 BB1C1C，CC1DC1C1， 所以 AD平面 BB1C1C 10 分 又 BC平面 BB1C1C，所以 ADBC 12 分 又由（1）知，MNBC，所以 MNAD 14 分 17 （本小题满分 14 分） 解：解： （1）因为扇形 AOC 的半径
17、为 40 m，AOCx rad， 所以 扇形 AOC 的面积 S扇形AOCx OA 2 2 800x，0x 2 分 在 COD 中，OD80，OC40，CODx， 所以 COD 的面积 S COD1 2 OC OD sinCOD1600sin(x)1600sinx 4 分 从而 SS CODS扇形AOC1600sinx800x，0x 6 分 （2）由（1）知， S(x)1600sinx800x，0x S(x)1600cosx8001600(cosx1 2) 8 分 A B C D M N A1 B1 C1 （第 16 题） 11 由 S(x)0，解得 x2 3 从而当 0x2 3 时，S(x)
18、0；当2 3 x 时， S(x)0 因此 S(x)在区间(0，2 3 )上单调递增；在区间(2 3 ，)上单调递减 11 分 所以 当 x2 3 ，S(x)取得最大值 答：当AOC 为2 3 时，改建后的绿化区域面积 S 最大 14 分 18 （本小题满分 16 分） 解：解： （1）因为 F1，F2为椭圆 C 的两焦点，且 P，Q 为椭圆上的点， 所以 PF1PF2QF1QF22a，从而 PQF2的周长为 4a 由题意，得 4a8，解得 a2 2 分 因为点 P 的坐标为 (1，3 2)，所以 1 a2 9 4b21， 解得 b23 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1 5 分
19、（2）方法一：方法一：因为 PF2x轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y00设 Q(x1，y1) 因为 P 在椭圆上，所以c 2 a2 y2 0 b21，解得 y0 b2 a ，即 P(c，b 2 a ) 7 分 因为 F1(c，0)，所以PF1 (2c，b2 a )，F1Q (x1c，y1) 由PF1 F 1Q ，得2c(x 1c)，b 2 a y1， 解得 x12 c，y1b 2 a，所以 Q( 2 c，b 2 a) 11 分 因为点 Q 在椭圆上，所以(2 )2e2 b2 2a21， 即(2)2e2(1e2)2，(243)e221， 因为 10， 所以(3)e21，从而
20、3e 21 1e2 4 1e23 14 分 因为 e1 2， 2 2 ，所以1 4e 21 2，即 7 35 所以 的取值范围为7 3，5 16 分 方法二：方法二：因为 PF2x轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y00 12 因为 P 在椭圆上，所以c 2 a2 y2 0 b21，解得 y0 b2 a ，即 P(c，b 2 a ) 7 分 因为 F1(c，0)，故直线 PF1的方程为 y b2 2ac(xc) 由 y b2 2ac(xc)， x2 a2 y2 b21， 得(4c2b2)x22b2cxc2(b24a2)0 因为直线 PF1与椭圆有一个交点为 P(c，b 2 a
21、)设 Q(x1，y1)， 则 x1c 2b2c 4c2b2，即cx1 2b2c 4c2b2 11 分 因为PF1 F 1Q ， 所以 2c cx1 4c2b2 b2 3c 2a2 a2c2 3e 21 1e2 4 1e23 14 分 因为 e1 2， 2 2 ，所以1 4e 21 2，即 7 35 所以 的取值范围为7 3，5 16 分 19 （本小题满分 16 分） 解：解： （1）设数列an的公差为 d，则 d0 由 a2 a315，S416，得 (a1d)(a12d)15， 4a16d16， 解得 a11， d2， 或 a17， d2（舍去） 所以 an2n1 4 分 （2）因为 b1a
22、1，bn1bn 1 an an+1， 所以 b1a11， bn+1bn 1 an an+1 1 (2n1) (2n1) 1 2( 1 2n1 1 2n1)， 6 分 即 b2b11 2(1 1 3)， b3b21 2( 1 3 1 5)， bnbn11 2( 1 2n3 1 2n1)， （n2） 13 累加得：bnb11 2(1 1 2n1) n1 2n1， 9 分 所以 bnb1 n1 2n11 n1 2n1 3n2 2n1 b11 也符合上式 故 bn3n2 2n1，nN* 11 分 假设存在正整数 m、n(mn)，使得 b2，bm，bn成等差数列， 则 b2bn2bm 又 b24 3，b
