1、第七节 无穷大与无穷小无穷小的比较一、无穷小三、无穷小的比较四、等价无穷小的替换第二章二、无穷大一、无穷小一、无穷小1.定义定义: 极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例例, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx注意注意1.无穷小是变量，它是相对于某个变化过程而言的，无穷小是变量，它是相对于某个变化过程而言的，不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)
2、(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.定理定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证明：证明：内有界，内有界，在在设函数设函数),()(10 xUxu1010,0,0( ).Mxxu xM则则使使得得当当时时, ,恒恒有
3、有0( )xxx 又又设设是是当当时时的的无无穷穷小小, ,2020,0,0 xx使使得得当当时时, ,定理定理2 在同一过程中在同一过程中, ,有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小. . 定理定理3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:0lim( )0 xxx 即即( ).xM 恒恒有有,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx)()()()(xxuxxu MM .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxxsinlimxxx 求求极极限限例1) ( , 01 lim 无穷小量因为xx) ( , ),( 1
4、|sin|有界量xxsin lim0 . xxx 故故解：推论推论1 在同一过程中在同一过程中,极限存在的变量与无穷小的极限存在的变量与无穷小的乘积是无穷小乘积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.二、无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,它是相对于某个变化过程而言，它是相对于某个变化过程而言，不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx.11lim1 xx例例.)(,)(li
5、m00的垂直渐近线的垂直渐近线曲线曲线是是则称直线则称直线若若在几何上：在几何上：xfyxxxfxx 11 xylim( ),( ).xf xAyAyf x若若则则称称直直线线是是曲曲线线的的水水平平渐渐近近线线1lim0.1xx 例例两个无穷大量的代数和是否仍为无穷大量?两个无穷大量的和不一定是无穷大量.有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？ 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.但无穷大与有界量之和是无穷大.01 limsin1xxx 例例如如有限个无穷大的乘积是无穷大.无穷大的运算性质无穷大的运算性质:定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无
6、穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证明：证明：0lim( ),xxf x 设设010,0,0( ),xxf x 使使得得当当时时, ,恒恒有有.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 0lim( )0( )0 xxf xf x反反之之，设设，且且010,0,0( ),Mxxf xM使使得得当当时时, ,恒恒有有.)(1Mxf 从而从而, 0)( xf由由于于.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx 意义：关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论都可归结为关于无穷小的讨论.三、无穷小的比较例如例如,20lim
7、xxxxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了不同的无穷小趋向于零的反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.2;xx比比 要要快快得得多多;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限(1)lim0,( );o 如如果果则则称称 是是比比 高高阶阶的的无无穷穷小小记记作作定义定义: : ,0.xxx 设设是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无穷穷小小 且且(2)lim(0),;C C 如如果果则则称称
8、与与 是是同同阶阶的的无无穷穷小小lim1,; 特特殊殊地地如如果果则则称称 与与 是是等等价价的的无无穷穷小小记记作作(3)lim(0,0),.kC Ckk 如如果果则则称称 是是 的的 阶阶无无穷穷小小例例1 1解解.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时当当证证明明xxxx 430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例2 2.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的
9、三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 例例3. 证明证明: 当当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb定理1.)(o证证:1lim, 0)1lim(0lim即, )(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x2sin,arcsin,tan,arctan,1ln(1) ,1cos,2xxxxxxxxxxxx111 ,nxxn111 2xx1 lnxaxa
10、 1 ,xex 四、等价无穷小替换四、等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim limlimlimlim同理可得同理可得例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意等价无穷小的替换只能对分子分母中的无穷小因子进行，等价无穷小的替换只能对分子分母中的无穷小因子进行
11、，例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 231x221x例5. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式3211nxxn1211cos2xx 五、小结1、注意注意: :无穷小与无穷大是相对于某一变化过程而言的无穷小与无穷大是相对于某一变化过程而言的.无穷小（无穷小（ 大
12、）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；零是唯一的无穷小的数；2、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢两无穷小趋于零的速度快慢, 但但并不是所有的无穷小都可进行比较并不是所有的无穷小都可进行比较.3 、等价无穷小的替换等价无穷小的替换: : 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, , 注意适用条件注意适用条件. .高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.310)1sin1tan1(1limxxxx 原式原式310sin1sintan1limxxxxx 301sin1sintanlimxxxxx 30tan (1cos )1lim1sinxxxxx 21.21e 原式原式不能不能思考题1.任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？3101tanlim()1sinxxxx 2.2.求求31 sintansin1tansin1 sin0tansinlim11sinxxxxxxxxxxx
