1、四、定积分及其相关问题一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和应用二、有关定积分计算和应用 一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题例例. 求.d1lim10 xeexxxnn解解: 因为 1,0 x时,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx二、有关定积分计算和应用1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法(不定积分的方法定积分都可以用)思考思考: 下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111
2、132)(32xt 令0d23112111ttt无界函数的积分无界函数的积分注意注意: 计算定积分首先看它是否为正常积分计算定积分首先看它是否为正常积分定理定理 （微积分基本公式）（微积分基本公式）( )( )bbaaf x dxF x 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba例. 求求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24sincos
3、xx04 cossin xx 42) 12(22yox4xsinxcos例. 求求 112200arcsind arcsinIxxxx 21202 arcsin41xxdxx 21202arcsin14xdx 120arcsindIxx 解解: 211220021arcsin21arcsin4xxx dx 21024dx 224 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为 )()()()(xaxafxbxbf )()()()(xbxadttfdxdxF2. 积分上限函数求导积分上限函数求导00:( )( )()(
4、)xxaaxxxf t dtxf t dtf xt dtf t dt 两两个个常常见见的的积积分分上上限限函函数数求求导导例例. . 求求解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.0limxtextd1cos22x定理., ,)(aaCxf设(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则偶倍奇零偶倍
5、奇零3.对称区间上的定积分奇函数奇函数例例 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 dx 1122112xx 1-1211cosdxxxx 102144dxx4. 广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim例. 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx )2(2(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf
6、 )(lim0 badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例 计算反常积分计算反常积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式0arcsinaax1arcsin2例例 讨论反常积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常积分112dxx发散 . 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 两个重要的反常积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap1. 平面图形的面积参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小21d)()(tttttAd)(212A5. 定积分的应用baxxAVd)(绕 x 轴 :绕 y 轴 :(柱壳法)3. 旋转体的体积旋转体的体积4. 已知平行截面面积函数的立体体积已知平行截面面积函数的立体体积dyy2)( dcV2 ( )baVf xdx 2dbyaVxy x
