1、高等数学微积分上高等数学微积分上(本科本科)全册全册配套精品完整课件配套精品完整课件(二）二）第三节 分部积分法第五章由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式duvx 或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu（一般用于求两种不同类型函数的乘积的积分）（一般用于求两种不同类型函数的乘积的积分）duvuvx 例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cos xu 2()2xxdxddvcosxxdx xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进
2、行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 2cos()2xxd 22coscos22xxxdx 例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx 2xx e dx dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数或幂弦函数或幂函数和指数函数的乘积函数和指数函数的乘积， 就考虑设幂函数为就考虑设幂函数为 ， 使其降幂一
3、次，多次使用可使其次数逐步降低使其降幂一次，多次使用可使其次数逐步降低.u2xx de 22xxx ee dx 例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 222arctan()2xxd 原原式式)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx 4ln()4xxd 原原式式 dxxxx3441ln414411ln416xxxC总结总
4、结 若被积函数是幂函数与对数函数或幂若被积函数是幂函数与对数函数或幂函数与反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数与反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u4411ln(ln )44xxx dx 例例5 5 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则可任意
5、指定若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，则可任意指定 .u,: 在在这这种种情情况况下下 往往往往会会出出现现下下列列关关系系式式 . ) 1 ( d)()(d)(axxfaxxxf, , C此此时时经经移移项项并并在在等等式式右右端端加加任任意意常常数数后后 便便可可得得出出 所所求求的的不不定定积积分分 . )(11d)(Cxaxxf注意注意:在接连几次应用分部积分公式时前后几次所选的在接连几次应用分部积分公式时前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u例例6 6 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx
6、1)cos(ln)sin(lnsin(ln )cos(ln )cos(ln )xxxxxdx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx sin(ln )cos(ln )xxx dx 例例7. 求.darccosxx解解:原式 =arccosxx xxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21xxarccosd(arccos )xx 例8. 求求.dcoscosln2xxx解解: 原式 =tanlncosxxxxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslnt
7、an Cxx tanlncosd(tan )xx tanlncostand(lncos )xxxx 例9. 求求.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令解法一）解法一）: 令,22axu, 1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22例10. 求求. )0(d22axax解法二）解法二）: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasec原式
8、sec d( tan )atat 23secdatt . )0(d22axax22sec tantan d(sec )attatt 222sec tantansec dattattt 222sec tansec1 sec dattattt 2232sec tansecdsec dattattatt2sec d(tan )att 例10. 求求例11. 求求.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu, 1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxan
9、I22221212)(21222)(aaxnaxx)(22说明:递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxanI22221212)(21例12. 证明递推公式证明递推公式)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cos
10、ln例13. 已知已知)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsinCxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2例14. 求求sind(cos )ttetet .d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部令tan ,0,2xt t 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx2
11、11xCexarctand(sin )tet xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法2 用分部积分法用分部积分法xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctan内容小结 分部积分公式xvuvuxvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 :3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为u.v反: 反三角函数对: 对数函数幂:
12、 幂函数指: 指数函数三: 三角函数 dxxf x )( . 求2解：)(xfxd原式dxxfxf x)()(cxfxf x)()(习题1. 求求.d)(ln43xxx 44321333lnlnlnln44832xxxxxC原原式式第二节 换元积分法第五章第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有基本思路 设一、一、第一类换元法第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()
13、(xu)(d)(xxf即xxxfd)()(也称凑微分法凑微分法)(d)(xuuuf例1. 求求).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau则,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当1m时bxaxdCbxaaln122)(1d1axxa例2. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21duuCu arctan)(ax例3. 求求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接凑微分)xxxfd)
14、()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxaxCaxaxaln21例4. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d222d)(2123xax例5. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC常用的几种配元形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)
15、()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例5. 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21( )(9)d( )xxx 1d ( )( )xx ln( )xC 例6. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcosco
16、sdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似例7. 求求.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC例9. 求求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln(ln(1)xxe两法结果一样ln(1)xxxee ln(1)
17、xe xxsin11sin1121例10. 求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sinddsin xxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21xxtansec解法 2 xxdsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin
18、222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx )2cos2cos21 (241xx 例12 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C例例1313 求求解解.2cos3cos xdxx1coscoscos()cos()2ABABAB1(cos5cos )2xx dx 原
19、原式式11sin5sin102xxC11cos5cos22xdxxdxsincosd(,mnxx xm n 对对于于不不定定积积分分为为正正整整数数或或零零) )mn当当 ， 中中至至少少有有一一个个为为奇奇数数时时，mn当当 ， 都都为为偶偶数数时时，利利用用倍倍角角公公式式降降幂幂后后再再积积分分sincosdsinsindcoscosd(,mxnx xmxnx xmxnx xm nmn 对对于于如如下下形形式式的的不不定定积积分分，为为正正整整数数或或零零，) )则则利利用用积积化化和和差差公公式式后后再再积积分分. .例例1111例例1212例例131322sincos1xx利利用用代
20、代换换后后再再积积分分例14. 求求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xx14x 1sin864x 31sin 26x 1sin432x C 22sincos 3xx 或或1cos22x 1cos62x xxexex111 dxxexex(1)dxxex例15. 求求.d)1 (1xexxxx解解: 原式=)1 (1xxxe
21、xe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexed(1)xxe xexlnxex1lnC分析分析: (1)d(1)xxxxexxexe 例16. 求求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数:如(4) 巧妙换元或配元:如等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos21
22、2xxxxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如(sin )cos d(sin )dsinfxx xfxx (cos )sin d(cos )dcosfxx xfxx 思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxd(4)4xx 21222d( )1( )xx 2122d(4)4xx 241d4xx 411122xx xd2d(2)4(2)xx xxxd) 1(1102. 求求.) 1(d10 xxx提示
23、提示:法法1法法2 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx10d x10110(x二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()( )df uu )(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则用第二类换元法 .难求，( )df uu 第二类换元法常用于被积函数含有根式的常用于被积函数含有根式的不定积分，引入适当的代换去掉根号不定积分，引入适当的代换去掉根号.CxF)()()()(ttft定理2 . 设设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txx
24、t证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令 )()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式例1. 求求. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttaxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa2221cos2d2tat 例2. 求求. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tana
25、taaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttln 22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C 例3. 求求. )0(d22aaxx解解:令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCtt1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有
26、一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 说明说明(2)(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sinh 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中, 令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（
27、或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例4 4 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令, 122 tx,tdtxdx 原原式式 221ttdtt dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解（根式代换）（根式代换）例例5 5 求求解解.11dxex xet 1令令, 12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx说明说明(4)(4)当分母中因子
28、次数较高时当分母中因子次数较高时, 可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例6 6 求求dxxx )2(17令令tx1 ,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解例例7 7 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1 ,12dttdx dxttt 22411111dttt 231222121dttt 2tu 0t duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 21) 1(22ta221a例8. 求求.d422xxxa解
29、解: 令,1tx 则txtdd21原式ttd12122 2(1)da ttt 0t 42112tta Cata2223) 1(23Cxaxa32223)(23) 1(d22taxxdtan)16(xxdcot)17(xxdsec)18(xxdcsc)19(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln2. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充小结1.两类换元积分法两类换元积分法： （一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换xxad1)20(22xxad1)22(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22
30、Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln.32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC例1. 求求例例2. 求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln2122211darctanxxCaxaa 22221dln()xxxaCxa 例3. 求求.1d2xxx解解: 原式 =22)()()(d21x2521xCx512arcsin例例4. 求.1d2xex解解: 原式xxee21dCexarcsin221darcsinxxCaax 例5. 求求
31、.d222 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222 0t ttttd)1(12132例6. 求求.2) 1(d23xxxx解解: 原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22 0t 思考与练习1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt12. 已知已知,1d)(25Cxxx
32、fx求.d)(xxf解解: 两边求导, 得)(5xfx,12xx则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原变量代回原变量) 或三角代换xxxd11) 132 1. 求下列积分求下列积分:) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin52. 求不定积分解：解：利用凑微分法 ,原式 =2d(1sin)x 令21s
33、intx2t 2arctantC 2221sinarctan 1sinxxC得222sincos1sind2sinxxxxx 221sin2sinxx 222d1ttt 212 (1)d1tt 分子分母同除以3.求不定积分解解: 令sin ,xt ,sin1122txttxdcosd 原式2cosd(1sin)costttt ttdsin1122cos ttttandtan2112tttand)tan2(112212Ct )tan2arctan(21212arctan21xCx ttttdtansecsec222221d .(1) 1xxx 第一节 定积分的概念第六章二、定积分的定义三、定积分
34、存在定理四、定积分的几何意义一、问题的提出abxyo? A曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似代替曲边梯形面积用矩形面积近似代替曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，0121 , 1,nna bnaxxxxxb （1 1）分分割割：在在区区间间