23、n 3n2 2n1 3 2 1 4n2，bm 3 2 1 4m2， 所以4 3( 3 2 1 4n2)2( 3 2 1 4m2)，即 1 2m1 1 6 1 4n2， 化简得：2m7n2 n1 7 9 n1 14 分 当 n13，即 n2 时，m2， （舍去） ； 当 n19，即 n8 时，m3，符合题意 所以存在正整数 m3，n8，使得 b2，bm，bn成等差数列 16 分 20 （本小题满分 16 分） 解：解： （1）因为 ab1，所以 f(x)x 2xlnx， 从而 f (x)2x 11 x 因为 f(1)0，f (1)2，故曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 y02(x1)，
24、即 2xy20 3 分 （2）因为 b2a1，所以 f(x)ax2(2a1)xlnx， 从而 f (x)2ax(2a1)1 x 2ax2(2a1)x1 x (2ax1)(x1) x ，x0 5 分 当 a0 时，x(0，1)时，f (x)0，x(1，)时，f (x)0， 所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减 7 分 当 0a1 2时， 由 f (x)0 得 0x1 或 x 1 2a，由 f (x)0 得 1x 1 2a， 所以 f(x)在区间(0，1)和区间( 1 2a，)上单调递增，在区间(1， 1 2a)上单调递减 当 a1 2时， 14 因为 f (x)0（
25、当且仅当 x1 时取等号） ， 所以 f(x)在区间(0，)上单调递增 当 a1 2时， 由 f (x)0 得 0x 1 2a或 x1，由 f (x)0 得 1 2ax1， 所以 f(x)在区间(0， 1 2a)和区间(1，)上单调递增，在区间( 1 2a，1)上单调递减 10 分 （3）方法一：方法一：因为 a1，所以 f(x)x2bxlnx，从而 f (x)2x 2bx1 x (x0) 由题意知，x1，x2是方程 2x2bx10 的两个根，故 x1x21 2 记 g(x) 2x2bx1，因为 b3，所以 g(1 2) 3b 2 0，g(1)3b0， 所以 x1(0，1 2)，x2(1，)，
26、且 bxi2x 2 i1 (i1，2) 12 分 f(x1)f(x2)(x2 1x22)(bx1bx2)ln x1 x2(x 2 1x22)ln x1 x2 因为 x1x21 2，所以 f(x1)f(x2)x 2 2 1 4x2 2 ln(2x2 2)，x2(1，) 14 分 令 t2x2 2(2，)，(t)f(x1)f(x2) t 2 1 2tlnt 因为 (t)(t1) 2 2t2 0，所以 (t)在区间(2，)单调递增， 所以 (t)(2)3 4ln2，即 f(x1)f(x2) 3 4ln2 16 分 方法二：方法二：因为 a1，所以 f(x)x2bxlnx，从而 f (x)2x 2bx
27、1 x (x0) 由题意知，x1，x2是方程 2x2bx10 的两个根 记 g(x) 2x2bx1，因为 b3，所以 g(1 2) 3b 2 0，g(1)3b0， 所以 x1(0， 1 2)，x2(1，)，且 f(x)在x1，x2上为减函数 12 分 所以 f(x1)f(x2)f(1 2)f(1)( 1 4 b 2ln 1 2)(1b) 3 4 b 2ln2 因为 b3， 故 f(x1)f(x2)3 4 b 2ln2 3 4ln2 16 15 南京市南京市 2017 届高三年级学情调研届高三年级学情调研 数学附加参考答案及评分标准数学附加参考答案及评分标准 21 【选做题】在 【选做题】在 A
28、、B、C、D 四小题中只能选做四小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在 答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 41：几何证明选讲几何证明选讲 证明：证明：因为点 A、D、E、B 在圆 O 上，即四边形 ADEB 是圆内接四边形， 所以BEDC 3 分 因为 ABAC，所以BC 5 分 所以CEDC，从而 EDEC 7 分 又因为 EFDC 于点 F，所以 F 为线段 DC 中点 10 分 B选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 解：解： （1）MAB 2
