1、第 2 章 连续时间系统的时域分析 2.6.1 卷积的定义卷积的定义 设设f1(t)和和f2(t)是定义在是定义在(-，)区间上的两个连续时间信区间上的两个连续时间信号，我们将积分号，我们将积分 dtff)()(21定义为定义为f1(t)和和f2(t)的卷积的卷积 (Convolution)， 简记为简记为 )()(21tftf2.6卷积积分卷积积分)()(21tftf或或(2-18)第 2 章 连续时间系统的时域分析 即 dtfftftf)()()()(2121 式中，为虚设积分变量， 积分的结果为另一个新的时间信号。 这里的积分限取-和+，这是由于对f1(t)和f2(t)的作用时间范围没有
2、加以限制。实际由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，其积分限会有变化，这一点借助卷积的图形解释可以看得很清楚。 可以说卷积积分中积分限的确定是非常关建的，务请在运算中注意！(2-19)第 2 章 连续时间系统的时域分析 前面讲的公式表示了卷积积分的物理意义：dthetr)()()(卷积方法的原理 就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应h(t)，求解系统对任意激励信号的零状态响应。第 2 章 连续时间系统的时域分析 2.6.2 卷积的图解机理卷积的图解机理 信号信号f1(t)与与f2(t)的卷积运算可通过以下几个的卷积运算可通过以下几个步骤步骤来完成：来完成： 第一步第一步，画出
3、，画出f1(t)与与f2(t)波形，将波形图中的波形，将波形图中的t轴改换成轴改换成轴，轴，分别得到分别得到f1( )和和f2( )的波形。的波形。 第二步第二步，将，将f2()波形以纵轴为中心轴翻转波形以纵轴为中心轴翻转180180，得到，得到f2(-)波形。波形。 第三步第三步，给定一个，给定一个t值，将值，将f2(-)波形沿波形沿轴平移轴平移|t|。在在t0时，波形往右移。时，波形往右移。这样就得到了这样就得到了f2(t-)的波的波形。形。 dtfftftf)()()()(2121第 2 章 连续时间系统的时域分析 第四步第四步，将，将f1()和和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积
4、相乘，得到卷积积分式中的被积函数函数f1()f2(t-)。 第五步第五步，计算乘积信号，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与波形与轴之间轴之间包含的包含的净面积净面积，便是卷积在，便是卷积在t时刻的值。时刻的值。 第六步第六步，令变量，令变量t在在(-，)范围内变化，重复第三、四、范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。 dtfftftf)()()()(2121第 2 章 连续时间系统的时域分析 记住过程！记住过程！卷积信号卷积信号f f1 1( (t t) )* *f f2 2( (t t) )动画动画第 2 章 连续时间系统的
5、时域分析 例例 2.9 给定信号给定信号 )()()3()()(21tuetftututft求(t)=f1(t)*f2(t)。 01234tf1(t)otf2(t)11(a)(b)图图2-5 f2-5 f1 1(t)(t)和和f f2 2(t)(t)波形波形第 2 章 连续时间系统的时域分析 图 2.2 2 卷积的图解表示 图图2-6 2-6 卷积的图解表示卷积的图解表示第 2 章 连续时间系统的时域分析 当当t0时时，f2(t-)波形如图波形如图2-6(c)所示，对任一所示，对任一，乘积，乘积f1()f2(t-)恒为零，故恒为零，故y(t)=0。 当当0t33时，时，f f2 2( (t t
6、-)-)波形如图波形如图2-6(e)2-6(e)所示，此时，仅在所示，此时，仅在0303范围内，乘积范围内，乘积f f1 1( () )f f2 2( (t t- -) ) 不为零，故有不为零，故有 dtfftftfty)()()()()(2121) 1(33030)(eedeedettt 从以上图解分析可以看出，卷积中积分限的确定取决于两个图形交叠部分的范围。 卷积结果所占有的时宽等于两个函数各时宽的总和。第 2 章 连续时间系统的时域分析 课堂作业1、请按图解法具体步骤求如下两函数的卷积0t)(1tf1-110t)(2tf1122121第 2 章 连续时间系统的时域分析 01-110112
7、21)(1f)(2f0)(2f-12211)(2tf01-11)(1f1t21t221 “置换” “反褶” “平移”1参考过程图)(2tf1-1)(1f1t21t012)(2tf01-11)(1f1t21t2)(2tf01-11)(1f1t21t2)(2tf1-1)(1f1t21t0120.50.50.50.5 “平移”2 “平移”3 “平移”4 “平移”5 第 2 章 连续时间系统的时域分析 解：解：时：、当231t0)()(21tftf时：、当0232tdtftft21121)2121(2)()(dt211) 1(2112)21(t8923212tt第 2 章 连续时间系统的时域分析 时：
