1、第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-112-11 计算常数计算常数K K与信号与信号f f( (t t) )的卷积积分。的卷积积分。 解解: :直接按卷积定义，直接按卷积定义， 可得可得 )()()()(波形的净面积tfKdKfKtftfK 常数常数K K与任意信号与任意信号f(t)f(t)的卷积值等于该信号波形净面积的卷积值等于该信号波形净面积值的值的K K倍。倍。 如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致错误！如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致错误！ dfKdtdtfKt)()(第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-122-12 计算下列卷积积分 )()()(3
2、)2() 1()2()2() 1() 1 (0tttftytuttututu）（第 2 章 连续时间系统的时域分析 解解 (1) 先计算先计算u(t)*u(t)。因为。因为u(-)=0，故可应用卷积运算，故可应用卷积运算的微积分性质求得的微积分性质求得 tdttdudututu)()()()(tttutdu0)()()(1)()()2() 1(tttutututu) 1() 1()(1tutttutt然后，利用卷积的时移性可得然后，利用卷积的时移性可得应用时移应用时移性推论性推论(1) (1)(2)u tu t第 2 章 连续时间系统的时域分析 (2) 利用卷积运算的分配律和时移性质，利用卷积
3、运算的分配律和时移性质， 可将给定的可将给定的卷积计算式表示为卷积计算式表示为 )2()1() 1() 1()2() 1( ttuttutttu)2() 1() 1()2() 1( ttutttu3)()()()( tttttuttu 考虑到考虑到u(t)和和tu(t)均为因果信号，满足卷积运算微分性均为因果信号，满足卷积运算微分性质条件，故可利用此性质。质条件，故可利用此性质。注意正注意正确时移确时移(2)(1)(2)tu tut变形变形第 2 章 连续时间系统的时域分析 )()()()()()()(tttttuttu )()()()()()()(ttttutttudtdtttu )()()
4、()()(tttuttu3)()()2() 1( tttttttu) 3() 3(tt=0第 2 章 连续时间系统的时域分析 (3) 根据奇异函数卷积性质根据奇异函数卷积性质 )()()(tfttf因此，可直接利用卷积时移性质得到因此，可直接利用卷积时移性质得到 )()()()()()(000ttfttftttftyttt03( )( )()y tf ttt（）A11f (t)t01(1)tot0A(1)tot0t01t01(t t0)(t t0)f (t)*第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-132-13 下图所示为下图所示为门函数门函数，在电子技术，在电子技术中常称中常称矩形脉冲
5、矩形脉冲，用符号，用符号g g( (t t) )表示，其幅表示，其幅度为度为1 1，宽度为，宽度为，求卷积积分，求卷积积分g g( (t t) )* *g g( (t t) )。 第 2 章 连续时间系统的时域分析 解：方法一（图解法）。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转180后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时，门函数左边沿位于x=-/2位置，右边沿位于x=/2位置，如图2-7(b)所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-/2位置， 右边沿则位于x=t+/2位置，如图2-7(c)所示。按照图2-7中卷积过程的图解表示，可计算求得： 第 2 章 连续时间系统的时域分析 时
6、：和当tt时：当0t时：当 t0整理后写成tttttttgtg00,0)()(0)()(tgtgtdxtgtgt22) 11 ()()(tdxtgtgt22) 11 ()()(第 2 章 连续时间系统的时域分析 图图 28 例例2-13方法二图方法二图 ot1g (t)ot1g (t)22og (t)(1)t22otg (t)( 1)otottg (t)g (t)*(1)(1)o2)1(tg2)1(tg方法二方法二 应用卷积运算的微积分和时移性质，可得 第 2 章 连续时间系统的时域分析 tttgtgtgtttgtutudtdtgtgtgtg022)(22)(22)()()()()1()1()
7、1()1()1()1(根据冲激函根据冲激函数卷积性质数卷积性质tttt00,第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-142-14 求图求图2-92-9所示的两个函数的卷积所示的两个函数的卷积e(t)h(t)0021112tt110211t1)(tedtd(1)(-1)012t1dhtht)()()1(a)(b)第 2 章 连续时间系统的时域分析 012t1)()()1(thtedtd21)21()1(th)21()1(th-1012t)()(thte161516932321图图2-9 利用卷积性质简化运算利用卷积性质简化运算(c)(d)第 2 章 连续时间系统的时域分析 tdhtedtd
