1、第二节 洛必达法则一、 型未定式二、 型未定式三、其它未定式第四章00)()(limxgxf函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则一、1) lim( )lim ( )0 xaxaf xg x若若( )3) lim( )xafxg x 存在 (或为 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x 则则2)( )( )( ),f xg xa与与在在内内可可导导( )0g x 且且定理定理 1型未定式型未定式00(洛必达法则) ( 在 x , a 之间)证:不妨令( )( )0,f ag a在给出的邻域内任取
2、,ax 则( ),( )f xg x在以 x, a 为端点的区间上满足柯西1) lim( )lim ( )0 xaxaf xg x( )( )( )( )( )( )f xf xf ag xg xg a ( )( )fg ( )lim( )xaf xg x( )lim( )xafg ( )lim( )xafxg x 定理条件定理条件: 中值定理条件,故( )lim( )afg ( )3) lim( )xafxg x 存在 (或为 )2)( )( )( ),( )0f xg xag x 与与在在内内可可导导 且且推论1： 定理 1 中ax 换为, ax, ax,xx之一,推论 2：若( )lim
3、( )fxg x 0,( ),( )0fxg x仍仍属属型型 且且满满足足定定理理1 1条件, 则( )( )limlim( )( )f xfxg xg x ( )lim( )fxgx 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,x( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x 洛必达法则例1. 求求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx例2. 求求.arctanlim12xxx解解: 原式 limx型00221lim
4、xxx1211x21x二、型未定式型未定式1) lim( )lim ( )xaxaf xg x 若若( )3) lim( )xafxg x 存在 (或为)( )lim( )xaf xg x则则定理定理 2( )lim( )xafxg x (洛必达法则)2)( )( )( ),( )0f xg xag x 与与在在内内可可导导 且且说明说明: 定理中ax 换为之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立., ax, ax,xx,x例3. 求求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解:原式0 1limxxxe 22(1)limxxxe
5、 121limkkxxkxe lim(0 ,0).xxxe 型 10k 例例解解:.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原式原式. 1 注意注意 1）洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件例如,11lim2xxxxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim1用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题计算问题 . 三、其他未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化
6、000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例6. 求求通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例7. 求求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1利用利用 例例5通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例8 8解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim
7、 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例9 9解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 11ln(cot)lnln(cot)xxxxe 取取对对数数得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例1 10 0解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2
8、lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数思考与练习1. 设)()(limxgxf是未定式极限 , 如果)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ?极限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin
9、222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim,1xt 则2011221limtttt4. 求求xxxxx122lim23解解: 令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41练习：;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0ttttttt21lim110211()tx 令令令则t
10、tet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex解解:tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)21,tx xxxxxcossec)1ln(lim2220 xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec( sin )x 1 洛必达(1661 1704)法国数学家, 他著有无穷小分析(1696), 并在该书中提出了求未定式极限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书 .则 ”. 他在15岁时就解决了帕斯卡提出
