1、第四章第四章 习题课习题课一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点, ,函数函数图形的描绘图形的描绘; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .导数的应用导数的应用一、主要内容一、主要内容
2、1 1、罗尔中值定理、罗尔中值定理罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且在区间端且在区间端点的函数值相等，即点的函数值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使得函数使得函数)(xf在该在该点的导数等于零，点的导数等于零， 即即0)( f 2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在
3、开区间),(ba内可导内可导, ,那那末在末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.3 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少有一点有一点)(ba , ,使等式使等式)()
4、()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .推论推论.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf4 4、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 注意：注意：洛
5、必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则则当当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一的一个个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xRn之和之和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之间之间与与在在其中其中xxxxnfxRn
6、nn 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 6 6、导数的应用、导数的应用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在可导可导内内
7、上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个点的一个点内内是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxf
8、xfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极
9、小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, )(xf符符 号相同号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理定理( (第一充分条件第一充分条件) ) 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶
10、导数,且且0)(0 xf, 0)(0 xf, 那末那末(1)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)当当0)(0 xf时时, 函数函数)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.定理定理( (第二充分条件第二充分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()()3(判断极值点判断极值点该点的符号该点的符号在在在驻点左右的正负号或在驻点左右的正负号或检查检查xfxf .)4(求极值求极值步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可
11、导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最值;（或最小）值（或最小）值函数值即为所求的最大函数值即为所求的最大点，则该点的点，则该点的若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻(4) 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义;),
12、()(,2)()()2(,),(,),()(212121内的图形是凹的内的图形是凹的在在那末称那末称恒有恒有两点两点内任意内任意如果对如果对内连续内连续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内的图形是凸的内的图形是凸的在在那末称那末称恒有恒有内任意两点内任意两点如果对如果对baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹在在那末称那末称的的或凸或凸内的图形是凹内的图形是凹且在且在内连续内连续在在如果如果baxfbabaxf定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1()
13、,(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.定定理理 2 2 如如果果)(xf在在),(00 xx内内存存在在二二阶阶导导数数 , 则则 点点 )(,00 xfx是是 拐拐 点点 的的 必必 要要 条条 件件 是是0)(0 xf.方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的邻域内二阶可导的邻域内二阶可导在在设函数设函数;)(,(,)()1(000即为拐点即为
14、拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx 方法方法2:2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点曲线曲线是是那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图形.第一步第一步第二步第二步 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论论,求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数)(xf和二阶导数和二
