1、全等的相关模型总结全等的相关模型总结一、一、角平分线模型应用角平分线模型应用1.角平分性质模型：角平分性质模型：辅助线：过点辅助线：过点 G 作作 GE射线射线 AC（1）.例题应用例题应用：如图如图 1，在在中ABC，,cm4,6,900BDcmBCCABADC平分，那么点那么点 D 到直线到直线 AB 的的距离是距离是cm.如图如图 2 2，已知，已知，21，43.BACAP平分求证：.图图 1图图 22 2（提示：作（提示：作 DEDEAB 交交 AB 于点于点 E）21，PNPM ，43，PQPN ，BACPAPQPM平分,.(2).模型巩固模型巩固：练习一：如图练习一：如图 3，在四
2、边形，在四边形 ABCD 中，中，BCAB，AD=CD，BD 平分平分BAC.求证：180CA图图 3练习二：已知如图练习二：已知如图 4，四边形，四边形 ABCD 中，中，.,1800BADACCDBCDB平分求证：图图 4练习三练习三： 如图如图 5，,900CABAFDABCDACBABCRt平分，垂足为，中，交交 CD 于点于点 E，交交 CB 于点于点 F.(1)求证：求证：CE=CF.(2)将图将图 5 中的中的ADE 沿沿 AB 向右平移到向右平移到EDA的位置，使点的位置，使点E落在落在 BC 边上，其他条件不变，如边上，其他条件不变，如图图 6 所示，是猜想：所示，是猜想：B
3、E于于 CF 又怎样的数量关系请证明你的结论又怎样的数量关系请证明你的结论.图图 5图图 6练习四：练习四：如图如图 7 7，90AADBC，P P 是是 ABAB 的中点，的中点，PDPD 平分平分ADCADC求证：求证：CPCP 平分平分DCBDCBADECBP2143图图 7练习五练习五：如图如图 8 8，ABABACAC，A A 的平分线与的平分线与 BCBC 的垂直平分线相交于的垂直平分线相交于 D D，自自 D D 作作 DEDEABAB，DFDFACAC，垂足垂足分别为分别为 E E，F F求证：求证：BE=CFBE=CF图图 8练习六：如图 9 所示，在ABC 中，BC 边的垂
4、直平分线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F为垂足，DEAB 于 E，并且 ABAC。求证：BEAC=AE。FEDCBA图 9练习七练习七： 如图如图 10，D、E、F 分别是分别是ABC 的三边上的点的三边上的点，CE=BF，且且DCE 的面积与的面积与DBF 的面的面积相等，求证：积相等，求证：AD 平分平分BAC。2.角平分线角平分线+垂线，等腰三角形比呈现垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长辅助线：延长 ED 交射线交射线 OB 于于 F辅助线：过点辅助线：过点 E 作作 EF射线射线 OB（1）.例题应用：例题应用：如图如图 1 所示，在所示，在ABC 中，中，ABC=3
5、C，AD 是是BAC 的平分线，的平分线，BEAD 于于 F。求证：求证：1()2BEACAB证明：延长 BE 交 AC 于点 F。已知：如图已知：如图 2 2，在，在中ABC，,ADABDBCADBAC且于交的角平分线)(21.ACABAMMADADCM求证：的延长线于交作分析分析：此题很多同学可能想到延长线段此题很多同学可能想到延长线段 CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就而此题突破口就在于在于 AB=AD，由此我们可以猜想过，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点证明：过点 C 作作 CE
6、AB 交交 AM 的延长线于点的延长线于点 E.例题变形例题变形:如图，如图，21，的中点为ACB，.,NFBANMFBCM于于求证：;2BMEF ).(21FNFMFB(3).模型巩固模型巩固：练习一、如图 3，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，CE 垂直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。图 3练习一变形：如图 4，在ODC 中，090DCEOEDCOEC的角平分线，且是，过点 E 作.之间的关系，并证明与猜想：线段于点交ODEFFOCOCEF 图 4练习二、如图 5，已知ABC 中，CE 平分ACB，且 AECE，AEDC
7、AE180 度，求证：DEBC图 5练习三、如图 6，ADDC，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB，BE 平分ABC，求证：点E 是 DC 中点。图图 6ACDEBABCDE练习四、如图 7（a） ，AABCCEBD的外角平分线，过点分别是、作BDAD DEDEEDCEAE:.求证，连接、，垂足分别是，BC)(21ACBCABDE.图图 7（a）图图 7（b）图图 7（c）、如图 7（b） ，件不变；的内角平分线，其他条分别是、ABCCEBD、如图 7（c） ，的外角平分线，为的内角平分线，为ABCCEABCBD其他条件不变. 则在图7（b） 、图 6（c）两种情况下，DE 与