35、内内插插入入个个分分点点，abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间1,iiixx （2 2）近近似似代代替替：在在每每个个小小区区间间上上任任取取一一点点，iiixfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为(3)求和：求和：(4
36、)取极限：取极限：实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分
37、割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（3）求和）求和iinitvs )(1 （4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）近似代替）近似代替设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，在在,ba中任意插入中任意插入bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一点一点i （iix ），），作作
38、乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定积分的定义定义定义1,iiixx 怎怎样样划划分分，也也不不论论在在小小区区间间上上点点 如如何何选选取取 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量 , a b 称称为为积积分分区区间间只只要要当当0 时时，和和S总趋于总趋于我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注意：注意：(2) 定积分定积分 表示的是一个常数表示的是一个常数, 它只与被积函
39、它只与被积函数及积分区间数及积分区间a, b有关有关, 而与积分变量的记号无关而与积分变量的记号无关, 即即badxxf)(bababaduufdttfdxxf)()()(1)定积分是一个积分和的极限定积分是一个积分和的极限, , 它与不定积分有着它与不定积分有着本质的区别本质的区别. .(3) 定义中实际上假定了定义中实际上假定了ab, 为了需要规定为了需要规定:aaabbaf(x)dxdxxfdxxf)( ; 0)(i （5 5）在在定定积积分分的的定定义义中中，极极限限值值的的存存在在与与划划分分区区间间的的方方式式无无关关，也也与与子子区区间间上上点点 的的取取法法无无关关. .1,(
40、 )0,xD xx 为为有有理理数数例例：狄狄利利克克雷雷函函数数为为无无理理数数 ( ),if xa b 因因此此，如如果果由由于于对对区区间间的的划划分分不不同同或或子子区区间间上上 的的取取法法不不同同而而导导致致所所得得积积分分和和的的极极限限不不同同或或极极限限不不存存在在，则则在在上上不不可可积积. . ( ),baibaf xa bf(x)dxf(x)dx （6 6）若若已已确确定定在在上上可可积积，则则的的值值与与区区间间的的划划分分及及 的的取取法法无无关关，因因此此可可以以选选定定某某一一特特殊殊的的划划分分和和取取法法来来计计算算. . , a b在在任任何何有有限限区区
41、间间上上都都不不可可积积. .( ) , , ( ) , f xa bf xa b若若函函数数在在上上可可积积则则在在上上有有界界. .三、定积分存在定理但但有有界界函函数数不不一一定定可可积积，例例如如狄狄利利克克雷雷函函数数. .无无界界函函数数一一定定不不可可积积. .对于有界函数来说有：对于有界函数来说有： ( ) , , ( ) , f xa bf xa b若若在在上上连连续续则则在在上上可可积积. .( ) , ( ) , f xa bf xa b若若在在上上只只有有有有限限个个第第一一类类间间断断点点，则则在在上上可可积积. . ( ) , , ( ) , f xa bf xa
42、b若若在在上上单单调调则则在在上上可可积积. ., 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义由定积分定义与曲边梯形面积问题的讨论可知( )( ),baf x dxxf xxaxbxx 是是介介于于轴轴、函函数数的的图图形形及及两两条条直直线线之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代数数和和在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在轴轴下下方方的的面面积积取取负负号号ab例1120.x dx 假假定定定定积积分分存存在在，试试用
43、用定定积积分分定定义义求求其其积积分分值值解解将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1 )小区间小区间,1iixx 的长度的长度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 21niiixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn n0 dxx 102iinix 210lim 13 ?0n31(1)(21)lim6nn nnn121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:ninnin111li
44、m) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni说明:, ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(. 1xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: abxoyix1ix(左矩形公式)(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(. 2xyxyxyn21(矩形法)baxxfd)(. 3xyyii211)()(21110nnyyyyna
45、b( (梯形公式梯形公式) )11ni为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, abxoyix1ix现已有很多现成的数学软件可供调用.五、小结定积分的实质定积分的实质：和式的极限：和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限解：解：原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1.sin10 xdxix i 思考题将和式极限表示成积分将和式极限表示成积分 nnn
46、nnn)1(sin2sinsin1lim10sin x dx 证明证明nnnnfnfnf 21lim nnnnfnfnfe21limlnnnnnfnfnf 21lim试证试证.10)(ln dxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得 nifnnine1ln1limnnifnine1lnlim1 指指数数上上可可理理解解为为：)(lnxf在在1 , 0区区间间上上的的一一个个积积分分和和分分割割是是将将1 , 0n等等分分分点为分点为nixi ，（ni, 2 , 1 ） nnnnfnfnfe21lnlim极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得nnifnin1lnlim1 10)(lnd
47、xxf故故nnnnfnfnf 21lim10ln( )f x dxe 因为因为)(xf在区间在区间1 , 0上连续，且上连续，且0)( xf所所以以)(lnxf在在1 , 0上上有有意意义义且且可可积积 ,第二节 定积分的性质第六章 在下面的性质中，假定定积分都存在在下面的性质中，假定定积分都存在.01( )lim()nbiiaif x dxfx 12max,nxxx 说明说明证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxx
48、g)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1（线性性质）（线性性质）证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2 ( )( )bbaakf x dxkf x dxk 为为常常数数该性质从几何上看是比较明显的，如当ac1 时收敛 ; p1 时发散 .,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . )0( a二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分00( )( )f xxx
49、f x若若函函数数在在点点 的的任任一一邻邻域域内内都都无无界界，则则点点称称为为函函数数的的瑕瑕点点或或奇奇点点. .定义： 设设( )( , ,f xC a b a 为为奇奇点点，0,ab若若且且xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛 ;若上述极限不存在,就称发散 .0lim( )dbaf xx 极极限限存存在在则称此极限为无界函数则称此极限为无界函数 f (x) 在区间（在区间（a , b 上的反常上的反常积分积分, 简称无界函数的积分或瑕积分，记作简称无界函数的积分或瑕积分，记作xxfbad)(若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: ( )
50、,( )f xa ccbcf x若若函函数数在在区区间间， ，内内连连续续 且且 为为的的瑕瑕点点，xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(0lim( )dcaf xx 0lim( )dbcf xx 例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义类似地 , 若( ) , ),( )f xC a bbf x 且且 为为的的瑕瑕点点，xxfxxfbabad)(limd)(0则定义等式右端只要有一个极限不存在，就称( )dbaf xx 发散 .,)()(的原函数是设xfxF的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()(
