1、第三节 微积分基本定理第六章二、积分上限函数三、牛顿莱布尼兹公式四、小结一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中二、 积分上限函数 (变上限的定积分) ( ) , , f xb对对可可积积函函数数而而言言 每每给给定定一一个个值值 就就有有 一一个个 . d)(I 与之对应确定的定积分值baxxf与它的上下限的定积分这意味着 d)
2、( )( baxxfxf . 之间存在一种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 ( )( )d , xaF xf ttxa b Oxyabx x)(xfy 积分上限函数的几何意义Oxyabx x)(xfy 积分上限函数的几何意义曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。 ( )d , xaf ttxa b ,d)(d)( 有由积分的性质：abbaxxfxxf, d)(d)( xbbxttfttf所以，我们只需讨论积分上限函数. d)( 称为积分下限函数bxttfabxyo积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx d
3、ttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()( )xxxf t dt 由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x xdttfdttfxaxxa )()(该定理的重要意义是：该定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数的存在性, (x)就是f(x)的原函数；另一方面，初步揭示了定积分与不定积分的关系， 使我们有可能通过原函数来计算定积分. ( )( )( ),xaxf t dtf xa b 就就是是在在上上的的一一个个原原函函数数
4、)()()(xfdttfdxdxxa 证证 ( )( ),xaxf t dtux 令令，则则有有( )dxdx ,xxfxa baxbaxb若若设设，是是可可导导函函数数，是是上上的的连连续续函函数数，且且，则则有有 (1)( )xadf t dtfxxdx ( )( )uadf t dtxdu ddududx f ux fxx 推论推论 ( )( )( )( )fxxfxx 证证( )( )( )( )( )( )( )xaxxxaf t dtf t dtf t dt ( )( )2( )xxdf t dtdx ( )( )xaf t dt ( )( )xaf t dt ( )( )( )(
5、 )xxaaf t dtf t dt ( )( )( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx 故由（故由（1）可得）可得例例1 1 求求解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.0limxtextd1cos22x证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttf
6、xfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf() ( )0,xt f t , 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF() ( )0,xt f t 且且定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证
7、证三、牛顿莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式( )( )F xxC)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.说明说明当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为
8、求原函数的问题.baxF| )(例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式.23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12202/| )cossin(xxx例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln
9、x,dxx 12112|ln x. 2ln2ln1ln 解解 面积面积xyo 0sin xdxA0|cosx. 2 . d2cos1 0 xx计算 0 2 0 dcos2 d2cos1 xxxx 0 d|cos| 2xx 2 2 0 d)cos( 2dcos 2xxxx . 22 sin2 sin2220 xx 去绝对值符号(如果是分段函数，则利用积分的性质将积分分成几个部分的和的形式.)例例9 9 解解3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结牛顿莱布尼
10、茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系解解)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 思考题思考题证明：, 1)(2)(0 dttfxxFx( )2( )0Fxf x 又又， ( )1f x (0)10F 则则 10)(1)1(dttfF 10)(1 dttf0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一个解上只有一个解.令令2. 求解解：20dsin2sinxxnxIn的递推公式(n为正整数) . 由于,dsin) 1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d) 12cos(2xxn20dsinsin) 12cos(2xxxxn12) 1(21nn1nnII12) 1(21nn所以), 3 ,2(n2dcos2201xxI其中