8、BC 还平行吗它与ABC三边又有怎样的数量关系请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五练习五、如图如图 8，在直角三角形在直角三角形ABC中中，90C，A的平分线交的平分线交BC于于D 自自C作作CGAB交交AD于于E，交，交AB于于G自自D作作DFAB于于F，求证：，求证：CFDE?G?A?B?C?D?E?F?1?2图图 8练习六练习六、 如图 9 所示， 在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线， 若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB?M?F?D?C?B?A图图 9练习六变形一：如图练习六变形一：如图 10 所示，所
9、示，AD是是ABC中中BAC的外角平分线，的外角平分线，CDAD于于D，E是是BC的中的中点，求证点，求证DEAB且且1()2DEABAC?E?D?C?B?A图图 10练习六变形二：练习六变形二：如图如图 1111 所示，在所示，在ABC中，中，AD平分平分BAC，ADAB，CMAD于于M，求证，求证2ABACAM?M?D?C?B?A图图 11练习七练习七、如图如图 12，在在ABC中中，2BC ，BAC的平分线的平分线AD交交BC与与D则有则有ABBDAC那那么如图么如图 13，已知在，已知在ABC中，中，3ABCC ，12 ，BEAE求证：求证：2ACABBE?D?C?B?A?2?1?E?
10、C?B?A图图 12图图 13练习八练习八、在在ABC中中，3ABAC，BAC的平分线交的平分线交BC于于D，过过B作作BEAD，E为垂足为垂足，求证求证：ADDE?C?E?D?B?A练习九、练习九、AD是是ABC的角平分线，的角平分线，BEAD交交AD的延长线于的延长线于E，EFAC交交AB于于F求证：求证：AFFB?D?E?C?F?B?A3.角分线，分两边，对称全等要记全角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线 OA 上取点 B，使 OB=OA，从而使，从而使OACOBC.（1）.例题应用：例题应用：、在在ABCABC 中中，BAC=60BAC=60，C=40C=40，AP
11、AP 平分平分BACBAC 交交 BCBC 于于 P P，BQBQ 平分平分ABCABC 交交 A AC C于于 Q Q，求证：，求证：AB+BP=BQ+AQAB+BP=BQ+AQ。思路分析思路分析：1 1）题意分析）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2 2）解题思路）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABPAD
12、P 从而得以解决。小结小结： 通过一题的多种辅助线添加方法， 体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如图所示如图所示，在在ABC中中，AD是是BAC的外角平分线的外角平分线，P是是AD上异于点上异于点A的任意一点的任意一点，试比较试比较PBPC与与ABAC的大小，并说明理由的大小，并说明理由?D?P?C?B?A?E?D?P?C?B?A【解析】PBPCABAC，理由如下?C?D?B?P
13、?A?E?C?D?B?P?A【解析】在AB上截取AEAC，连结EP，根据SAS证得AEPACP，PEPC，AEAC又BEP中，BEPBPE，BEABAC，ABACPBPC（2） 、模型巩固：、模型巩固：练习一、.如图，在ABC 中，ADBC 于 D，CDABBD，B 的平分线交 AC 于点 E，求证：点E 恰好在 BC 的垂直平分线上。练习二、如图，已知ABC 中，ABAC，A100，B 的平分线交 AC 于 D，求证：ADBDBC练习三、如图，已知ABC 中，BCAC，C90，A 的平分线交 BC 于 D，求证：ACCDAB练习四、已知：在ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于,D
14、DFBC交AC于,EABF交于求证：EFBFCEEADBCACBDACBD练习五、在ABC中，,2ABAC AD平分BAC，E是AD中点，连结CE，求证：2BDCE变式：变式：已知：在ABC中，,2BC BD平分ABC，,ADBQD于求证：12BDAC练习六、 已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC,BC=DC,CF 平分BCD,DFAB,BF 的延长线交 DC 于点 E.求证： （1） BF=DF；(2) AD=DE.练习七、已知如图，在四边形 ABCD 中，AB+BC=CD+DA，ABC 的外角平分线与CDA 的外角平分线交于点 P.求证：APB=CPDABCDFE练习八、如图，在平
