1、University of Electronic Science & Technology of China电磁场数值方法全册电磁场数值方法全册配套课件配套课件University of Electronic Science & Technology of China电磁场数值方法电磁场数值方法学时：学时：48学时学时学分：学分：3University of Electronic Science & Technology of China课程内容课程内容课堂理论教学（课堂理论教学（38学时）学时）绪论（1学时）第一章 静态场中的有限差分法（12学时）第二章 时变场中的差分法（6学时）第三章 有
2、限元法（14学时）第四章 矩量法（5学时）University of Electronic Science & Technology of China课程内容与要求课程内容与要求上机（上机（10学时）学时）静电场中的差分法：（6学时）时变电磁场中的差分法：矩形波导TE和TM波（4学时）课程设计课程设计根据给定课题提交完整的研究报告University of Electronic Science & Technology of China考核方式考核方式平时考勤及作业平时考勤及作业 10上机与课程设计上机与课程设计 10%期末开卷考试期末开卷考试 80%University of Electro
3、nic Science & Technology of China教材及参考书教材及参考书教材教材电磁场数值方法，方宙奇，孟敏主编，电子科技大学出版社，2012年.参考书参考书1.电磁场数值方法，陈嘉玉，电子科技大学出版社，1994年.2.电场及磁场问题的分析与计算，（英）K.J.宾斯，P.J.劳伦松著，徐世杰译，人民教育出版社，1985年.University of Electronic Science & Technology of China教材及参考书教材及参考书参考书参考书3.电磁场数值分析盛剑霓等，科学出版社，1984年.4.计算电磁学的数值方法，吕英华 ，清华大学出版社 2006
4、年.5.计算电磁学，王秉中，科学出版社，2002年.6.电磁场有限元法，金建铭（美）著，王建国译，西安电子科技大学出版社，1998年.7. 电磁辐射与散射问题的矩量法，李世智， 电子工业出版社，1985年.8. Field Computation by Moment Methods，R.F Harrington，IEEE Press，1993年.University of Electronic Science & Technology of China电磁场数值方法电磁场数值方法绪论绪论一、数值方法产生的历史与发展现状一、数值方法产生的历史与发展现状二、数值方法的地位和作用二、数值方法的地位和
5、作用三、数值方法的分类与共性三、数值方法的分类与共性University of Electronic Science & Technology of China电磁场数值方法电磁场数值方法TDIETDFEFDTDFEMFDMMOM时域积分方程方法（）时域时域有限元法（）时域有限差分法（）电磁场数值方法高频近似方法有限元（）频域“低频”方法 有限差分（）矩量法（）University of Electronic Science & Technology of ChinaUniversity of Electronic Science & Technology of China有限差分（FDM）U
6、niversity of Electronic Science & Technology of China 在电磁散射计算方法中，有限差分法自上世纪在电磁散射计算方法中，有限差分法自上世纪五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰五十年代以来得到了广泛的应用，该方法概念清晰，方法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成，方法简单，直观。虽然其与变分法相结合所形成的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点的有限元法更有效，但有限差分还是以其固有特点在数值计算中有其重要地位。在数值计算中有其重要地位。 为求解由偏微分方程偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法是将定解区域（场区）离散化为网
7、格离散节点的集合。并，使待求的偏微分方程定解问题转化为一组相应的差分方程。根据差分方程组解出各离散点处的待求函数值离散解。University of Electronic Science & Technology of ChinaUniversity of Electronic Science & Technology of ChinaUniversity of Electronic Science & Technology of ChinaUniversity of Electronic Science & Technology of ChinaUniversity of Electroni
8、c Science & Technology of ChinaUniversity of Electronic Science & Technology of China2 差分方法的求解步骤 网格划分方式离散化场域 给出相应的差分计算格式给出相应的差分计算格式求解求解University of Electronic Science & Technology of China3 二维泊松方程和拉普拉斯方程的 有限差分法 n差分格式的建立 22222( , )f x yxy|( )Gg p|( )Gg pn12|( )|( )GGgpgpn，第一类边界条件；，第一类边界条件；，第二类边界条件；，
