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1、高等数学重积分高等数学重积分(本科本科)全册全册配套精品完整课件配套精品完整课件柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出解法解法: : 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想: :给定曲顶柱体给定曲顶柱体: :0),(yxfz底底: :xOyxOy 面上的闭区域面上的闭区域D D顶顶: :连续曲面连续曲面侧面侧面: :以以D D 的边界为准线的边界为准线, ,母线平行于母线平行于z z轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积. .“大化小大化小, ,常代变常代变, ,近似和近似和

2、, ,求极限求极限” ” D),(yxfz D),(yxfz 1)“1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D D为为n n个区域个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为n n个个2)“2)“常代变常代变”在每个在每个k, ),(kk3)“3)“近似和近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kk4)“4)“取极限取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk 设设有有

3、一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo二、二重积分的概念二、二重积分的概念如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时 ， 这这

4、和和 式式 的的 极极 限限 存存 在在 ， 则则 称称 此此 极极 限限 为为 函函 数数),(yxf在在闭闭区区域域 D D 上上的的二二重重积积分分，记记为为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的任意的.(2)当当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在的极限必存在，即二重积分必存在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积

5、当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积元素为则面积元素为( , )dDVf x y曲顶柱体体积曲顶柱体体积: :( , )dDMx y平面薄板的质量平面薄板的质量: :( , )d dDf x yxy( , )d dDx yxy性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质

6、 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面

7、积积，则则性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D

8、内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D例例4.4.设设D D 是第二象限的一个有界闭域是第二象限的一个有界闭域, ,且且00y y 1,1,则则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为的大小顺序为 ( )( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示提示: :因因00y y 1,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100

9、)94(3622dyx. .练习题答案练习题答案 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和

10、分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy ( , )( , )( , )0Df x y dDzf x yf x y的值等于以为底，以曲面为曲顶的曲顶柱体的体积（）应用计算应用计算“平

11、行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法,zyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得abx.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的

12、直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 注：注：积分区域既是积分区域既是X-型也是型也是Y-型，也可表示成先对型，也可表示成先对x后对后对y次序的二次积分。次序的二次积分。 dyey2无法用初等函数表示无法用初

13、等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy

14、22yaax a2aa2a例例6. 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积的直交圆柱面所围的体积.解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为228DVRx dxdy220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRROxyo11提示：虽然积分区域为全平面，但只有当01,01xyx时，被积函数才不为零，因此只需要在满足此不等式的区域内积分即可二重

15、积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）二、小结二、小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型思考题思考题思考题解答思考题解答1D2Dxyo1120011( )( ).22f x dxf y dyA1110( ) ( )( ) ( )xDIdxf x f y dyf x f y dxdy又1( ) ( )2Df x f y dxdy1D2Dxyo121( ) ( )( ) ( )2DDIf x f y dxdyf x f y

16、 dxdy故练练 习习 题题 4 4、将二重积分、将二重积分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直线是由直线 2, xxy及双曲线及双曲线)0(1 xxy所围成的闭区所围成的闭区 域域, ,化为先对化为先对x后对后对y的二次积分的二次积分, ,应为应为 _. _. 5 5、将将二二次次积积分分 22221),(xxxdyyxfdx改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、将将二二次次积积分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_

17、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 7 7、将将二二次次积积分分 2ln1),(2yedxyxfdy 2)1(2112),(ydxyxfdy改改换换积积分分次次序序, , 应应为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、画出积分区域二、画出积分区域, ,并计算下列二重积分并计算下列二重积分: : 1 1、 Dyxde , ,其中其中D是由是由1 yx所确定的闭区域所确定的闭区域. . 2 2、 Ddxyx )(22其中其中D是由直线是由直线 xyx

18、yy2, 2 及及所围成的闭区域所围成的闭区域. . 3 3、 xDdyyxxydxdyxf020)(2(cos),( 。4 4、,2 Ddxdyxy其中其中D: : 20 , 11 yx. .三、设平面薄片所占的闭区域三、设平面薄片所占的闭区域D由直线由直线, 2 yxxy 和和x轴所围成轴所围成, ,它的面密度它的面密度22),(yxyx , ,求该求该薄片的质量薄片的质量 . .四、四、 求由曲面求由曲面222yxz 及及2226yxz , ,所围成的所围成的立体的体积立体的体积 . .一、一、1 1、1 1； 2 2、23 ；3 3、 220),(xrrrdyyxfdx；4 4、 22

19、121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5 5、 211210),(yydxyxfdy；6 6、 yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),( ； 7 7、 21120),(xexdyyxfdx. .练习题答案练习题答案二、二、1 1、1 ee； 2 2、613； 3 3、 ； 4 4、235 . .三、三、34. .四、四、 6. .oDrrr2211()22rdrdrd21()2rdrddrd212drddr d当与均充分小时，略去高阶项 （ ）,drdrd.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利