15、行四边形 ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，F 分别是 AD，AB 边上的点，且 BE、DF 交于 G 点，BE=DF，求证：GC 是BGD 的平分线。练习九、如图，在ABC 中，ACB 为直角，CMAB 于 M，AT 平分BAC 交 CM 于 D，交 BC 于 T，过 D 作 DEAB 交 BC 于 E，求证：CT=BE.练习十练习十、 如图所示如图所示， 已知已知ABC中中，AD平分平分BAC，E、F分别在分别在BD、AD上上DECD，EFAC求求证：证：EFAB?F?A?C?D?E?B【补充【补充】如图如图，在在ABC中中，AD交交BC于点于点D，点点E是是BC中点中点，EFA
16、D交交CA的延长线于点的延长线于点F，交交AB于点于点G，若，若BGCF，求证：，求证：AD为为BAC的角平分线的角平分线?F?G?E?D?C?B?A4.中考巡礼：中考巡礼：（1）.如图如图 1，OP 是是AOBAOB 的平分线的平分线，请你利用图形画一对以请你利用图形画一对以 OPOP 为所在直线为对称轴的为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。、如图如图 2 2，在在ABCABC 中中，ACBACB 是直角是直角，B=60B=600，ADAD、CECE 是是BACBAC、BCABCA 的角平分线的角
17、平分线，相交于点相交于点 F F，请你判断并写出，请你判断并写出 EFEF 与与 DFDF 之间的数量的关系。之间的数量的关系。、如图如图 3 3，在在ABCABC 中中，ACBACB 不是直角不是直角，而而（1 1）中的其他条件不变中的其他条件不变，请问请问， （1 1）中的中的结论是否任然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。结论是否任然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（2）.如图，在平面直角坐标系中，如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0） ，C（1，0）D 为为 y 轴上的一点，点轴上的一点，点 A 为为第二象限内一动点，且第二象限内一动点，且BAC=2BDO，过点，过点
18、 D 作作 DMAC 于于 M，、求证：求证：ABD=ACD；、若点若点 E 在在 BA 的延长线上，求证：的延长线上，求证：AD 平分平分CAE；、当点当点 A 运动时运动时， （AC-AB）/AM 的值是否发生变化若不变，求其值；若变化，请说的值是否发生变化若不变，求其值；若变化，请说明理由。明理由。AOMNEF图 1ABCDEF图 2ABCDEF图 3二、二、等腰直角三角形模型等腰直角三角形模型1.在斜边上任取一点的旋转全等：在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：操作过程：（1）.将将ABD 逆时针旋转逆时针旋转090，使ACMABD，从而推出从而推出ADM 为等腰直角三角为等腰直角三角
19、形形.（但是写辅助线时不能这样写）（但是写辅助线时不能这样写）（2）.过点过点 C 作作BCMC ，连连 AM 导出上述结论导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连操作过程：连 AD.（1）. 使使 BF=AE（AF=CE） ，导出，导出BDFADE.（2）.使使EDF+BAC=0180，导出BDFADE.（1） 、例题应用：、例题应用：. .解析解析： 方法一方法一： 过点过点 C 作作，方法二方法二：. .证明：方法一：连接证明：方法一：连接 AM，证明，证明MDEMAC.特别注意证明特别注意证明MDE=
20、MAC.方法二方法二：过点过点 M 作作 MNEC 交交 EC 于点于点 N，得出得出 MN 为直角梯形的中位线为直角梯形的中位线，从而导从而导出出MEC 为等腰直角三角形为等腰直角三角形.（2）、练习巩固：、练习巩固： 已知：如图所示，已知：如图所示，RtRtABCABC中，中，AB=ACAB=AC，90BAC，O 为为 BC 中点，若中点，若 M、N 分别分别在线段在线段 AC、AB 上移动，且在移动中保持上移动，且在移动中保持 AN=CM.、 是判断是判断OMN 的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论.、 当当 M、N 分别在线段分别在线段 AC、AB 上移动时，四边形上移动时，四