8、、当2103 tdtftftt21121)2121(2)()(dtt211) 1(8923)21(2112ttt时：、当2214 tdtftft1121)2121(2)()(dtt211) 1(221)21(2112tt第 2 章 连续时间系统的时域分析 0t)(ty223-12189815卷积结果图卷积结果图时：、当25t0)()(21tftf第 2 章 连续时间系统的时域分析 性质性质1 1： 卷积代数卷积代数 卷积运算满足三个基本代数运算律，即卷积运算满足三个基本代数运算律，即)()()()(1221tftftftf交换律交换律把积分变量把积分变量改换为改换为(t-)，即可证明此定律。，
9、即可证明此定律。(2-20)2. 卷积性质卷积性质第 2 章 连续时间系统的时域分析 )()()()()()(321321tftftftftftf结合律结合律 h2(t) r(t) h1(t) e(t)级联：级联： )(21ththtetr 结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，结合律用于系统分析，相当于串联系统的冲激响应，等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积，如图所示。等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积，如图所示。(2-21) 21ththth第 2 章 连续时间系统的时域分析 分配律分配律 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf 分配律用于
10、系统分析，相当于并联系统的冲激响应，分配律用于系统分析，相当于并联系统的冲激响应，等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和，如图所示。等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和，如图所示。 21ththth h1(t) e(t) h2(t) r(t)并联：并联：(2-22) )(21ththtetr第 2 章 连续时间系统的时域分析 性质性质2 ： f(t)与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积(1) (1) 信号信号f(t)与冲激信号与冲激信号(t)的卷积等于的卷积等于f(t)本身本身 )()()(tfttf(2-23)证明：证明：根据卷积的定义和根据卷积的定义和(t)的取样特性，可得的取样特性，可得(
11、 )( )() ( )( )( )( )tf tf tdf tdf t 故（故（2-23）式成立。）式成立。作为特例，当作为特例，当 f(t)= (t)时时)()()(ttt(2-24)(2-25)=f(t-0)第 2 章 连续时间系统的时域分析 (3) (3) 信号信号f f( (t t) )与阶跃信号与阶跃信号u u( (t t) )的卷积等于信号的卷积等于信号f f( (t t) )的积分的积分(2-27)()()()1(tftutf证明：证明：根据卷积定义有dtuftutf)()()()(所以，所以，2-27成立。成立。dft)()()1(tf确定积分确定积分限限)()()(tfttf
12、(2-26)(2) (2) 信号信号f f( (t t) )与冲激偶与冲激偶(t t) )的卷积等于的卷积等于f f( (t t) )的导函数的导函数 第 2 章 连续时间系统的时域分析 性质性质3 卷积的微分和积分卷积的微分和积分 证证 由（由（2-262-26）式和结合律可得：）式和结合律可得：冲击偶冲击偶与函数与函数的卷积的卷积性质性质第 2 章 连续时间系统的时域分析 (2) 应用式应用式(2-27)及卷积运算的结合律，及卷积运算的结合律， 可得可得 )()()()()()()()( )()()()1(21212121)1(fftufftuffdfftyt同理可证同理可证)()()(2
13、)1(1)1(tftfty单位阶跃函单位阶跃函数卷积性质数卷积性质第 2 章 连续时间系统的时域分析 (3) 因为 根据积分性根据积分性第 2 章 连续时间系统的时域分析 同理，可将同理，可将f2(t)表示为表示为 )()()(222fdddftft并进一步得到并进一步得到 dttfftftftftf)()()()()()(12)1(2)1(121当当f f1 1( (t t) )和和f f2 2( (t t) )满足满足 0)()()()(1221dttffdttff时命题成立。正整数时为导数的正整数时为导数的阶次，取负整数时阶次，取负整数时为重积分的次数。为重积分的次数。第 2 章 连续时
14、间系统的时域分析 这个条件。要注意微分的函数，利用微积分性质时，被的条件为：成立0)(lim0)(lim)()(tftftfdddfttt第 2 章 连续时间系统的时域分析 对函数进行对函数进行k k次微积分的情况：次微积分的情况： )()()()()()(212)(1)(tftftftftykkk)()()()()()(212)(1)(tftftftftykkk)()()()()()2(2)(1)(2)2(1)(2tftftftftykkkkk使用这些公式时，同样要求满足条件：使用这些公式时，同样要求满足条件：0)()()1(2)1(1dttffkk0)()()1(1)1(2dttffkk第