9、第二类边界条件；，第三类边界条件。，第三类边界条件。 介质不连续处还要增加连接条件介质不连续处还要增加连接条件1212|GGGGnn University of Electronic Science & Technology of China1001103033()( )()()O hxhO hxh 3h4h1h2h0143i增加的方向j增加的方向122340( , )i j( ,1)i j(1, )ij(1,1)ij(1,1)ij( ,1)i j(1,1)ij(1, )ij(1,1)ijUniversity of Electronic Science & Technology of Chin
10、a使差分格式误差最小使差分格式误差最小 待定系数的方法待定系数的方法 22210300131321()()() ()()2!hhhhxx 222313210hhhh 2212303101300131 313()()()()()()hhxhhhh hh 13xhhh2130()()2xxO hxhUniversity of Electronic Science & Technology of China使差分格式误差最小使差分格式误差最小 待定系数的方法待定系数的方法 22210300131321()()() ()()2!hhhhxx 31310hhhh210303101300222131 31
11、3()()()()()22()hhxhhhh hh 13xhhh221030222()()xxO hxhUniversity of Electronic Science & Technology of China2310130021 313()()()2()hhxhh hh23131304202400001 3132424()()()()2(,)()()hhhhf xyfhh hhh h hh1324,xyhhh hhh10320402222xyfhh1,1,1,1,2211(2)(2)iji jiji ji ji ji jxyfhhxyhhh21,1,1,1,4ijiji ji ji ji
12、jh f五点格五点格式式 3h4h1h2h0143i增加的方向j增加的方向122340(, )i j(,1)i j( 1, )ij( 1 ,1)ij( 1 ,1)ij(,1)i j( 1 ,1)ij( 1, )ij( 1 ,1)ijUniversity of Electronic Science & Technology of China轴对称场差分格式n球、柱、回旋体等形状 （3D-2D）柱坐标柱坐标 2222210rrrz2231013001 313()()()()hhxhh hh2310130021 313()()()2()hhxhh hh2420240022424()()()2()hh
13、yh h hhzr2 21 13 34 40r1h2h3h4hUniversity of Electronic Science & Technology of China031030102413241 3 02244240 1130313222222()()()()()rhhrhrhh hhh rh hhh hhr h hhr h hh1234hhhhh00(1),1rih i02413114112(1)2(1)ii？00r 20200()1lim()lim()rrrrrrrr222220rz13024164整个场域内点的差分格式共有两种整个场域内点的差分格式共有两种! !zr2 21 13
14、34 40r1h2h3h4hUniversity of Electronic Science & Technology of China边界条件的处理n1、不同介质平面分界面的情形 21234040aaaaaah W1234040bbbbb222444000,ababab 121020113213()()()()aabbnn 02134A 有源B 无源2h3h4h1h12University of Electronic Science & Technology of China12R2123402240111baaRRh WRRR21234011,402baaRh W12340224011ba
15、RRR两边均无源，312hK1240B 2240bhK：23240A 22420aahKh W：分界面为场域边界，满足第二类边界条件分界面为场域边界，满足第二类边界条件130()2KnhUniversity of Electronic Science & Technology of China边界条件的处理(续)n2、边界不平行于网格，但是边界无拐点n边界旋转 202240111bpqarsaRRh WRRR2022240111bpqarsaRRh WRRRA区B区02134spqrUniversity of Electronic Science & Technology of Chinan采
16、用边界条件重新推导 212340:40aaaaaAh W12340:40bbbbB12()()axaybxby 边界：123412341()21()21()21()2axaaayaabxbbbybb2123402() 2 () 4(1)0bbaaaRRRhWA区B区2134yxUniversity of Electronic Science & Technology of China边界条件的处理(续)n3、边界平行于网格，但有拐点n无法引入虚构点n引入辅助线n 不会引起原方程变化0.51.5 ,00.51，2，3，4点都在媒质点都在媒质B区中区中 0.51234040(1)bbbbAAAAA
