1、一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性二、二维随机变量的推广二、二维随机变量的推广三、小结三、小结第四节第四节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量.),()(),(, .),( )(),(),(的的相相互互独独立立是是和和则则称称随随机机变变量量即即有有若若对对于于所所有有函函数数的的分分布布函函数数及及边边缘缘分分布布量量分分别别是是二二维维随随机机变变及及设设YXyFxFyxFyYPxXPyYxXPyxYXyFxFyxFYXYX 一、随机变量的相互独立性一、随机变量的相互独立性1.定义定义,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX2.说明说明 (1) 若离散型随
2、机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为的联合分布律为., 2 , 1, jipjYiXPij.jiijppp 即即).()(),(yfxfyxfYX 则则相互独立相互独立和和,)3(YX相互独立相互独立和和YX则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量),(),(),(),()2(yfxfyxfYXYX.)()(也相互独立也相互独立和和YgXf),(YXijp)1 , 1()2 , 1()3 , 1()1 , 2()2 , 2()3 , 2(619118131 解解的分布律改写为的分布律改写为将将),(YX例例1的
3、分布律为的分布律为已知已知),(YX.,(2);)1(的值的值与与求求相互独立相互独立与与若若应满足的条件应满足的条件与与求求 YX(1)由分布律的性质知由分布律的性质知, 0, 0 , 132 .310, 0: 且且应应满满足足的的条条件件是是与与故故XY32112619118131 iixXPp 31 31jjyYPp 21 91 181 32)3 , 2 , 1; 2 , 1(, jipppjiij特别有特别有2112 ppp 913191,92 又又,31 .91 得得(2) 因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立, 所以有所以有.),(,),(,2的联合概率密度的联合概率密度求求上
4、服从均匀分布上服从均匀分布在在服从服从并且并且相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量YXbbYaNXYX ;,e21)(222)( xxfaxX又又)()(),(yfxfyxfYX 所所以以解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,例例2 ., 0,21)(其他其他bybbyfY,e2121),(222)(axbyxf 得得. 0),(, yxfby时时当当.,bybx 其其中中因为因为 X 与与 Y 相互独立相互独立,解解所以所以求随机变量求随机变量 ( X, Y ) 的分布律的分布律.例例3 设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量 X 与与Y 的分布律为的分布律为XXP317 . 03
5、 . 0YYP424 . 06 . 0. ,jijiyYPxXPyYxXP 4 14, 1 YPXPYXP4 . 03 . 0 ,12. 0 2 12, 1 YPXPYXP6 . 03 . 0 ,18. 0 232, 3 YPXPYXP6 . 07 . 0 ,42. 0 434, 3 YPXPYXP4 . 07 . 0 .28. 0 的联合分布律为的联合分布律为因此因此),(YXYX421318. 012. 042. 028. 0例例4 一负责人到达办公室的时间均匀分布在一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时时,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时时,
6、设他们两人到达的时间相互独立设他们两人到达的时间相互独立, 求他们到达办求他们到达办公室的时间相差不超过公室的时间相差不超过 5 分钟的概率分钟的概率. 解解,达办公室的时间达办公室的时间书到书到分别是负责人和他的秘分别是负责人和他的秘和和设设YX的概率密度分别为的概率密度分别为和和由假设由假设YX , 0,128,41)(其它其它xxfX , 0, 97,21)(其它其它xyfY,相互独立相互独立由于由于YX的概率密度为的概率密度为得得),(YX)()(),(yfxfyxfYX ., 0, 97 ,128,81其它其它yx121 YXP Gyxyxfdd),().(81的面积的面积G Oxy
7、 8 1279ABB CC G的面积的面积的面积的面积的面积的面积而而CBAABCG 22121121121321 .61 于是于是121 YXP)(81的面积的面积G .481 .4815分分钟钟的的概概率率为为不不超超过过到到达达办办公公室室的的时时间间相相差差因因此此负负责责人人和和他他的的秘秘书书Oxy 8 1279ABB CC G三、小结三、小结则则有有边边缘缘概概率率密密度度分分别别为为的的联联合合概概率率密密度度为为设设连连续续型型随随机机变变量量),(),(),(),(. 2yfxfyxfYXYX).()(),(yfxfyxfYX .,jijiyYPxXPyYxXP 相互独立相互独立和和YX.)()(,. 3也相互独立也相互独立和和则则相互独立相互独立和和YgXfYX相互独立相互独立和和YX1. 若离散型随机变量若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为的联合分布律为., 2 , 1, jipjYiXPij
