1、一、齐次方程一、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为齐次方程齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxy
2、xy,xyu 令令,dyduyuxuxdxdx则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 22222(32),11uuu uuxuuuuuu ( , )( , )( , )( , )0( ,)( , ),( ,)( , )mmdyM x ydxN x yM x yN x yxymtM tx tyt M x yN tx tyt N x y该题属于型的齐次方程
3、，其中函数和都是和 的同次（比如 次）齐次函数，即对有x由光的反射定律由光的反射定律:可得可得 OMA = OAM = 例例3. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由它的形状由)0()(:yxfyL解解: 将光源所在点取作坐标原点将光源所在点取作坐标原点, 并设并设入射角入射角 = 反射角反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求能的要求, 在其旋转轴在其旋转轴 (x 轴轴)上一点上一点O处发出的一切光线处发出的一切光线从而从而 AO = OMOPAP xOy坐标面上的一条曲线坐标面上的一条曲线 L 绕绕 x 轴旋转而成轴旋转而成, 按聚光性按聚
4、光性而而 AO 于是得微分方程于是得微分方程 : xyy22yx yO经它反射后都与旋转轴平行经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线求曲线 L 的方程的方程.21ddyxyxyx, vyx 则,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得积分得故有故有1222CvyCy, xvy代入得得)2(22CxCy (抛物线抛物线)221)(vvCyCyvv21故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程) yxAO顶到底的距离为顶到底的距离为 h ,hdC82说明说明:2,2dyhCx则将则将这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程
5、为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得代入通解表达式得)0,(2C)2(22CxCy二、可化为齐次的方程二、可化为齐次的方程的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程为齐次方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方程否则为非齐次方程. .)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2. 解法解法1.1.定义定义 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有
6、唯一一组解有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba11()dyaxcfdxa xc原方程变为, 0, 01 ab若若1()dyaxbycfdxc原方程变为, 0 b若若,byaxz 令令),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb （可分离变量的微分方程）（可分离变量的微分方程）（可分离变量的微分方程）（可分离变量的微分方程）,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化为方程可
7、化为，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb ,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为方程变为利用变量代换求微分方
8、程的解利用变量代换求微分方程的解.)(52的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21duudx ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy ()()0.f xy ydxg xy xdy例6求方程通解,xyu 令令,ydxxdydu 则则( )( ) ()0,f u ydxg uduydx, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解) 1(sin2yxy
9、, 1yxuyu1uu2sin1xuuddsec2CxutanCxyx) 1tan(三、小结三、小结齐次方程齐次方程( )( )dyydxxdxxdyy或齐次方程的解法齐次方程的解法yxuvxy令或可化为齐次方程的方程可化为齐次方程的方程.,kYyhXx 令令思考题思考题方程方程2202 ( )( )( )xy tty tdtxy x是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齐次方程齐次方程.一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)(22 x
10、ydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .练练 习习 题题练习题答案练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. .三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. .