21、边形 AMON 的面积如何变化的面积如何变化思路：两种方法：思路：两种方法：在正方形在正方形 ABCDABCD 中，中，BE=3BE=3 ，EF=5EF=5 ，DF=4DF=4 ，求，求BAE=DCF 为多少度为多少度.提示如右图：提示如右图：3.构造等腰直角三角形构造等腰直角三角形（1）、利用以上的、利用以上的 1 和和 2 都可以构造等腰直角三角（略都可以构造等腰直角三角（略） ；（2）、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图：如下图：图图 3-1图图 3-2操作过程：在操作过程：在图图 3-2 中，先将中，先将ABD 以以 BD 所
22、在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使 A 与与 M，D 与与 E 重合重合.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，3 , 01201CBA，求求OCA+OCB 的的度数度数.4.将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：图图 4-1图图 4-2例题应用：例题应用：思路：构造正 方形思路：构造正 方形 ACBM，可以构造出 等边，可以构造出 等边APM ，从而造出，从而造出，又
23、根据又根据， 可得可得， 再由于再由于， 故而得到故而得到从而得从而得 证证.例题拓展：若例题拓展：若ABC 不是等腰直角三角形，即不是等腰直角三角形，即，而是，而是，其他条件不变，求证：其他条件不变，求证：2=21.练习巩固：在练习巩固：在平面直角坐标系中，平面直角坐标系中，A（0 , 3） ，点，点 B 的纵坐标为的纵坐标为 2，点，点 C 的纵坐标为的纵坐标为 0，当，当 A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点三点围成等腰直角三角形时，求点 B、C 的坐标的坐标.（1） 、当点、当点 B 为直角顶点：为直角顶点：图图 1图图 2（2）、当点、当点 A为直角顶点：为直角顶点：图图 3图图
24、 4（3）、当点当点 C为直角顶点：为直角顶点：图图 5图图 6三、三、三垂直模型（弦图模型）三垂直模型（弦图模型）. . . .由由ABEBCD 导出导出由由ABEBCD 导导由由ABEBCD 导出导出ED=AE-CD出出 EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD1.例题应用：例题应用：例例 1.已知已知：如图所示如图所示，在在ABC 中中，AB=ACAB=AC，90BAC，D 为为 AC 中点中点，AFBD 于于 E，交交BC 于于 F，连接，连接 DF.求证：求证：ADB=CDF.思路：思路：方法一方法一: 过点过点 C 作作 MCAC 交交 AF 的延长线于点的延长线于点 M.先证
25、先证ABDCAM，再证再证 CDFCMF 即可即可.方法二：过点方法二：过点 A 作作 AMBC 分别交分别交 BD、BC 于于 H、M.先证先证ABHCAF， 再证再证CDFADH 即可即可.方法三：过点方法三：过点 A 作作 AMBC 分别交分别交 BD、BC 于于 H、M.先证先证 RtAMFRtBMH，得出，得出HFAC. 由由 M、D 分别为线段分别为线段 AC、BC 的中点，可得的中点，可得 MD 为为ABC 的中位线的中位线从而推出从而推出 MDAB，又由于，又由于90BAC，故而故而MDAC，MDHF，所以，所以MD 为为线段线段 HF 的中垂线的中垂线. 所以所以1=2.再由
26、再由ADB+1=CDF+2 ，则，则ADB=CDF .例例 1 拓展（拓展（1） ：已知：如图所示，在已知：如图所示，在ABC 中，中，AB=ACAB=AC，AM= =CNCN，AFBM于于 E，交，交BC 于于 F，连接，连接 NF.求证：求证：ADB=CDF.BM=AF+FN思路：同上题的方法一和方法二一样思路：同上题的方法一和方法二一样.拓展（拓展（2） ：其他条件不变，只是将：其他条件不变，只是将BM和和FN分别延长交于点分别延长交于点P，求证：，求证：PM=PN,PBPF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样思路：同上题的方法一和方法二一样.例例 2.如图如图 2-1，已知，已知A
27、DBC，ABE 和和CDF 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EAB=CDF=90，AD=2，BC=5，求四边形求四边形 AEDF 的面积的面积.图图 2-1解析：如图解析：如图 2-2，过点，过点 E、B 分别作分别作 ENDA，BMDA 交交 DA 延长线于点延长线于点 N、M.过点过点 F、C 分别作分别作 FPAD，CQAD 交交 AD 及及 AD 延长线于点延长线于点P、Q.FPADENADSSSADFAEDEAFD2121四边形FPENAD21ABE 和和CDF 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EAB=CDF=90，AE=AB， DF=CD.ENDA，BMDA，FPAD，CQ