17、2123401()2(1)0(2)2bbaaaAAR AAR ARh W1() (1)(2)221234011(1)()(3)024bbaAARAAR ARh WLN2134MPQRA 区B区011,J2University of Electronic Science & Technology of China2134A 区B区011,J2,1A21R铁铁磁磁物物质质铁磁物铁磁物质质空空气气空空气气A是铁磁物质0R 123401()302bbAAAAAB是铁磁物质R 3401()20(0)AAAJUniversity of Electronic Science & Technology of
18、China边界条件的处理(续)n4、网格成对角线边界时的角形区域边界n可以用边界平行于网格，但有拐点的情形的处理方法同样处理 213240111(1)(3)()(3)0244bbbaAR ARAAR ARh W02413A区B区University of Electronic Science & Technology of China边界条件的处理(续)n5、与节点不重合的边界n应用不等间距差分格式 231013042024001 3132424()()()()2()()hhhhfhh hhh h hh1324,hph hqh hhh21234002212 (1)0()()h fp p qq
19、p qpq20123402212 (1)0()()baRh f pRp p pRq q pRpqq pR利用边界条件和不等间距差分格式消去虚元利用边界条件和不等间距差分格式消去虚元 32041A区B区3h1h2h4hUniversity of Electronic Science & Technology of China边界条件的处理(续)n6、曲线边界的情形 n第一类边界条件的处理n直接转移法n线性插值法n双向插值法 01若若x方向最靠近方向最靠近0点点 3 11 3031hhhh若若y方向最靠近方向最靠近0点点 4 22 4042hhhh在边界上插入一个局部的不均等步长的网格在边界上插入
20、一个局部的不均等步长的网格 1234,hh hh hhh21234001111111()(1)(1)112h f2h4h3h1h21034A区B区University of Electronic Science & Technology of China边界条件的处理(续)n其他边界n无限远n轴对称线上0n13,1R223400240h W00n02134A 有源B 无源2h3h4h1h12University of Electronic Science & Technology of China1423, 234002()40h W12pq1320123402212 (1)0()()baRh
21、 f pRp p pRq q pRpqq pR232400181002h W32041A区B区3h1h2h4hA区B区2134yxUniversity of Electronic Science & Technology of China4 差分方程组的求解 n差分方程组的特性1,2,1,jjjNj21,0,22,21,(1,1)jjjjNjN jh fgh ffjjNh fgji21,11,1,4(D)()iji jiji ji ji ji ji jh fg在 内在边界上3,12,23,21,32,33,31,2321,12,11,21,11,00,121,12,13,12,22,12,02
22、2,13,13,23,13,0,21,32,33,31,11,22,21,32,33,3410004243400000000000000h fggh fgh fgg,121,11,22,21,31,20,222,11,22,23,22,32,223,12,23,23,32,13,13,22,33,31,13,11,33,31,12,11,21,32,31,123 24,2,1,000000000000000044546704h fgh fh fg21,21,32,31,30,31,422,21,33,12,23,23,31,12,13,11,23,23,31,12,2,32,32,423,21
23、3,11,22,21,32,33,33,34,33,448490000000000400000h fggh fgh fggUniversity of Electronic Science & Technology of China21,11,00,122,12,0121,11,0,1NNNh fggh fgfh fgg21,11,0,122,12,121,11,1NNNNNNNNNNN Nh fggh fgfh fgg112211,NNffFf KF DIIDIKIDIID4114114114DUniversity of Electronic Science & Technology of C
24、hinayh1,11,22,12,22,12,21,11,221,11,00,122,12,021,11,0,141114111411141NNNNNNNh fggh fgh fgg121DIf2yh1232IDIfKF DIIDIKIDIIDUniversity of Electronic Science & Technology of Chinan差分方程特性n系数矩阵K是大型稀疏矩阵 n如上面给出的5点格式中，非零元素的个数不超过5个 n矩阵K往往是对称正定的n当边界与网格节点不重合时，K的对称性将破坏 nK通常是不可约的，因此方程组不能由其中的某一部分单独求解 University o
25、f Electronic Science & Technology of Chinan差分方程组的解法n直接法n工作量较小，精确度较高n计算程序复杂，无重复性，要求存贮量大 n迭代法n所需存储量小，程序简单，具有重复性，收敛快n先赋初值，不断逼近精确解University of Electronic Science & Technology of Chinan直接迭代法2,1,11,1,1()4i jiji jiji ji jh f0, i j1, i j,1,11,1(1)( )( )( )( )2,1()4i jiji jiji jnnnnni jh f缺点：缺点：需要两套存储单元，分别存