20、用极坐标系计算二重积分一、利用极坐标系计算二重积分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）1)极点极点O在积分区域在积分区域D的外部的外部 区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）, ).(0

21、 r Drdrdrrf )sin,cos(2)极点极点O在积分区域在积分区域D的边界上的边界上 区域特征如图区域特征如图 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）).(0 rDoA)(r,2 03)极点极点O在积分区域在积分区域D的内部的内部 区域特征如图区域特征如图例例1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标二二次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122

22、 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 2ex的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于坐标计算坐标计算.例例3 3 求求广广义义积积分分 02dxex.解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS

23、显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 例例 4 4 计算计算dxdyyxD)(22 ，

24、其，其 D为由圆为由圆yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ，03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域.解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy例例 5 5 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD.解解由对称性，可只考虑第一象限部分由对称性，可只考虑第一象限部分， 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. Ddxdyyxyx2222)sin(4 1222

25、2)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D例例 6 6 求曲线求曲线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a例例7.7.求球体求球体22224azyx被圆柱面被圆柱面xayx222)0( a所截得的所截得的( (含在

26、柱面内的含在柱面内的) )立体的体积立体的体积. . 解解: : 设设由对称性可知由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O( , ), ( , ),max ( , ), ( , ),min ( , ), ( , ),sgn ( , )( , )DDDDDf x y df x y df x y g x ydf x y g x ydf x yg x yd等的被积函数均应当做分段（分区域）函数看待，利用积分的可加性分区域进行。注：形如积分注：形如积分二重积分在

27、极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二、小结二、小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题,cos022: arDoxy思考题解答思考题解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 一、一、 填空题填空题: :1 1、 将将 Ddxdyyxf),

28、(, ,D为为xyx222 , ,表示为极坐表示为极坐标形式的二次积分标形式的二次积分, ,为为_._.2 2、 将将 Ddxdyyxf),(, ,D为为xy 10, ,10 x, ,表表示为极坐标形式的二次积分为示为极坐标形式的二次积分为_._.3 3、 将将 xxdyyxfdx32220)(化为极坐标形式的二化为极坐标形式的二次积分为次积分为_._.4 4、 将将 2010),(xdyyxfdx化为极坐标形式的二次积分化为极坐标形式的二次积分为为_._.练练 习习 题题5 5、 将将 xxdyyxdx221)(2210化为极坐标形式的二次积化为极坐标形式的二次积分为分为_,_,其值为其值为

29、_._.二、二、 计算下列二重积分计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圆周是由圆周122 yx 及坐标轴所围成的在第一象限内的区域及坐标轴所围成的在第一象限内的区域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直线是由直线xy , , )0(3, aayayaxy所围成的区域所围成的区域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圆周是由圆周 Rxyx 22所围成的区域所围成的区域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .三、试将对极坐标的二次积分三、试将对极坐标的二次积分 cos2044)sin,cos

30、(ardrrrfdI交换积分次序交换积分次序. .四、设平面薄片所占的闭区域四、设平面薄片所占的闭区域D是由螺线是由螺线 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )与直线与直线2 所围成所围成, ,它的面密度为它的面密度为22),(yxyx , ,求这薄片的质量求这薄片的质量. .五、五、 计算以计算以xoy面上的圆周面上的圆周axyx 22围成的闭区域为围成的闭区域为底，而以曲面底，而以曲面22yxz 为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积. .一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、

31、sec2034)(rdrrfd；4 4、 sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a；练习题答案练习题答案 3 3、)34(33 R； 4 4、 25. .三、三、 4420)sin,cos(drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(. .四、四、405 . .五、五、4323a . .一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到二重积分的应用中把定积分的元素法推广到二重积分的应用中. . d d dyxf)

32、,( dyxf),(),(yx 若要计算的某个量若要计算的某个量U对于闭区域对于闭区域D具有可加性具有可加性(即当闭区域即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量分成许多小闭区域时，所求量U相应相应地分成许多部分量，且地分成许多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并且，并且在闭区域在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域内任取一个直径很小的闭区域 时，时，相应地部分量可近似地表示为相应地部分量可近似地表示为 的形式的形式,其中其中 在在 内这个内这个 称为所求量称为所求量U的的元素元素，记为，记为 ，所求量的积分表达式为所求量的积分表达式为 DdyxfU ),(dU设曲面的方程为：设曲面的方程

33、为：),(yxfz ,Dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,Dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o 二、曲面的面积二、曲面的面积,面上的投影面上的投影在在为为xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyAxy

34、Dyzxz 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为： .122dzdxAzxDxyzy 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求球面求球面2222azyx ，含在圆柱体，含在圆柱体axyx 22内部的那部分面积内部的那部分面积.由由对对称称性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面积积dxdyzzADyx 12214 12224Dd