28、AD ，NMB=ENA=FPD=DQC=90.ENA=MBA，FDP=QCD.ENAABM，FPDDQC.NE=AM， PF=DQ .NE+PF=DQ+AM=MQ-AD.ADBC，CQBM，BMN=90，四边形四边形 BMQC 是矩形是矩形. BC=MQAD=2，BC=5NE+PF=5-2=3. 33221EAFDS四边形图图 2-22.练习巩固：练习巩固：（1） 、如图（、如图（1）-1，直角梯形，直角梯形 ABCD 中，中，ADBC，ADC=90，l是是 AD 的垂直平分线的垂直平分线，交交 AD 于点于点 M，以腰，以腰 AB 为边做正方形为边做正方形ABFE，EPl于点于点 P.求证：
29、求证：2EP+AD=2CD.（1）-1（1）-2（2） 、如图，在直角梯形如图，在直角梯形 ABCD 中，中，ABC=90，ADBC，AB=ACAB=AC，E E 是是 ABAB 的中点，的中点，CEBD.求证：求证：BE=AD；求证：求证：AC 是线段是线段 ED 的的垂直平分线；垂直平分线；BCD 是等腰三角形吗请说明理由是等腰三角形吗请说明理由.四、四、手拉手模型手拉手模型1.ABE 和和ACF 均为等边三角形均为等边三角形结论： （1）.ABFAEC（2）.BOE=BAE=060（ “八字模型证明” ）（3）.OA 平分平分EOF拓展：拓展：条件：条件：ABC 和和CDE 均为等边三角
30、形均为等边三角形结论结论： （1） 、AD=BE（2）、ACB=AOB（3） 、PCQ 为等边三角形为等边三角形（4） 、PQAE （5） 、AP=BQ（6） 、CO 平分平分AOE （7） 、OA=OB+OC（8） 、OE=OC+OD（ （7） ， （8）需构造等边三角形证明）需构造等边三角形证明）2.ABD 和和ACE 均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形结论结论： （1） 、BE=CD（2）BECD和和 ACHD 均为正方形均为正方形结论结论： （1） 、BDCF（2） 、BD=CF变形一：变形一：ABEF 和和 ACHD 均为正方形，均为正方形，ASBC 交交 FD 于于 T，求证：求
31、证：M 为为 FD 的中点的中点. .ADFABCSS方法一：方法一：方法二：方法二：方法三：方法三：变形二：变形二：ABEF 和和 ACHD 均为正方形，均为正方形，T 为为 FD 的中点，的中点，求证：求证：ASBC4当以当以 AB、AC 为边构造正多边形时，总有：为边构造正多边形时，总有：1=2=n360180 .五、五、双垂直双垂直+角平分线模型角平分线模型结论：结论：AE=AF拓展：若拓展：若 AP 平分平分BAD，其他条件不变，求证：，其他条件不变，求证：APCF六、六、半角模型半角模型条件：条件：.180210且思路思路： （1 1） 、延长其中一个补角的线段、延长其中一个补角的
32、线段（延长（延长CDCD到到E E，使使ED=BMED=BM ，连连AEAE或延长或延长CBCB到到F F，使使FB=DNFB=DN ，连连AFAF）结论：结论：MN=BM+DNABCCMN2AMAM、ANAN分别平分分别平分BMN 和和DNM（2）、对称（翻折）、对称（翻折）思路思路:分别将分别将ABM 和和ADN 以以 AM 和和 AN 为对称轴翻折为对称轴翻折， 但一定要证明但一定要证明M、P、N 三点共线三点共线.（B+D=0180且且 AB=AD）例题应用例题应用：例例 1、在正方形在正方形ABCDABCD中中，若若M M、N N分别在边分别在边BCBC、CDCD上移动上移动，且满且
33、满足足MN=BMMN=BM+ +DNDN，求证：，求证：. .MAN=45. .ABCCMN2. .AMAM、ANAN分别平分分别平分BMN 和和DNM.思路同上略思路同上略. .例例 1 拓展：拓展：在正方形在正方形ABCDABCD中，已知中，已知MAN=45，若若M M、N N分别在边分别在边CBCB、DCDC的延长线上移动，的延长线上移动，. .试探究线段试探究线段MNMN、BMBM、DNDN之间的数量关系之间的数量关系. . .求证：求证：AB=AH.提示如图：提示如图：例例 2.在四边形在四边形ABCDABCD中中，B+D=180，AB=AD， 若若E E、F F分别在边分别在边BCBC、CDCD且且上，满足上，满足EF=BEEF=BE+ +DF.DF.求证：求证：.21BADEAF提示：提示：练习巩固练习巩固：如图如图，在四边形在四边形ABCDABCD中中，B=D=90，AB=AD，若若E E、F F分别分别在边在边BCBC、CDCD上的点，且上的点，且.21BADEAF.求证：求证：EF=BEEF=BE+ +DF.DF.提示：提示：