26、储两次相邻迭代的近似值，因而占用的内存较大。需要两套存储单元，分别存储两次相邻迭代的近似值，因而占用的内存较大。收敛速度也较慢。收敛速度也较慢。 University of Electronic Science & Technology of Chinan高斯赛德尔迭代法 n基本思想n在(n+1)次迭代中，如果某些相关节点上的第（n+1）次迭代近似值已经得到，就将这些新值代入进行计算 n优点n加快了迭代解的收敛速度 n节省了存储单元（相对） n迭代顺序：从左到右、由下而上,1,11,1(1)( )( )(1)(1)2,1()4i jiji jiji jnnnnni jh fUniversity
27、 of Electronic Science & Technology of Chinan余数n检验迭代收敛程度和控制迭代终止的标准 1,nnni ji ji jR高斯赛德尔迭代法：当网格的节点数目很大时，此法的收敛速度仍然很慢。高斯赛德尔迭代法：当网格的节点数目很大时，此法的收敛速度仍然很慢。松弛因子：(1)( )( ),( )( )( )(1)(1)2( ),1,11,1,()(4)4nnni ji ji ji jnnnnnni jiji jiji ji ji jh f 12University of Electronic Science & Technology of Chinan超松弛
28、迭代法（SOR:Successive Over Relaxation）第一类边值问题第一类边值问题 最佳的最佳的值值 021 sin()l正方形场域正方形场域 矩形场域，用正方形网格分割矩形场域，用正方形网格分割 0221122()lm (1)( )( ),( )( )( )(1)(1)2( ),1,11,1,()(4)4nnni ji ji ji jnnnnnni jiji jiji ji ji jh f University of Electronic Science & Technology of China011112(1)11limmax,maxnnnnnnnnn第一类（第二类）边界
29、条件，任意形状边界问题第一类（第二类）边界条件，任意形状边界问题101实际使用中还可以选取实际使用中还可以选取University of Electronic Science & Technology of China迭代初值的选取迭代初值的选取原则上任意值原则上任意值收敛的标准收敛的标准满足精度要求满足精度要求控制迭代次数控制迭代次数迭代法中需要考虑的问题迭代法中需要考虑的问题迭代格式的选用迭代格式的选用值的选取值的选取解初值的选取解初值的选取以什么条件检验迭代解收敛以什么条件检验迭代解收敛与否以及控制迭代终结与否以及控制迭代终结University of Electronic Scienc
30、e & Technology of China5 工程应用举例 n求解流程 电磁场电磁场方程方程网 格 划网 格 划分分离 散 化离 散 化场域场域差分原理差分原理建立差分建立差分格式格式差 分 方差 分 方程程代 数 方代 数 方程组程组迭代迭代方法方法数字数字结果结果University of Electronic Science & Technology of Chinan例1 一个长直接地金属矩形槽，其侧壁与底面电位均为零，顶盖电位为100（相对值），如图所示，求槽内电位分布 。n求解步骤n1)写出边值问题n2)离散化场域n3)给出采用超松弛迭代法的差分方程形式 n4)给出边界条件n5
31、)给定初值 n6)给定检查迭代收敛的指标(1)( )( ),( )( )( )(1)(1)( ),1,11,1,()(4)4nnni ji ji ji jnnnnnni jiji jiji ji j 021.171 sin()l15l 410RUniversity of Electronic Science & Technology of Chinan7)程序框图n8)编制计算程序n9)求解结果 启动启动给定边值给定边值填写场域内的初值填写场域内的初值迭代次数计数迭代次数计数所有内点相邻两次迭代值的绝对误差是否小于所有内点相邻两次迭代值的绝对误差是否小于 ？输出结果输出结果是是1NN按超松弛迭
32、代法进行一次迭代，求按超松弛迭代法进行一次迭代，求(1),Ni jRUniversity of Electronic Science & Technology of ChinaUniversity of Electronic Science & Technology of China2211222222221AB11AC2CD22BD12BCBC1212BCBC0I0II10V00V0 xyxynxnxnn在场域 中在场域 中第一类边界第二类边界第一类边界第二类边界衔接条件例例2 导电纸模拟实验中，制作了导电纸模拟实验中，制作了如图所示的二维电流场模型，其如图所示的二维电流场模型，其中二导电媒
33、质的电导率分别为中二导电媒质的电导率分别为 和和 ，且，且 ，其分界面为，其分界面为BC。电极电极AB、CD间加间加10V电压。求该电压。求该场位的差分解。场位的差分解。 12122University of Electronic Science & Technology of China内点内点1,11,1,40iji jiji ji j(1)( )( )( )(1)(1)( ),1,11,1,(4)4nnnnnnni ji jiji jiji ji j第一类边界第一类边界,10,0i ji jABCDAC边BD边第二类边界第二类边界1,1,1,240iji ji ji j(1)( )( )