15、阶导数)(xf; 求求出出方方程程0)( xf和和0)( xf 在在函函数数定定义义域域内内的的全全部部实实根根，用用这这些些根根同同函函数数的的间间断断点点或或导导数数不不存存在在的的点点把把函函数数的的定定义义域域划划分分成成几几个个部部分分区区间间.(5) 函数图形的描绘函数图形的描绘第三步第三步 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内)(xf和和)(xf的符的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点凸与拐点（可列表进行讨论） ；可列表进行讨论） ；第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其确定函数图形的水平、铅直渐近线以及
16、其他变化趋势他变化趋势;第五步第五步 描描出出与与方方程程0)( xf和和0)( xf的的根根对对应应的的曲曲线线上上的的点点，有有时时还还需需要要补补充充一一些些点点，再再综综合合前前四四步步讨讨论论的的结结果果画画出出函函数数的的图图形形.1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圆曲率圆 曲率的计算公式曲率的计算公式.),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图圆圆为半径作为半径作为圆心为圆心以以使使取一点取一点在凹的一侧在凹的一侧处的曲线的法线上处的曲线
17、的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy 定义定义,是是曲曲率率中中心心D.是曲率半径是曲率半径 .1,1 kk曲率圆曲率圆.30例例1 1.65,6sinln的正确性的正确性上上在在验证罗尔定理对验证罗尔定理对 xy解解), 1, 0(,22: kkxkD.65,6上连续上连续且在且在 内处处存在内处处存在在在又又)65,6(cot xy)65()6( ff并且并且2ln 二、典型例题.65,6sinln的条件的条件上满足罗尔定理上满足罗尔定理在在函数函数 xy, 0cot xy由由内显然有解内显然有解在在)65,6( .2 x,2 取取. 0)
18、( f则则这就验证了命题的正确性这就验证了命题的正确性.例例2 2.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解. 2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 例例3 3.)()(,)1 , 0(,:, 1)1(, 0)0(,)1 , 0(,1 , 0)(bafbfabaffxf 使使内存在不同的内存在不同的在在对任意给定的正数对任意给定的正数试证试证且且内可导内可导在在上连续上连续在在设设证证,均为正数均为正数与与ba10 ba
19、a,1 , 0)(上连续上连续在在又又xf由介值定理由介值定理,)(baaf 使得使得),1 , 0( 存在存在有有上分别用拉氏中值定理上分别用拉氏中值定理在在,1 , 0)( xf), 0(),()0()0()( fff)1 ,(),()1()()1( fff, 1)1(, 0)0( ff注意到注意到由由, 有有)()(1bafbbafa )( fbaa )()(11 ff )( fbab + ,得得)()( ff .)()(bafbfa 例例4 4)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证明不等式证明不等式证证),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf
20、则则, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即例例5 5)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数证证,1 , 00 x设设有有展成一阶泰勒公式展成一阶泰勒公式处把处把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则有则有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 2020
21、00)1)(21)1)()()1(xfxxfxff 2022010)1)(21)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注意到注意到则有则有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1 , 00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命题成立可知命题成立的任意性的任意性由由 x例例6 6.,)1 ,2(sin2程程两曲线的公共曲率圆方两曲线的公共曲率圆方点处点处并写出并写出向向点具有相同的曲率和凹点具有相同的曲率和凹在在使抛物线与正弦曲线使抛物线与正弦曲线一抛物线一抛物线求作求作处处上点上点过正弦曲线过正弦曲线MMcbxax
22、yMxy 解解为为曲率圆的圆心坐标分别曲率圆的圆心坐标分别曲率半径和曲率半径和处的曲率处的曲率在点在点曲线曲线,),()(yxxfy ,)(1 232yyk ,1k yyyyyyyxx2020)(1)(1 ,sin)(xxfy 对于曲线对于曲线, 1)2( f有有 )2(f. 1 ,2cbxaxy 对于曲线对于曲线 )2(f有有,242cba )2(f, ba )2(f.2a若两曲线满足题设条件若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数数和二阶导数,于是有于是有, 1242 cba, 0 ba. 12 a )2(f, 0解此方程组得解此方程组得,21
23、 a,2 b.812 c故所求作抛物线的方程为故所求作抛物线的方程为.8122122 xxy),0 ,2( , 1 曲率半径曲率半径曲率圆的方程为曲率圆的方程为. 1)2(22 yx两曲线在点处的曲率圆的圆心为两曲线在点处的曲率圆的圆心为例例7 7.,12并作函数的图形并作函数的图形渐近线渐近线拐点拐点区间区间凹凸凹凸极值极值的单调区间的单调区间求函数求函数 xxxy解解:)1(定义域定义域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即1)(2 xxxxf),(xf 奇函数奇函数y )2(222)1(11 xx,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得y 222)
24、1()3(2 xxx,)1(1)1(133 xx, 0 y令令. 0 x得可能拐点的横坐标得可能拐点的横坐标,lim)3( yx;没有水平渐近线没有水平渐近线,lim01 yx又又,lim01 yx;1的铅直渐近线的铅直渐近线为曲线为曲线 yx ,lim01 yx,lim01 yx;1的铅直渐近线的铅直渐近线为曲线为曲线 yx xyax lim)1(1lim2 xxxxx, 1 )(limaxybx )(limxyx 1lim2 xxx, 0 .的的斜斜渐渐近近线线为为曲曲线线直直线线yxy ,)3, 0, 3(),1()4(分点分点和可能拐点的横坐标为和可能拐点的横坐标为驻点驻点以函数的不连