15、 2 章 连续时间系统的时域分析 性质性质4 4 卷积时移卷积时移 则若),()()(21tytftfdxtxtfxfttftf)()()()(021021)()()()()(0201021ttytfttfttftf为实常数。式中，0t证：按卷积的定义证：按卷积的定义则上式可写成令,0tx)()()()()()(201201021tfttfdtftfttftf000)()()()()()(12210ttttttttttftftftftytty)()()()(201012tfttfdttff第 2 章 连续时间系统的时域分析 由卷积时移性质还可进一步得到如下推论由卷积时移性质还可进一步得到如下推
16、论： 若若f f1 1( (t t) )* *f f2 2( (t t)=)=y y( (t t) )， 则则 )()()(212211tttyttfttf式中，式中，t t1 1和和t t2 2为实常数。为实常数。 (2-28)第 2 章 连续时间系统的时域分析 卷积性质一览表卷积性质一览表第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-112-11 计算常数计算常数K K与信号与信号f f( (t t) )的卷积积分。的卷积积分。 解解 直接按卷积定义，直接按卷积定义， 可得可得 )()()()(波形的净面积tfKdKfKtftfK 常数常数K K与任意信号与任意信号f(t)f(t)的卷积值
17、等于该信号波形净面积的卷积值等于该信号波形净面积值的值的K K倍。倍。 如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致错误！如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致错误！ dfKdtdtfKt)()(第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-122-12 计算下列卷积积分 )()()(3)2() 1()2()2() 1() 1 (0tttftytuttututu）（第 2 章 连续时间系统的时域分析 解解 (1) 先计算先计算u(t)*u(t)。因为。因为u(-)=0，故可应用卷积运算，故可应用卷积运算的微积分性质求得的微积分性质求得 tdttdudututu)()()()(tttutdu0
18、)()()(1)()()2() 1(tttutututu) 1() 1()(1tutttutt然后，利用时移性可得然后，利用时移性可得应用时移应用时移性推论性推论第 2 章 连续时间系统的时域分析 (2) 利用卷积运算的利用卷积运算的分配律和时移性质分配律和时移性质， 可将给定的可将给定的卷积计算式表示为卷积计算式表示为 )2()1() 1() 1()2() 1( ttuttutttu)2() 1() 1()2() 1( ttutttu3)()()()( tttttuttu 考虑到考虑到u(t)和和tu(t)均为因果信号，满足卷积运算微分性均为因果信号，满足卷积运算微分性质条件，故可利用此性质
19、。质条件，故可利用此性质。注意正注意正确时移确时移第 2 章 连续时间系统的时域分析 )()()()()()()(tttttuttu )()()()()()()(ttttutttudtdtttu )()()()()(tttuttu3)()()2() 1( tttttttu) 3() 3(tt=0第 2 章 连续时间系统的时域分析 (3) 根据奇异函数卷积性质根据奇异函数卷积性质 )()()(tfttf因此，可直接利用卷积时移性质得到因此，可直接利用卷积时移性质得到 )()()()()()(000ttfttftttftyttt第 2 章 连续时间系统的时域分析 例图 2-12(3)A11f (t
20、)t01(1)tot0A(1)tot0t01t01(t t0)(t t0)f (t)*第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-132-13 图图2-7(2-7(a a) )所示为所示为门函数门函数，在电子技，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号术中常称矩形脉冲，用符号g g( (t t) )表示，其幅度为表示，其幅度为1 1，宽度为宽度为，求卷积积分，求卷积积分g g( (t t) )* *g g( (t t) )。 解：方法一解：方法一 图解法图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转轴翻转180180后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，后与原波形重