34、( )(1)( ),1,1,1,(24)4nnnnnni ji jiji ji ji j1,1,1,240iji ji ji j(1)( )( )(1)(1)( ),11,1,(24)4nnnnnni ji ji jiji ji j分界面上分界面上,11,1,1,2() () 60i jijiji ji j(1)( )( )(1)( )(1)( ),11,1,1,2()()66nnnnnnni ji ji jijiji ji j510152025510152025ABCDIIIUniversity of Electronic Science & Technology of China例3 差分
35、法在悬带线中的应用h2d1dbWa00r 0t22220 xy准静态法 准准TEMUniversity of Electronic Science & Technology of Chinay y10I1 1xM Mr r2 22 2p pq qN N0000 0A AD DC CB B0 0A AD DC CB Br1 12 22 2040abcd210224011crbadrr210221140arbcrrd0240abdUniversity of Electronic Science & Technology of Chinay y10I1 1xM Mr r2 22 2p pq qN N
36、0000 0A AD DC CB B0 0A AD DC CB Br(1)( ),(1)(1)( )( )( ),11,1,1,44nni ji jnnnnni jijiji ji j(1)( ),(1)( )(1)( )( ),1,11,1,224411nnq jq jnnnnnrq jq jqjqjq jrr(1)( ),(1)( )( ),1,11,(1)( )1,241241nnp jp jnnnp jp jpjrnnrpjp jr(1)( ),(1)(1)( )( )1,11,244nni ri rnnnniri riri rUniversity of Electronic Scie
37、nce & Technology of China场强的计算n通过上述差分方程组的求解，在获得场域内各结点上待求位函数后，往往还需求场中的场强分布，以及其他有关的积分特性（如磁通量和磁导、电导、电容等磁路及电路参数等）。 134222xyxyxyhh Eeeee134222mmmmmmmxyxyxyhhHeeee134222zzxyxyAAAAAAyxhh BAeeeeUniversity of Electronic Science & Technology of China3277.2 1001.53.42 10(/)10KyyyyEE aaaVm 32214.30027.81.5()( 2
38、.154.17) 10(/)1010nxyxyEaaaaVm 32254.254.234.677.21.5()3.195 10(/)2 102 10AxyyEaaaVm University of Electronic Science & Technology of China电、磁积分量的计算n无论是静电场、恒定电流场或恒定磁场，其通量可一般地表示为 n所分析的静电场中的电容C、恒定电流场中的电导G或恒定磁场中的磁导等电路或磁路参数P就可按下式计算 SKd PS1( )naviiKPi S 1( )naviiKPi SPUUUniversity of Electronic Science &
39、 Technology of China波导中TM、TE波的差分解 n例：用有限差分法求解矩形金属波导中的截止波长和场分布。n假设 n波导壁为完纯导体 n波导内的介质系均匀、线性且各向同性的理想介质 n波导中无自由电荷和传导电流 n波导工作在匹配状态，具有均匀截面，所以在分析时只考虑入射波，无反射波 University of Electronic Science & Technology of China波导中传播的电磁波可分为波导中传播的电磁波可分为TETE波波或或TMTM波波 ;zzHE求解相应的场纵向分量所描述的定解问题求解相应的场纵向分量所描述的定解问题 222220cKxy0CnT
40、E波波导壁处波波导壁处 0CTM波波导壁处波波导壁处University of Electronic Science & Technology of China21234004()0cK hTE 22340024()0cKh0bTM hh0 01 12 23 34 43 34 41 12 2b b边边界界C CUniversity of Electronic Science & Technology of China K 特征值特征值 22()(2)ccKhh 截止波长截止波长 2ccK连续场中的偏微分方程的特征值问题，连续场中的偏微分方程的特征值问题，通过有限差分法的应用，近似地变换成相应的
41、通过有限差分法的应用，近似地变换成相应的离散系统中的离散系统中的代数特征值问题代数特征值问题。 直接法直接法 迭代法迭代法 University of Electronic Science & Technology of China双重迭代法求解场值和特征值(1)( )( )( )(1)(1)( ),1,11,1,214 ()nnnnnnni ji jiji jiji ji jcK h2()cK h的迭代公式的迭代公式 2220tcSSdSKdS22()0tcK 222tScSdSKdS ,1,11,1,22,(4)()i jiji jiji ji ji ji jci ji ji jSK hS
42、University of Electronic Science & Technology of Chinaa ab bc cd d( , )i j1(, )2ij(1, )ij(1, )ij1( ,)2i j ( ,1)i jUniversity of Electronic Science & Technology of China初值选取2()cK hTM：至少一个：至少一个不为不为0TE：不相等：不相等若不能预先估计，可设为若不能预先估计，可设为相当小相当小的值的值 不能任意选取！不能任意选取！University of Electronic Science & Technology o