25、续点以函数的不连续点 xxxx列表如下列表如下:x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 极大值极大值0拐点拐点00 x31y y y 极小值极小值0 )3, 1(), 3( 3xy极大值极大值, 323 3xy极小值极小值, 323).0 , 0(拐点为拐点为xyoxy 1 1作图作图一、一、 选择题：选择题：1 1、 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即共同点，即（ ）（A A） 它们都给出了点的求法它们都给出了点的求法 . .（B B） 它们都肯定了点一定存在，且给出了求的它们都肯定了点一定存
26、在，且给出了求的方法。方法。（C C） 它们都先肯定了它们都先肯定了 点一定存在，而且如果满足点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算的定理条件，就都可以用定理给出的公式计算的值值 . .（D D） 它们只肯定了的存在，却没有说出的值是它们只肯定了的存在，却没有说出的值是什么，也没有给出求的方法什么，也没有给出求的方法 . .测测 验验 题题2 2、 若若)(xf在在),(ba可导且可导且)()(bfaf , ,则则（ ）（A A） 至少存在一点至少存在一点),(ba ，使，使0)( f；（B B） 一定不存在点一定不存在点),(ba ，使，使0)( f；（C C） 恰存
27、在一点恰存在一点),(ba ，使，使0)( f；（D D） 对任意的对任意的),(ba ，不一定能使，不一定能使0)( f . . 3 3已知已知)(xf在在,ba可导，且方程可导，且方程 f(x)f(x)=0=0 在在),(ba有有 两个不同的根两个不同的根 与与 ，那么在，那么在),(ba（） 0)( xf. .（A A） 必有；必有；（B B） 可能有；可能有；（C C） 没有；没有；（D D） 无法确定无法确定. . 4 4、如果、如果)(xf在在,ba连续，在连续，在),(ba可导，可导，c为介于为介于 ba,之间的任一点，那么在之间的任一点，那么在),(ba（ ）找到两点）找到两点
28、 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能； （B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）无法确定能）无法确定能 . . 5 5、若、若)(xf在在,ba上连续，在上连续，在),(ba内可导，且内可导，且 ),(bax 时，时，0)( xf，又，又0)( af, ,则则（ ）. .（A A） )(xf在在,ba上单调增加，且上单调增加，且0)( bf；（B B） )(xf在在,ba上单调增加，且上单调增加，且0)( bf；（C C） )(xf在在,ba上单调减少，且上单调减少，且0)( bf；（D D） )(xf在在
29、,ba上单调增加，但上单调增加，但)(bf的的 正负号无法确定正负号无法确定. . 6 6、0)(0 xf是可导函数是可导函数)(xf在在0 x点点处有极值的处有极值的（ ）. .（A A） 充分条件；充分条件；（B B） 必要条件必要条件（C C） 充要条件；充要条件；（D D） 既非必要又非充既非必要又非充 分分 条件条件. . 7 7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则值，则（ ）. . （A A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； （B B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小
30、值；）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； （C C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值；最小值； （D D）极大值必大于极小值）极大值必大于极小值 . . 8 8、若在、若在),(ba内，函数内，函数)(xf的一阶导数的一阶导数0)( xf， 二阶导数二阶导数0)( xf, ,则函数则函数)(xf在此区间内在此区间内( ( ). ).（A A） 单调减少，曲线是凹的；单调减少，曲线是凹的；（B B） 单调减少，曲线是凸的；单调减少，曲线是凸的；（C C） 单调增加，曲线是凹的；单调增加，曲线是凹的；（D D） 单调增加，曲线是凸的单调
31、增加，曲线是凸的. . 9 9、设、设0)(lim)(lim xFxfaxax，且在点，且在点a的某的某 邻域中邻域中（点（点a可除外） ，可除外） ，)(xf及及)(xF都存在，都存在， 且且0)( xF, ,则则)()(limxFxfax存在是存在是)()(limxFxfax 存在的存在的（ ）. . （A A）充分条件；）充分条件； （B B）必要条件；）必要条件； （C C）充分必要条件；）充分必要条件； （D D）既非充分也非必要条件）既非充分也非必要条件 . . 10 10、 xxxcos11coshlim0（ ）. . （A A）0 0； （B B）21 ； （C C）1 1；
32、（D D）21. .二、求极限：二、求极限： 1 1、22limaxaxaxax （0 a） ；） ； 2 2、310)sin1tan1(limxxxx ； 3 3、)11ln(lim2xxxx ； 4 4、xxxcos1sinlim0 ；三、一个半径为三、一个半径为R的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥 体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？四、若四、若0 x, ,试证试证xxxx )1ln(1. .五、设五、设dcxbxaxxf 23)(有拐点有拐点（1 1，2 2） ，） ， 并在该点有水平切线，并在该点有水平
33、切线，)(xf交交x轴于点轴于点（3 3，0 0） ，） ，求求)(xf. .六、确定六、确定cba,的值，使抛物线的值，使抛物线cbxaxy 2 与正弦曲线在点与正弦曲线在点)1 ,2( 相切，并有相同的曲率相切，并有相同的曲率. .七、绘出函数七、绘出函数2)1(4)(2 xxxf的图形的图形. .八、设八、设)(xf在在1 , 0上连续，在上连续，在(0,1)(0,1)内可导，且内可导，且1)1(, 0)0( ff, ,试证：对任意给定的正数试证：对任意给定的正数ba,在在)1 , 0(内存在不同的内存在不同的 ,，使，使bafbfa )()( . .一、一、1 1、D D； 2 2、D D； 3 3、A A； 4 4、B B； 5 5、D D； 6 6、B B； 7 7、C C； 8 8、D D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、a21； 2 2、21e； 3 3、21； 4 4、不存在、不存在. .三、三、1:2. .五、五、49434341)(23 xxxxf. .六、六、8122122 xxy. .测验题答案测验题答案