29、2 1 3 1 0 0 1 2 2 1 3 5 分 （2）矩阵 M 的特征多项式为 f() 2 2 1 3 (2)(3)2 令 f()0，解得 11，24， 所以矩阵 M 的特征值为 1 或 4 10 分 C选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：解：曲线 C 的极坐标方程为 2cos， 化为直角坐标方程为 x2y22x 即(x1)2y21，表示以(1，0)为圆心，1 为半径的圆 3 分 直线 l 的极坐标方程是 sin( 6)m，即 1 2cos 3 2 sinm， 化为直角坐标方程为 x 3y2m0 6 分 因为直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点， 所以|12m| 2
30、 1，解得 m1 2或 m 3 2 所以，所求实数 m 的值为1 2 或 3 2 10 分 16 D选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 解：解：原不等式等价于 x0， 1x2x4x 或 0x1， 1x2x4x 或 x1， x12x4x 6 分 解 x0， 1x2x4x，得 x； 解 0x1， 1x2x4x，得 1 3x1； 解 x1， x12x4x得 x1 所以原不等式的解集为 1 3，) 10 分 【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分 22 （本小题满分 10 分） 解：解： （1）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABC
31、D 为正方形，侧棱 PD底面 ABCD， 所以 DA、DC、DP 两两垂直，故以DA ，DC，DP为正交基底，建立空间直角坐标 系 Dxyz 因为 PDDC，所以 DADCDP，不妨设 DADCDP2， 则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0) 因为 E 是 PC 的中点，所以 E(0，1，1) 所以AP (2，0，2)，BE(2，1，1)， 所以 cosAP BE |AP | |BE| 3 2 ， 从而 6 因此异面直线 AP 与 BE 所成角的大小为 6 4 分 （2）由（1）可知，DE (0，1，1)，DB(2，2，0)，PB(2，2，
32、2) 设PF PB，则PF(2，2，2)，从而DFDPPF(2，2，22) 设 m(x1，y1，z1)为平面 DEF 的一个法向量， 则 m DF 0， m DE 0，即 x1y1(1)z10， y1z10， x y z A B C D F P E （第 22 题） 17 取 z1，则 y1，x121 所以 m(21，)为平面 DEF 的一个法向量 6 分 设 n(x2，y2，z2)为平面 DEB 的一个法向量， 则 n DB 0， n DE 0，即 2x22y20， y2z20， 取 x21，则 y21，z21 所以 n(1，1，1)为平面 BDE 的一个法向量 8 分 因为二面角 FDEB
33、 的正弦值为 3 3 ，所以二面角 FDEB 的余弦的绝对值为 6 3 ， 即 |cos| 6 3 ， 所以 |m n | | m| | n | 6 3 ， |41| 3 (21)222 6 3 ， 化简得，421，因为点 F 在线段 PB 上，所以 01， 所以 1 2，即 PF PB 1 2 10 分 23 （本小题满分 10 分） 解：解： （1）设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai (i1，2，3)，则 A1，A2，A3彼此互斥 甲获胜的事件为 A1A2A3 P(A1)2 5； P(A2)3 5 1 3 2 5 2 25； P(A3)(3 5) 2 (1 3) 22 5 2 125 所以 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)2 5 2 25 2 125 62 125 答：甲获胜的概率为 62 125 4 分 （2）X 所有可能取的值为 1，2，3 则 P(X1)2 5 3 5 2 3 4 5； P(X2) 2 25 3 5 1 3 3 5 2 3 4 25； P(X3)(3 5) 2 (1 3) 2 11 25 即 X 的概率分布列为 18 X 1 2 3 P 4 5 4 25 1 25 8 分 所以 X 的数学期望 E(X)1 4 52 4 253 1 25 31 25 10 分