8、thtetr)()()()()(两函数的卷积为两函数的卷积为其中其中) 1()21()(tttedtdttduudhth)2()(21)()()1(tttudtud02)2()21()()21(如图（如图（a）所示）所示)2()4(41)(4122tuttut)2()2()(412tututut如图（如图（b）所示）所示斜率为斜率为0.5的线段的线段第 2 章 连续时间系统的时域分析 )23()23()21()21(41)()(2tutututdhtedtdt)3()3() 1() 1(412tututut323) 1(411231)41(43) 1(41)21(41121)21(412222
9、tttttttt 可以看出可以看出,如果对某一信号微分后出现冲激信号，则卷如果对某一信号微分后出现冲激信号，则卷积最终结果是另一信号对应积分后积最终结果是另一信号对应积分后平移叠加平移叠加结果。结果。分别时移分别时移0.5和和1第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-152-15 如图电路处于稳定状态，如图电路处于稳定状态，t=0t=0时开关闭时开关闭和，试求电容电压和，试求电容电压u uc c(t(t) )，电感电流，电感电流i iL L(t(t) )和流过和流过开关的电流开关的电流i(t)i(t)的全响应。的全响应。21第 2 章 连续时间系统的时域分析 解：解：由于由于t0时电路处
10、于稳定状态可知时电路处于稳定状态可知 iL(0-)=0; uc(0-)=2vT=0时开关闭和，回路时开关闭和，回路1和和2有有11( )( )02ccdu tu tdt)()(2)(1tetidtdtiLL（1）（2）方程（方程（1）的特征方程为）的特征方程为02 a特征根为特征根为2a12第 2 章 连续时间系统的时域分析 )()(211tueAeAtutatc设)0(2)0(1ccuAu)(2)(2tuetutc方程（方程（2）的特征方程为）的特征方程为012a特征根为特征根为21a齐次解为齐次解为)()(21tuAetitLh由于由于e(t)=2v,故特解为常数，设为故特解为常数，设为B
11、,代入方程（代入方程（2），得），得B=2第 2 章 连续时间系统的时域分析 )(2)(tutiLP)(2)()()()(21tUtUAetitititLpLhL把把t=0+代入代入iL(t)完全解，得完全解，得0)0()0(LLii02)0(AiL2A)()1 (2)(2)(2)(2121tuetUtUetittL第 2 章 连续时间系统的时域分析 )(2)4(21)()(22tueetudtdctittcc又)()()(tititicL)(2)()1 (2221tuetuett)()1 (221tuet第 2 章 连续时间系统的时域分析 例例 2-16描述某线性时不变系统的方程为描述某线性
12、时不变系统的方程为求当求当 时的全响应。时的全响应。 322yty ty tftf t ,00,03tf teyy解：利用经典法求解。由于特征方程为2320pp其特征根为121,2pp ，故齐次解齐次解为 212tthytAeA e第 2 章 连续时间系统的时域分析 tf tete1 当激励为时，由于激励中的指数，它也是特征根，故方程的特解为 10ttpytBteB e其一阶和二阶导数分别为 110110tttttpytBteBeB eBteBBe 11101102tttttpytBteBeBBeBteBBe将他们和 ,ftf t代入原微分方程组得110110102322ttttttttBte
13、BBeBteBBeBteB eee11111000322332ttttBBB teBB eBBBee 即 1ttBee即 11B 0B得，但未能得到。于是方程的特解为 0ttpytteB e第 2 章 连续时间系统的时域分析 将它与齐次解相加，得全解为 21202102hpttttttty tytytAeA eteB eABeA ete它的导数为 21022tttty tABeA etee 将初始值代入得 10200yABA 1020213yABA 第 2 章 连续时间系统的时域分析 联立解得联立解得1022,2ABA ，将他们代入全解表达式得，将他们代入全解表达式得 2220ttty tee
14、tet讨论讨论： 采用经典法求响应，是把全解分解为齐次解和特解采用经典法求响应，是把全解分解为齐次解和特解之和。之和。 齐次解的形式仅依赖于系统本身的特性，即由特征根齐次解的形式仅依赖于系统本身的特性，即由特征根决定，与激励的形式无关。决定，与激励的形式无关。 但应注意，其系数是与激励有关的。特解的形式由但应注意，其系数是与激励有关的。特解的形式由激励形式来决定。激励形式来决定。 一般激励为指数形式，响应（特解）也为相同的指一般激励为指数形式，响应（特解）也为相同的指数形式。数形式。 若指数与特征根相同，则还要有乘若指数与特征根相同，则还要有乘t的项。的项。第 2 章 连续时间系统的时域分析