21、叠，图中用虚线表示。注意，t t=0=0时，时，门函数左边沿位于门函数左边沿位于x x=-=-/2/2位置，右边沿位于位置，右边沿位于x x= =/2/2位置，如位置，如图图2-7(2-7(b b) )所示。在任一所示。在任一t t时刻，移动门函数左边沿位于时刻，移动门函数左边沿位于x x=t-=t-/2/2位置，位置， 右边沿则位于右边沿则位于x x= =t t+ +/2/2位置，如图位置，如图2-7(2-7(c c) )所示。所示。按照图按照图2-72-7中卷积过程的图解表示，可计算求得：中卷积过程的图解表示，可计算求得： 第 2 章 连续时间系统的时域分析 图 2-7 例2-13方法一图
22、 22ot1g (t)22ox1g ( x) g (x)22ox1 12t2tg (t x)(t0)g (t x)(t0)(b) t 0(c) t0 , t 022to12t2ox1tg (t)g (t)*(d) t 0(e) 0 t(f )ox(a)第 2 章 连续时间系统的时域分析 时：和当tt时：当0t时：当 t0整理后写成tttttttgtg00,0)()(0)()(tgtgtdxtgtgt22) 11 ()()(tdxtgtgt22) 11 ()()(第 2 章 连续时间系统的时域分析 方法二方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质， 可得 (1)( 1)( 1)( 1)( 1)( 1
23、)( )( )( )( )( )22( )22022g tg tgtgtdu tu tgtdtttgtgtgttttttt00,根据冲激函根据冲激函数卷积性质数卷积性质第 2 章 连续时间系统的时域分析 图图 28 例例2-13方法二图方法二图 ot1g (t)ot1g (t)22og (t)(1)t22otg (t)( 1)otottg (t)g (t)*(1)(1)o2)1(tg2)1(tg第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-142-14 求图求图2-92-9所示的两个函数的卷积所示的两个函数的卷积e(t)h(t)0021112tt110211t1)(tedtd(1)(-1)01
24、2t1dhtht)()()1(a)(b)第 2 章 连续时间系统的时域分析 012t1)()()1(thtedtd21)21()1(th)21()1(th-1012t)()(thte161516932321图图2-9 利用卷积性质简化运算利用卷积性质简化运算(c)(d)第 2 章 连续时间系统的时域分析 tdhtedtdthtetr)()()()()(两函数的卷积为两函数的卷积为其中其中) 1()21()(tttedtdttduudhth)2()(21)()()1(tttudtud02)2()21()()21(如图（如图（a）所示）所示)2()4(41)(4122tuttut)2()2()(4
25、12tututut如图（如图（b）所示）所示第 2 章 连续时间系统的时域分析 )23()23()21()21(41)()(2tutututdhtedtdt)3()3() 1() 1(412tututut323) 1(411231)41(43) 1(41)21(41121)21(412222tttttttt 可以看出可以看出,如果对某一信号微分后出现冲激信号，则卷如果对某一信号微分后出现冲激信号，则卷积最终结果是另一信号对应积分后平移叠加结果。积最终结果是另一信号对应积分后平移叠加结果。分别时移分别时移0.5和和1第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-152-15 如图电路处于稳定状态
26、，如图电路处于稳定状态，t=0t=0时开关闭时开关闭和，试求电容电压和，试求电容电压u uc c(t)(t)，电感电流，电感电流i iL L(t)(t)和流过和流过开关的电流开关的电流i(t)i(t)的全响应。的全响应。21第 2 章 连续时间系统的时域分析 解：解：由于由于t0时电路处于稳定状态可知时电路处于稳定状态可知 iL(0-)=0; uc(0-)=2vT=0时开关闭和，回路时开关闭和，回路1和和2有有0)()(21tutudtdcc)()(2)(1tetidtdtiLL（1）（2）方程（方程（1）的特征方程为）的特征方程为02 a特征根为特征根为2a第 2 章 连续时间系统的时域分析
27、 )()(211tueAeAtutatc设)0(2)0(1ccuAu)(2)(2tuetutc方程（方程（2）的特征方程为）的特征方程为012a特征根为特征根为21a齐次解为齐次解为)()(21tuAetitLh由于由于e(t)=2v,故特解为常数，设为故特解为常数，设为B,代入方程（代入方程（2）的）的B=2第 2 章 连续时间系统的时域分析 )(2)(tutiLP)(2)()()()(21tUtUAetitititLpLhL把把t=0+代入代入iL(t)完全解，得完全解，得0)0()0(LLii02)0(AiL2A)()1 (2)(2)(2)(2121tuetUtUetittL第 2 章 连续时间系统的时域分析 )(2)4(21)()(22tueetudtdctittcc又)()()(tititicL)(2)()1 (2221tuetuett第 2 章 连续时间系统的时域分析 常用信号的卷积公式常用信号的卷积公式
