1、6.5 6.5 全微分方程及其求法全微分方程及其求法定义定义: :0),(),( dyyxQdxyxP则则dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0 ydyxdx),(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程解法解法: :0),(),( dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为通解为 yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxx
2、yy ;),(Cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解解,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程, yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为,42344224yyxx 例例1 1.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx解解,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解
3、为),1(32yxyd 例例2积分因子法积分因子法定义定义: : 0),( yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. .问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?公式法公式法: :,)()(xQyP xQxQyPyP ，两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa , 0 y ,dxdx ;.有关时有关时只与只与当当yb )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()(
4、 dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 观察法观察法: :凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用的积分因子有可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQyPQ
5、dxxcex1)( .x 例例3则原方程为则原方程为, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx (公式法公式法)可积组合法可积组合法.0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有例例4 求微分方程求微分方程, 02222 dyyxdxyxxxdx, 0)()(2222 dyyxxdyxxd, 0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为原方程的通解为.)(32232
6、2Cyxx .0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法可积组合法例例5 求微分方程求微分方程.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy A A 常数变易法常数变易法: :B B 公式法公式法: :.4343Cxxxyy 通解为通解为.1
7、xCy 对对应应齐齐次次方方程程通通解解.1)(xxCy 设设.43)(43CxxxC ,11211Cdxexeydxxdxx 例例6解解2 2整理得整理得, 0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程A A 用曲线积分法用曲线积分法: :,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuB B 凑微分法凑微分法: :, 0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy. 0)43(43 xxxyydC C 不定积分法不定积分法: :,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,
8、1)(xyCx , 1)( yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy 一阶微分方程小结一阶微分方程小结分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程思考题思考题方程方程0324223 dyyxydxyx是否为全微分方程？是否为全微分方程？思考题解答思考题解答 32yxyyP,64yx 4223yxyxxQ,64yx xQyP 原方程原方程是是全微分方程全微分方程.一、一、 判别下列方程中哪些是全微分方程判别下列方程中哪些是全微分方程, ,并求全微分方并求全微分方程的通解程的通解: :1 1、0)2( dyyxedxeyy；2 2
9、、0)(22 xydydxyx；3 3、02)1(22 dede. .二、二、 利用观察法求出下列方程的积分因子利用观察法求出下列方程的积分因子, ,并求其通并求其通解解: :1 1、02 xdxyxdyydx；2 2、dxyxydyxdx)(22 ； 3 3、0)1()1( xdyxyydxxy. .练练 习习 题题三、三、 验证验证)()(1xygxyfxy 是微分方程是微分方程 0)()( dyxyxgdxxyyf的积分因子的积分因子, ,并求方程并求方程0)22()2(2222 dyyxxdxyxy的通解的通解 . .四、四、 已知已知21)0( f, ,试确定试确定)(xf, ,使使0)()( dyxfydxxfex为全微分方程为全微分方程, ,并求此并求此全微分方程的通解全微分方程的通解 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、Cyxey 2； 2 2、不是全微分方程；、不是全微分方程； 3 3、Ce )1(2 . .二、二、1 1、Cxyx 22； 2 2、xCeyx222 ； 3 3、xyCeyx1 . .三、三、2212yxeCyx . .( (或或Cyxyx 22211ln) )四、四、Cyxexexfxx )21(, )21()(. .