35、xdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所围立体的表面积所围立体的表面积.解解解方程组解方程组,22222 yxazazyx得两曲面的交线为圆周得两曲面的交线为圆周,222 azayx在在 平面上的投影域为平面上的投影域为xy,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204

36、122 a ).15526(62 a),(yx三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为当薄片是均匀的，重心称为形心形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法例例 3 3 设平面薄板由设平面薄板由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴围成，它的面密度轴围成，它的面密度1 ，求形心坐标，求形心坐标解解先求区域先求区域 D的面积的面积 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta

37、.32a Da 2a )(xy,1 DxdAx .1 DydAy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所求形心坐标为所求形心坐标为 ),(65 a.由于区域关于直线由于区域关于直线ax 对称对称 ，,1 DxdAx .1 DydAy 四、平面薄片的转动惯量四、平面薄片的转动惯量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 22() ( , ).oDIxyx y d例例 4 4 设设一一均均匀匀的的直直角角三三角角形形薄薄板板，两两直直角角边边长长分分别别 为为

38、a、b，求求这这三三角角形形对对其其中中任任一一直直角角边边的的转转动动惯惯量量.解解aboyx,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同理：对同理：对x轴的转动惯量为轴的转动惯量为dxdyyIDx 2 .1213 ab oyx,2dxdyxIDy bxayabab解解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2hy .hb将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴轴的的转转动动惯惯量量

39、DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴的转动惯量轴的转动惯量 DvdudvuI2 .123 hb 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力z,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 为引力常数为引力常数f五、平面薄片对质点的引力五、平面薄片对质点的引力解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023

40、)(1.11222 aaRfa所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRfa几何应用：曲面的面积几何应用：曲面的面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点的引力对质点的引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结思考题思考题.)0(cos,cos之间的均匀薄片的重心之间的均匀薄片的重心求位于两圆求位于两圆babrar ab xyo薄片关于薄片关于 轴对称轴对称x, 0 y则则cos20cos2cosbadrrdrA338224()()baba.)(222ababab 思考题解答思考题解答,1 DxdAx .1 DydAy 1Dx

41、xdA练练 习习 题题五、求面密度为常量五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片的匀质半圆环形薄片: : 0,222221 zyRxyR对位于对位于z轴上点轴上点 )0)(, 0 , 0(0 aaM处单位质量的质点的引力处单位质量的质点的引力F. .六、 设由六、 设由exoyxy 及及,ln所围的均匀薄板所围的均匀薄板( (密度密度1),1), 求此薄板绕哪一条垂直于求此薄板绕哪一条垂直于x轴的直线旋转时转动惯轴的直线旋转时转动惯 量最小量最小? ?一、一、 2. .二、二、)0 ,)(2(22bababa . .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、 ),(l

42、n22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(, 0221222aRaRfa练习题答案练习题答案一、三重积分的定义一、三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次

43、积分1.先单后重（先一后二）先单后重（先一后二）二、三重积分的计算二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(

44、),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 其中其中 为三个坐标为三个坐标例例1. 1. 计算三重积分计算三重积分d d dx x y z12zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 . .120d ddxyDxxyzxdz dxdy )1(01021d)21 (dxyyxxxyxz21

45、0d1032d)2(41xxxx )1(021dxy10d xx481面及平面面及平面解解:(:(先单后重先单后重) )1xyz121OD1xy121(1)2yx x( , )x y解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI21( , )( , )( , , ).zx yzx yDf x y z dz d ( , , )f x y z dv22222( , , ).xxyDf x y z dz dxdy 22:1,Dxy其中D x 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11,

46、 1,0:222 xyxyxz如图，如图，xyz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原式原式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2Dz直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分2.先重后单（截面法或称先二后一）先重后单（截面法或称先二后一）解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241 .xozy111z zD zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21d

47、zzz241 .xozy111 10yzy zDzdx dydz ( , )y zyzD: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解z)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式解解如图如图,22:1xozxzxzxz将 投影到平面得D先对y积分再求D 上的二重积分dzzxxdxxx21221111222 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 221

48、211xzxzDyx dy dxdz 原式三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结思考题思考题选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdyd

49、zzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成, ,则三重积则三重积 分分 dvzyxf

50、),(可化为：可化为：(1)(1) 次序为次序为xyz的三次积分的三次积分_._.(2)(2)次序为次序为zxy的三次积分的三次积分_._. (3) (3)次序为次序为yzx的三次积分的三次积分_._.二、计算二、计算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,与平与平 面面01, zxxy和和所围成的闭区域所围成的闭区域 . .三、计算三、计算 xzdxdydz, ,其中其中 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域. .四、计算四、计算 dvyx221, ,其中其中 是由六个顶点是由六个顶点 ),0 , 0