43、f Chinan其他特性参数的求解n截止频率n与波导尺寸有关 n特征阻抗 2()2ccCK hfh22cVVPZIPIUniversity of Electronic Science & Technology of China特性阻抗nTMnTE22*2201()22cSScKPEHdSdSK Zmaxmaxmin2()cjVK220maxmin2222()cccccSZVZZ ZPKdSK2maxmin,1,11,1,()(4)ci jiji jiji ji ji jZ220222cScZKPdSKm axm axm in2()cjIK2222022maxmin()ccScKdSZKPZI,
44、1, 11, 1,2m axm in(4)()i jiji jiji ji ji ji jcSZ 201 ()ccfZZfUniversity of Electronic Science & Technology of China11TM例、求正方形波导中例、求正方形波导中 的场分布、的场分布、ccfZ和赋初值赋初值边界、内点边界、内点2()cK h迭代迭代5次迭代改进次迭代改进 值值计算计算 的改进值的改进值2()cK h检验收敛否检验收敛否否否是是计算计算 之值之值cf数是否是是否是 max否否11i ijj 计算计算 之值之值cZ数是是University of Electronic S
45、cience & Technology of China有限元（FEM）University of Electronic Science & Technology of China概述n历史n1943 Courant 最早提出思想n20世纪50年代 用于飞机设计n1960 Clough在著作中首先提出名称n19641965年间数学家冯康独立地开创有限元方法并奠定其数学基础n1965 Winslow首次应用于电气工程问题n1969 Silvester推广应用于时谐电磁场问题n应用范围n广泛地被应用于各种结构工程n成功地用来解决其他工程领域中的问题n热传导、渗流、流体力学、空气动力学、土壤力学、机
46、械零件强度分析、电磁工程问题等等University of Electronic Science & Technology of Chinan电磁工程应用及发展n静态场时变场，闭域开域，线性非线性，散射，波导、腔体、传输线 n标量有限元发展到矢量有限元n 高阶矢量有限元n单一方法发展到混合方法 (快速算法)n频域求解发展到时域求解 (区域分解技术)n商用软件：比如HFSS、ANSYS University of Electronic Science & Technology of Chinan有限元思想1n有限元法是函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分析的巧妙结合。从数学上分析，有限元法是R
47、ayleigh-Ritz-Galerkin法的推广。n传统的有限元以变分原理为基础n变分问题就是求泛函极值的问题 n直接解法把变分问题化为普通多元函数求极值的问题Ritz n寻找一组在全域上解析、而又要在边界上满足强加边界条件的基函数n间接解法 变分原理 n变分问题与对应的边值问题等价 University of Electronic Science & Technology of Chinan有限元思想2n有限元法采取了与变分问题间接解法相反的途径,把所要求的微分方程型数学模型边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后利用剖分插值，离散化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最
48、终归结为一组多元的代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。University of Electronic Science & Technology of Chinan有限元思想3n有限元法的核心在于剖分插值，它是将所研究的连续场分割为有限个单元，用比较简单的插值函数来表示每个单元的解，但是它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单元总体合成后再引入边界条件。这样，就有可能对内部和边界上的单元采用同样的插值函数，使方法构造极大地得到简化。University of Electronic Science & Technology of Chinan有限元思想4n由于变分原理的应用，
49、使第二、三类及不同媒质分界面上的边界条件作为自然边界条件在总体合成时将隐含地得到满足，也就是说，自然边界条件将被包含在泛函达到极值的要求之中，不必单独列出，而唯一考虑的仅是强制边界条件（第一类边界条件）的处理，这就进一步简化了方法的构造。University of Electronic Science & Technology of Chinan有限元法主要特点1n离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式，当可保证方法的正确性、数值解的存在
50、与稳定性等前提要素。University of Electronic Science & Technology of Chinan有限元法主要特点2n优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形状以及媒质物理性质变异情况的复杂问题求解上，有突出的优点：不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度。University of Electronic Science & Technology of Chinan有限元法
